第五章隨機變量及其數字特征第一節離散型隨機變量的概念第二節離散型隨機變量的數字特征第三節連續型隨機變量的概念第四節連續型隨機變量的數字特征本章思維導圖引導案例---分組檢驗能否減少工作量？在一個人數為N的人群中，普查某種疾病，為此要抽檢N個人的血進行化驗，為了減少工作量，一位統計學家提出一種方法：將K個人的血樣混合后檢驗，如果這種混合血樣呈陰性反應，就說明這K個人都無此疾病，因而K個人只要檢驗1次就夠了，相當于每個人檢驗了1/K次，檢驗的工作量明顯減少了。如果這種混合血樣呈陽性反應，就說明這K個人中至少有一人的血呈陽性，這就需要再對此K個人的血樣分別進行檢驗，因此，這K個人的血要檢驗(1+K）次相當于每個人檢驗（1+1/K）次，這樣增加了檢驗次數，假設該疾病的發病率為P，且每個人是否得此疾病是相互獨立的，試問這種方法能否減少平均檢驗次數？分析：本案例的解決涉及到離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的數學期望，本章我們就來討論隨機變量的概念、分類及其數字特征。第一節離散型隨機變量的概念本節主要學習目標[知識目標]

理解隨機變量的概念及分類。

掌握離散型隨機變量的定義、性質。

掌握離散型隨機變量的概率分布列及某事件的概率。[能力目標]

能熟練計算離散型隨機變量的概率分布列及事件的概率。

會正確判斷實際問題中隨機變量所屬類型。隨機變量5考慮投擲一顆均勻骰子,在各次試驗中,會出現不同的點數,因此“出現的點數”是一個變量,它的可能取值為1,2,3,4,5,6中的一個值

這說明可以用試驗中“出現的點數”這個變量的所有可能取值以及取這些值的概率描述這個隨機現象即可以用試驗中“出現的點數”這個變量的取值表示試驗結果,而這個變量是依試驗結果而隨機取值的隨機變量6一般地,對于隨機試驗,若其試驗結果可用一個變量的取值表示,這個變量取值帶有隨機性,并且取這些值的概率是確定的,則稱這樣的變量為隨機變量,通常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機變量的取值為具體數值,可用小寫字母x,y,z等表示離散型隨機變量7定義2.1若隨機變量X的所有可能取值可以一一列舉,即所有可能取值為有窮個或無窮可列個,則稱隨機變量X為離散型隨機變量離散型隨機變量8描述離散型隨機變量有兩個要素,一個要素是它的所有可能取值,另一個要素是取這些值的概率,這兩個要素構成了離散型隨機變量的概率分布設離散型隨機變量X的所有可能取值為x1,x2,…取這些值的概率依次為p1,p2,…其概率分布的表示方法有兩種:1.列表法2.公式法列表法9概率分布列表如表Xx1x2…

Pp1p2…

公式法10概率分布用公式表示為P{X=xi}=pi

(i=1,2,…)離散型隨機變量性質11在離散型隨機變量X的概率分布中,概率pi(i=1,2,…)顯然是非負的,又注意到事件X=x1,X=x2,…,構成一個完備事件組,當然其對應的概率之和應當等于1所以離散型隨機變量X的概率分布具有下列性質:性質1

pi≥0

(i=1,2,…)性質2

p1+p2+…=1離散型隨機變量12離散型隨機變量X在某范圍內取值的概率,等于它在這個范圍內一切可能取值對應的概率之和當離散型隨機變量的概率分布被確定后,不僅知道它取各個可能值的概率,而且還可以求出它在某范圍內取值的概率,所以離散型隨機變量的概率分布描述了相應的隨機試驗例113投擲一枚均勻硬幣1次,求出現正面次數X的概率分布解:由于可能的試驗結果只有出現反面與出現正面兩種結果,因而離散型隨機變量X的所有可能取值也只有0與1兩個值

