2022年福建省莆田市海峽職業中專學校高一數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于函數，當實數屬于下列選項中的哪一個區間時，才能確保一定存在實數對（），使得當函數的定義域為時，其值域也恰好是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D2.如右圖，在正方體OABC－O1A1B1C1中，棱長為2，E是B1B的中點，則點E的坐標為()A．(2,2,1)

B．(2,2，)C．(2,2，)

D．(2,2，)參考答案：A略3.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點…用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則與故事情節相吻合是（

）參考答案：B4.擲一顆質地均勻的骰子，觀察所得的點數a，設事件A=“a為3”，B=“a為4”，C=“a為奇數”，則下列結論正確是（）A．A與B為互斥事件 B．A與B為對立事件C．A與C為對立事件 D．A與C為互斥事件參考答案：A【考點】C4：互斥事件與對立事件．【分析】觀察所給的三個事件，A與B是互斥事件，B與C是互斥事件，這里沒有對立事件，A事件包含在C事件里，得到結論．【解答】解：∵設事件A=“a為3”，B=“a為4”，C=“a為奇數”，∴A與B是互斥事件，B與C是互斥事件，這里沒有對立事件，A事件包含在C事件里，故選：A．5.下列說法中，正確的是(

)．

A．數據5，4，4，3，5，2的眾數是4

B．一組數據的標準差是這組數據的方差的平方

C．數據2，3，4，5的標準差是數據4，6，8，10的標準差的一半

D．頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻數參考答案：C略6.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|｝，則M∩N＝(

)A．

B．｛x|0＜x＜3｝

C．｛x|1＜x＜3｝

D．｛x|2＜x＜3｝參考答案：D略7.設O為△ABC內一點,已知,則(

)A. B. C. D.參考答案：B由，得，化為，，設，則，即O為ADE的重心，，則，，故選B.

8.設集合，則A.

B.

C.

D.參考答案：C9.若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知，，，則、、的大小關系為A.

B.

C.

D.

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設是定義在區間D上的函數，對于區間D的非空子集I，若存在常數，滿足：對任意的，都存在，使得，則稱常數m是函數在I上的“和諧數”。若函數，則函數在區間上的“和諧數”是

。參考答案：略12.兩條平行直線與之間的距離

參考答案：

2略13.（4分）已知cosα=﹣，α∈（，π），則sin（α﹣）=_________．參考答案：14.在△ABC中，已知，則b=_______．參考答案：3【分析】根據余弦定理求解.【詳解】由余弦定理得：即解得或（舍去）【點睛】本題考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.15.如圖是函數

的圖象，則其解析式是

.參考答案：16.定義在R上的偶函數f(x)是最小正周期為的周期函數，且當時，，則的值是

參考答案：17.若點A(-1,4).B(3,2)，則線段AB中點坐標________參考答案：（1,3）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱與底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA1，點M，N分別為A1B和B1C1的中點．（1）證明：A1M⊥平面MAC；（2）證明：MN∥平面A1ACC1．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明A1M⊥MA，AM⊥AC，故可得A1M⊥平面MAC；（2）連結AB1，AC1，由中位線定理得出MN∥AC1，故而MN∥平面A1ACC1．【解答】證明：（1）由題設知，∵A1A⊥面ABC，AC?面ABC，∴AC⊥A1A，又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵AA1?平面AA1BB1，AB?平面AA1BB1，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面AA1BB1，A1M?平面AA1BB1∴A1M⊥AC．又∵四邊形AA1BB1為正方形，M為A1B的中點，∴A1M⊥MA，∵AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC，∴A1M⊥平面MAC…（2）連接AB1，AC1，由題意知，點M，N分別為AB1和B1C1的中點，∴MN∥AC1．又MN?平面A1ACC1，AC1?平面A1ACC1，∴MN∥平面A1ACC1．…19.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，向量m=(cos(A—B)，sin(A—B)),向量n=(cosB，—sinB),且(1)求sinA的值；

(2)若求角B的大小及向量在方向上的投影.參考答案：（1）（2）,試題分析：（1）由，進行數量積的坐標運算，化簡易得，從而可得；（2）由正弦定理求出，可得B．再由余弦定理求出c的值，所以在方向上的投影值為，可求．試題解析：解：（1）由，得，得；又，所以；（2）由正弦定理得，得，得；由余弦定理得，即，解得或（舍去）；在方向上的投影值為．考點：向量的數量積的坐標運算，正余弦定理,投影的概念．20.已知函數f（x）在其定義域（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），當x＞1時，f（x）＞0；（1）求f（8）的值；（2）討論函數f（x）在其定義域（0，+∞）上的單調性；（3）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．參考答案：【考點】3P：抽象函數及其應用．【分析】（1）題意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x﹣2）]＜f（8），（2）利用函數單調性的定義即可證明f（x）在定義域上是增函數；（3）由f（x）的定義域為（0，+∞），且在其上為增函數，將不等式進行轉化即可解得答案．【解答】解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=3，（2）當x=y=1時，f（1）=f（1）+f（1），則f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上是增函數設x1＜x2，則∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）﹣f（x2）＜0，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則＞1，則f（）＞0，又f（x?y）=f（x）+f（y），∴f（x1）+f（）=f（x2），則f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在定義域內是增函數．（3）由f（x）+f（x﹣2）≤3，∴f（x（x﹣2））≤f（8）∵函數f（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數，∴解得，2＜x≤4．所以不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集為{x|2＜x≤4}．21.如果函數f(x)在定義域內存在區間[a,b]，使得該函數在區間[a,b]上的值域為[a2,b2]，則稱函數f(x)是該定義域上的“和諧函數”.（1）求證：函數f(x)＝log2(x＋1)是“和諧函數”；（2）若函數是“和諧函數”，求實數t的取值范圍.參考答案：（1）要證：存在區間使得在上的值域為，又由于是一個單調遞増的函數，且定義域為故只需證存在實數滿足,且有觀察得，即存在符合題意故函數是“和諧函數”（2）由題，即存在實數滿足，使得在區間上的值域為，由于單調遞増，從而有，該方程組等價于方程在有至少2個解，即在上至少有2個解，即和的圖像至少有2個交點，記，則，從而有，記，配方得，又，作出的圖像可知，時有兩個交點，綜上，的取值范圍為.22.(本小題12分）已知函數f(x)=tan(sinx)

（1）求f(x)的定義域和值域；

（2）在（－π，π）中，求f(x)的單調區間；參考答案：10．解析：

（1）∵－1≤sinx≤1，∴－

≤sinx≤..........1分又函數y=tanx在x=kπ+(k∈Z)處無定義，

且

（－，）[－,]（－π,π），

∴令sinx=±，則sinx=±.

解之得：x=kπ±

(k∈Z)....................3分

∴f(x)的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}...........4分

∵tanx在（－，）內的值域為（－∞，+∞），而當x∈A時，函數y=sinx的值域B滿足（－∞，∞）B.

∴f(x)的值域是（－∞，+∞）.......................6分

（2）由f(x)的定義域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=處無定義。

設t=sinx，則當x∈[0,)∪（，）∪（，π）時，t∈[0,)∪(,)，且以t為自變量的函數y=tant在區間（0，），（，)上分別單調遞增.

又∵當x∈[0，]時，函數t=sinx單調遞增，且t∈[0,)

當x∈（，]時，函數t=sinx單調遞增，且t∈（,]

當x∈[，)時，函數t=sinx單調遞減，且t∈（,)

當x∈（，π）時，函數t=sinx單調遞減，且