例114所以出現正面次數X的概率分布列表如表X01P兩點分布15一般地,把只取0與1兩個值且取值為1的概率等于p的離散型隨機變量X所服從的概率分布稱為參數為p的兩點分布或0—1分布.兩點分布列表如表X01Pqp(0<p<1,p+q=1)例216某商店銷售某種水果,進貨后第一天售出的概率為60%,每500g的毛利為6元;第二天售出的概率為30%,每500g的毛利為2元;第三天售出的概率為10%,每500g的毛利為-1元.求銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布解:離散型隨機變量X的所有可能取值為-1,2及6,取這些值的概率依次為10%,30%及60%例217所以銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布列表如表X-126P10%30%60%例318某小組有6名男生與4名女生,任選3個人去參觀,求所選3個人中男生數目X的概率分布解:離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,根據§1.1古典概型計算概率的公式計算離散型隨機變量X取這些值的概率例319事件X=0表示所選3個人中恰好有0名男生,即所選3個人中有0名男生與3名女生,其發生的概率為

例320事件X=1表示所選3個人中恰好有1名男生,即所選3個人中有1名男生與2名女生,其發生的概率為

例321事件X=2表示所選3個人中恰好有2名男生,即所選3個人中有2名男生與1名女生,其發生的概率為

例322事件X=3表示所選3個人中恰好有3名男生,即所選3個人中有3名男生與0名女生,其發生的概率為

例323所以所選3個人中男生數目X的概率分布列表如表X0123P例424某人各次射擊中靶與否互不影響,且中靶的概率皆為p(0<p<1),現不停射擊,直至中靶為止,求射擊次數X的概率分布.解:離散型隨機變量X的所有可能取值為全體正整數,即X=i(i=1,2,…),根據§1.3乘法公式的特殊情況及其推廣計算離散型隨機變量X取這些值的概率例425事件X=1表示第1次射擊就中靶,其發生的概率為P{X=1}=p事件X=2表示第1次射擊脫靶且第2次射擊中靶,其發生的概率為

P{X=2}=(1-p)p例426事件X=3表示第1次射擊與第2次射擊都脫靶且第3次射擊中靶,其發生的概率為P{X=3}=(1-p)(1-p)p=(1-p)2p……例427所以射擊次數X的概率分布用公式表示為

P{X=i}=(1-p)i-1p

(i=1,2,…)事件X=i表示前i-1次射擊都脫靶且第i次射擊中靶,其發生的概率為P{X=i}=(1-p)i-1p例528設離散型隨機變量X的概率分布列表如表X012P3c2cc則常數c=

解:根據離散型隨機變量概率分布的性質2,有關系式3c+2c+c=1得到常數

例629設離散型隨機變量X服從參數為p的兩點分布,且已知離散型隨機變量X取1的概率p為它取0的概率q的2倍,求參數p的值解:根據離散型隨機變量概率分布的性質2,有關系式p+q=1

(0<p<1)又由題意得到關系式p=2q例630解線性方程組

所以參數

分布列表的要求31離散型隨機變量的概率分布必須滿足兩個性質同時滿足兩個性質的表也一定可以作為某個離散型隨機變量的概率分布當然,至少不滿足一個性質的表不能作為離散型隨機變量的概率分布例732設p為滿足0<p<1的常數,則表5-7~表5-10中(

)可以作為離散型隨機變量X的概率分布(a)X123Ppp-12-2pX123P(b)例733X123P1-p(c)(d)X123Pp例734首先考慮備選答案(a):由于事件X=2對應的p-1<0,說明不滿足離散型隨機變量概率分布的性質1,從而備選答案(a)落選

例735

又由于

說明還滿足離散型隨機變量概率分布的性質2從而備選答案(c)當選例736

更何況有

說明還不滿足離散型隨機變量概率分布的性質2從而備選答案(d)當然更落選例837已知離散型隨機變量的概率分布列表如表X-40367P試求:(1)概率P{-1<X≤6};(2)概率P{X=1}例838解:(1)注意到在-1<X≤6的范圍內,離散型隨機變量X的可能取值只有三個,即X=0,X=3及X=6,所以概率P{-1<X≤6}=P{X=0}+P{X=3}+P{X=6}

例839(2)注意到離散型隨機變量X的可能取值沒有X=1,說明事件X=1是不可能事件,所以概率P{X=1}=0離散型隨機變量相互獨立40最后給出離散型隨機變量相互獨立的概念:若離散型隨機變量X,Y分別取任意實數所構成的兩個事件相互獨立,則稱離散型隨機變量X,Y相互獨立一般地,若n個離散型隨機變量X1,X2,…,Xn分別取任意實數所構成的n個事件相互獨立,則稱n個離散型隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立41本次課程結束第二節離散型隨機變量的數字特征本節主要學習目標[知識目標]

掌握離散型隨機變量的數學期望。

掌握離散型隨機變量的方差概念及計算公式。

正確理解數學期望和方差的含義

[能力目標]

能熟練計算離散型隨機變量的數學期望和方差。

離散型隨機變量的數字特征43離散型隨機變量的概率分布是對離散型隨機變量一種完整的描述,但在很多情況下,并不需要全面考察離散型隨機變量的變化情況,而只需知道它的一些綜合指標這些綜合指標是一些與其有關的數值,稱為離散型隨機變量的數字特征.它雖然不能完整地描述離散型隨機變量,但能用數字描述離散型隨機變量在某些方面的重要特征在這些數字特征中,最重要的是離散型隨機變量的平均取值以及其取值對于平均值的偏離程度離散型隨機變量的數字特征44考慮在1000次重復試驗中,設離散型隨機變量X取值為100有300次,取值為200有700次,即事件X=100發生的頻率為0.3,事件X=200發生的頻率為0.7,這時可以將離散型隨機變量X的概率分布列表如表X100200P0.30.7離散型隨機變量的數字特征45

這樣做是不行的,因為它取值為100與取值為200的可能性是不相同的,所以它取值的平均值不應該是100與200的算術平均值

離散型隨機變量的數字特征46由于在1000次重復試驗中,它取值為100有300次,取值為200有700次,于是它取值的平均值

說明離散型隨機變量X的平均值等于它的所有可能取值與對應概率乘積之和,是以所有可能取值對應概率為權重的加權平均由于它取值為200的概率大于取值為100的概率,從而它取值的平均值偏向X=200那個方向數學期望47定義2.2已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…數學期望48

數學期望49

數學期望50數學期望簡稱為期望或均值,它等于離散型隨機變量X的所有可能取值與對應概率乘積之和無論離散型隨機變量X的所有可能取值為有窮個或者為無窮可列個,其數學期望可統一記作

數學期望51考察離散型隨機變量X,已知它的概率分布列表如表X345P0.10.80.1其數學期望E(X)=3×0.1+4×0.8+5×0.1=4數學期望52Y147P0.40.20.4再考察離散型隨機變量Y,已知它的概率分布列表如表其數學期望E(Y)=1×0.4+4×0.2+7×0.4=4數學期望53盡管離散型隨機變量X與Y有相同的數學期望,但離散型隨機變量Y的取值比離散型隨機變量X的取值要分散表明僅有數學期望不足以完整說明離散型隨機變量的分布特征,還必須進一步研究它的取值對數學期望的離散程度離差54對于離散型隨機變量X,若其數學期望E(X)存在,則稱差X-E(X)為離散型隨機變量X的離差離差X-E(X)當然也是一個離散型隨機變量,它的可能取值有正有負,也可能為零,而且它的數學期望等于零,因此不能用離差的數學期望衡量離散型隨機變量X對數學期望E(X)的離散程度為了消除離差X-E(X)可能取值正負號的影響,采用離差平方(X-E(X))2的數學期望衡量離散型隨機變量X對數學期望E(X)的離散程度方差55定義2.3已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…方差56

方差57

方差58顯然方差是非負的,只有常量的方差等于零當離散型隨機變量X的可能取值密集在數學期望E(X)附近時,方差D(X)較小,反之則方差D(X)較大,因此方差D(X)的大小可以說明離散型隨機變量X取值對數學期望E(X)的離散程度標準差59無論離散型隨機變量X的所有可能取值為有窮個或者為無窮可列個，其方差可統一記作

離散系數60由于方差大小的計算是以數學期望作為衡量標準的,因而對于數學期望不相同的兩個離散型隨機變量,直接比較它們方差的大小,不能說明它們的離散程度,于是要考察標準差與數學期望的比值

顯然,若|υ|較小,則說明離散型隨機變量X的可能取值相對密集在其數學期望E(X)附近,反之則說明離散型隨機變量X取值的離散程度相對大一些計算方差的簡便公式61定理2.1已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…則其方差D(X)=E(X2)-(E(X))2其中數學期望

值得注意的是:任何一個離散型隨機變量X的數學期望E(X)、方差D(X)都不再是隨機變量,而是某個確定的常量.一般情況下,數學期望

E(X2)≠(E(X))2例162

例163因而任取1件商品獲利X元的概率分布列表如表X-213P所以數學期望

例164其次計算數學期望

所以方差

例265X123P已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表試求:(1)數學期望E(X);(2)方差D(X).例266解:(1)數學期望

例267(2)首先計算數學期望

所以方差

例368已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表X-2-113P試求:(1)數學期望E(X);(2)方差D(X).例369解:(1)數學期望

例370(2)首先計算數學期望

所以方差

71本次課程結束第三節連續型隨機變量的概念本節主要學習目標[知識目標]

掌握連續型隨機變量的概念。

掌握連續型隨機變量的概率密度具有的性質。

熟練掌握連續型隨機變量在某區間上的概率計算。

[能力目標]

能熟練選擇出連續型隨機變量的概率密度函數。

能熟練計算連續型隨機變量的概率。

連續型隨機變量73定義2.4若隨機變量X的所有可能取值為某一區間,則稱隨機變量X為連續型隨機變量連續型隨機變量74考慮一群成年男子中任意一個人的體重X,它可以取區間[m,M]的一切值,其中m為這群成年男子中的最輕體重,M為這群成年男子中的最重體重,任意一個人的體重X當然是一個連續型隨機變量這時考察它取某個值的概率沒有什么實際意義,因為人們不會關心一個人體重恰好為50kg的概率為多少這類問題,而關心一個人體重在50kg~60kg之間的概率為多少這類問題連續型隨機變量75因此在實際工作中,將連續型隨機變量X的所有可能取值區間[m,M]分成若干個組,即分成若干個首尾相連的小區間,每個小區間含左端點,不含右端點小區間長度稱為組距,研究連續型隨機變量X在每個小區間上取值的可能性現在測量100個成年男子的體重,得到100個體重數據,將這100個體重數據按測量順序列表如表連續型隨機變量766060.5807764.5595143466180.583495052707162624047.571.5858642496364657249.565.5484850.56667738787.5886868.5535973.5695654.54949.57475909178764759.557.569.56945505763647979.599.59074.55858.5666576779475606162.548.56367767574.59764.567.568.565595358895654連續型隨機變量77盡管數據較多,但容易找出其最小值為40,最大值為99.5,于是可以認為這些數據分布在區間[40,100)上將這100個數據分成5個組,即將區間[40,100)分成5個首尾相連的小區間:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,100)然后用選舉唱票的方法,將這100個數據不重不漏逐一分到各組,容易得到屬于上述5個組的人數即頻數依次為15,20,30,20,15由于連續型隨機變量X在各組范圍內取值的頻率等于各組頻數除以總人數100,于是上述5個組相應的頻率依次為0.15,0.20,0.30,0.20,0.15連續型隨機變量78注意到盡管連續型隨機變量X在區間[40,50)上取值的頻率與在區間[80,100)上取值的頻率相等,皆為0.15,但這兩個區間長度即組距是不相同的,前者組距為10,后者組距為20說明連續型隨機變量X在前者單位組距上取值的頻率大于在后者單位組距上取值的頻率,即前者頻率密集程度比后者要高頻率密度79為了說明各組頻率密集的程度,應該考慮連續型隨機變量X在各組單位組距上取值的頻率連續型隨機變量X在各組單位組距上取值的頻率稱為頻率密度,即

于是上述5個組相應的頻率密度依次為0.015,0.020,0.030,0.020,0.0075頻率密度80將上述計算結果列表如表分組編號12345體重分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,100)人數1520302015頻率0.150.200.300.200.15頻率密度0.0150.0200.0300.0200.0075頻率密度81若將體重x作為自變量,則頻率密度為自變量x的函數,這個函數是具有間斷點的分段函數,它的圖形是由5條平行于x軸的直線段構成的,每條平行于x軸的直線段含左端點,不含右端點在頻率密度函數圖形的兩端及間斷處,向下引垂直于x軸的直線至x軸,得到一排豎著的長方形,這樣一排豎著的長方形稱為頻率密度的直方圖,如圖頻率密度82根據頻率密度的計算公式,有頻率=組距×頻率密度頻率密度83說明連續型隨機變量X在各組范圍內取值的頻率等于各組組距乘以相應的頻率密度在頻率密度直方圖中,組距為相應長方形的底,頻率密度為相應長方形的高,而底乘以高恰好就是相應長方形的面積,于是連續型隨機變量X在各組范圍內取值的頻率等于相應長方形的面積如連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的頻率為0.20,它等于組距10乘以相應的頻率密度0.020,即為相應長方形的面積頻率密度84每測量一個人的體重得到一個數據,就是做一次試驗;測量很多人的體重得到多個數據,就是做多次重復試驗若重復試驗次數無限增多,即得到測量數據無限增多,并且在數據分組時使得組數無限增多,且各組組距都趨于零概率密度曲線85則連續型隨機變量X在某區間上取值的頻率就在其概率附近擺動,且擺動的幅度很微小,相應頻率密度圖形中各平行于x軸的直線段長度都趨于零,而且在某條曲線附近擺動自然把作為頻率密度曲線擺動中心的這條曲線稱為概率密度曲線,概率密度記作φ(x),如圖概率密度曲線86概率密度曲線87這時,如連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的頻率化為概率,頻率密度直方圖中相應長方形的面積化為概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積由于連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的頻率等于頻率密度直方圖中相應長方形的面積,所以連續型隨機變量X在區間[70,80)上取值的概率等于概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積概率密度曲線88根據定積分的概念,概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積等于概率密度φ(x)在區間[70,80)上的定積分,于是有概率

同理,連續型隨機變量X在任一區間上取值的概率等于概率密度φ(x)在該區間上的積分概率密度89在實際工作中,不可能得到無窮多個測量數據,只要測量數據比較多,并且在數據分組時使得組數比較多,且各組組距都比較小,則把相應的頻率密度近似作為概率密度φ(x)說明概率密度φ(x)是對較多測量數據經過分組整理、列表計算、畫圖分析而得到的這樣對于連續型隨機變量,原則上都可以通過統計方面的工作得到它的概率密度φ(x).概率密度90若連續型隨機變量X的概率密度為φ(x),則記作X~φ(x)連續型隨機變量X的概率密度φ(x)顯然是非負的,而且事件-∞<X<+∞是必然事件,當然其對應的概率應當等于1概率密度的性質91所以連續型隨機變量X的概率密度φ(x)具有下列性質:性質1

φ(x)≥0

(-∞<x<+∞)

計算概率密度92連續型隨機變量X在區間[a,b)上取值的概率等于其概率密度曲線φ(x)(a≤x<b)下的曲邊梯形面積,當然等于其概率密度φ(x)在區間[a,b)上的定積分,即有

計算概率密度93如圖當a=b=x0時,根據定積分基本運算法則4,有概率

計算概率密度94說明連續型隨機變量取任一個值的概率一定等于零同時也說明連續型隨機變量在任一區間上取值的概率與是否含區間端點無關,即概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

計算概率密度95作為這個計算概率公式的特殊情況,有概率

當連續型隨機變量的概率密度被確定后,可以通過計算積分求得連續型隨機變量在任一區間上取值的概率,所以連續型隨機變量的概率密度描述了相應的隨機試驗例196設連續型隨機變量X的概率密度為

則常數c=

.

解:根據連續型隨機變量概率密度的性質2,有關系式

例197注意到常量函數y=0在任何區間上的積分值一定等于零,計算分段函數的積分

例198因而有關系式

得到常數c=3例299設連續型隨機變量X的概率密度為

則常數r=(

).

例2100解:根據連續型隨機變量概率密度的性質2,有關系式

注意到常量函數y=0在任何區間上的積分值一定等于零例2101計算分段函數的積分

例2102因而有關系式

注意到r>0,得到常數

例3103下列函數中(

)可以作為連續型隨機變量X的概率密度

例3104解:觀察函數y=sinx的圖形,如圖

說明函數f(x)與g(x)都滿足連續型隨機變量概率密度的性質1,函數h(x)與l(x)都不滿足連續型隨機變量概率密度的性質1,從而備選答案(c),(d)都落選例3105繼續考慮備選答案(a):計算積分

=-(0-1)=1說明還滿足連續型隨機變量概率密度的性質2,從而備選答案(a)當選,所以選擇(a)例3106至于備選答案(b):由于積分

=-(-1-1)=2≠1不滿足連續型隨機變量概率密度的性質2,從而備選答案(b)落選例4107某單位每天用電量X萬度是連續型隨機變量,其概率密度為

若每天供電量為0.9萬度,求供電量不夠的概率例4108解:供電量不夠,意味著用電量大于供電量,即X>0.9.根據計算概率公式,得到概率

=1-0.972=0.028所以供電量不夠的概率為0.028例5109設連續型隨機變量X的概率密度為

試求:(1)常數k值;(2)概率P{0≤X<1}.例5110解:(1)根據連續型隨機變量概率密度的性質2,有關系式

計算廣義積分

例5111

=kπ因而有關系式kπ=1所以常數

例5112(2)連續型隨機變量X的概率密度為

根據計算概率公式,所以概率

連續型隨機變量相互獨立113最后給出連續型隨機變量相互獨立的概念:若連續型隨機變量X,Y分別在任意實數范圍內取值所構成的兩個事件相互獨立,則稱連續型隨機變量X,Y相互獨立一般地,若n個連續型隨機變量X1,X2,…,Xn分別在任意實數范圍內取值所構成的n個事件相互獨立,則稱n個連續型隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立114本次課程結束第四節連續型隨機變量的數字特征本節主要學習目標[知識目標]

掌握連續型隨機變量的數學期望。

掌握連續型隨機變量的方差概念及計算公式。

理解數學期望及方差的性質。

[能力目標]

能熟練計算連續型隨機變量的數學期望和方差。

連續型隨機變量的數學期望116定義2.5

連續型隨機變量的方差117定義2.6

連續型隨機變量的數字特征118當連續型隨機變量X的可能取值密集在其數學期望E(X)附近時,方差D(X)較小,反之則方差D(X)較大,因此方差D(X)的大小可以說明連續型隨機變量X取值對數學期望E(X)的離散程度

計算方差的簡便公式119定理2.2已知連續型隨機變量X的概率密度為φ(x),則其方差D(X)=E(X2)-(E(X))2其中數學期望

值得注意的是:任何一個連續型隨機變量X的數學期望E(X)、方差D(X)都不再是隨機變量,而是某個確定的常量;一般情況下,數學期望

E(X2)≠(E(X))2例1120已知連續型隨機變量X的概率密度為

則數學期望E(X)=(

).

例1121解:根據連續型隨機變量數學期望的計算公式,得到數學期望

（c）例2122已知連續型隨機變量X的概率密度為

試求:(1)數學期望E(X);(2)