山東省臨沂市少墩鄉中學高一數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設O為坐標原點，點A（4，3），B是x正半軸上一點，則△OAB中的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】HP：正弦定理．【分析】根據三角函數的定義，算出sin∠AOB=．結合正弦定理得到==sinA，再根據sinA≤1，即可得到當且僅當A=時，的最大值為．【解答】解：∵A（4，3），∴根據三角函數的定義，得sin∠AOB=．由正弦定理，得∴==sinA由A∈（0，π），得sinA∈（0，1]∴當A=時，=sinA的最大值為故選：B2.函數的值域為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A3.函數y=的值域是

（

）A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)

B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)參考答案：B4.（4分）直線l的方程為Ax+By+C=0，當A＞0，B＜0，C＞0時，直線l必經過（） A． 第一、二、三象限 B． 第二、三、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第一、二、四象限參考答案：A考點： 直線的一般式方程．專題： 直線與圓．分析： 把直線的方程化為斜截式，根據斜率以及直線在y軸上的截距的符號，判斷直線在坐標系中的位置．解答： 當A＞0，B＜0，C＞0時，直線Ax+By+C=0，即y=﹣x﹣，故直線的斜率﹣＞0，且直線在y軸上的截距﹣＞0，故直線經過第一、二、三象限，故選：A．點評： 本題主要考查根據直線的斜截式方程判斷直線在坐標系中的位置，屬于基礎題．5.設，則在下列區間中使函數有零點的區間是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發而體積縮小，剛放進的新丸體積為，經過天后體積與天數的關系式為：，若新丸經過50天后，體積變為；若一個新丸體積變為，則需經過的天數為（

）

A．75天

B．100天

C．125天

D．150天參考答案：A略7.定義域為的偶函數的部分圖象如圖所示，則在上，下列函數中與的單調性不同的是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C8.設f(x)為定義在R上的奇函數，當x0時，f(x)=(b為常數)則f(-1)=A3

B-1

C1

D-3參考答案：D9.已知弧度為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是（

）A．2

B．

C．

D．參考答案：B10.

已知函數的定義域為，若其值域也為，則稱區間為的保值區間．若的保值區間是，則的值為（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，拋物線y=ax2+2x+c經過點A（0，3），B（﹣1，0），拋物線的頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E，連結BD，則拋物線表達式：

BD的長為

．參考答案：y=﹣x2+2x+3，2．【考點】二次函數的性質．【分析】由拋物線y=ax2+2x+c經過點A（0，3），即c=3，將B（﹣1，0）代入y=ax2+2x+3，即可求得a的值，即可求得拋物線的表達式，求得頂點坐標，利用兩點之間的距離公式，即可求得BD的長．【解答】解：由拋物線的性質可知：拋物線y=ax2+2x+c經過點A（0，3），即c=3，∴拋物線y=ax2+2x+3經過點B（﹣1，0），代入求得a=﹣1，∴拋物線的表達式y=﹣x2+2x+3，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的頂點為點D（1，4），由兩點之間的距離公式丨BD丨==2，丨BD丨=2，故答案為：y=﹣x2+2x+3，2．12.（5分）若兩個函數的圖象經過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個函數為“同形”函數．給出下列三個函數：f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=，f3（x）=sinx，試寫出一對“同形”函數是

．參考答案：f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=考點： 函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 三角函數的圖像與性質．分析： 利用三角函數的平移的法則可知函數f1（x）=sin（x+）先向右平移個單位得f1（x）=sinx，再向上平移個單位得到函數f（x）=sinx+，這一函數正好與②中的函數重合．解答： ①f1（x）=sinx+cosx=sin（x+）先向右平移個單位得f1（x）=sinx，再向上平移個單位得到函數②f2（x）=sinx+，這一函數正好與②中的函數重合．故答案為：f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=．點評： 本題主要考查了三角函數的圖象的變換．考查了學生對三角函數基礎知識的掌握的熟練程度．13.已知數列的前n項和是，且則

．參考答案：-2n+4略14.已知函數，若存在，，使成立，則實數的取值范圍是

．

參考答案：略15.若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，則集合A∩B=．參考答案：{x|2＜x＜3}【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案為：{x|2＜x＜3}【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．16.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的周長為7,面積為，，則c=

．參考答案：317.設a＞1，函數f（x）=logax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，則a= ．參考答案：4【考點】對數函數的單調性與特殊點；函數的最值及其幾何意義．【專題】計算題．【分析】利用函數的單調性表示出函數的最大值和最小值，利用條件建立等量關系，解對數方程即可．【解答】解：∵a＞1，函數f（x）=logax在區間[a，2a]上的最大值與最小值分別為loga2a，logaa=1，它們的差為，∴，a=4，故答案為4【點評】本題考查了對數函數的單調性，以及函數最值及其幾何意義，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知圓經過兩點，且圓心在直線上．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）求過點且與圓相切的直線方程；（Ⅲ）設圓與軸相交于、兩點，點為圓上不同于、的任意一點，直線、交軸于、點．當點變化時，以為直徑的圓是否經過圓內一定點？請證明你的結論．參考答案：（Ⅰ）法一：設圓圓心為，由得，，……………1分解得，，…………2分半徑為，……3分所以圓：…………4分法二：設圓為，則…………2分解得，…………3分所以圓：…………4分法三：設圓的一般方程或其它解法相應給分.（Ⅱ）當切線斜率不存在時，……………5分當切線斜率存在時，設切線，即，由圓心到切線的距離，解得，此時；……8分綜上：：或．……9分（Ⅲ）設P(，)(≠0)，則＋＝4．又A(－6，0)，B(－2，0)，所以：y＝(x＋6)，M(0，)，：y＝(x＋1)，N(0，)．…………………10分圓的方程為＋＝．………11分化簡得＋－(＋)y－12＝0，（※）………12分法一：由動點P(，)關于軸的對稱性可知，定點必在軸上，令y＝0，得x＝．又點(，0)在圓內，所以當點P變化時，以MN為直徑的圓經過定點．………14分法二：若先取兩個特殊點P(，)確定出兩圓的定點（給2分），必須再加以證明，即對所求的定點再代（※）式，證出恒成立。（相應給分）法三：若由（※）化成恒等式求出定點（相應給分）19.已知定義在區間(－1,1)上的函數為奇函數．（1）求實數a的值；（2）判斷并證明函數f(x)在區間(－1,1)上的單調性；（3）解關于t的不等式．參考答案：（1）；（2）在區間(－1,1)上是增函數，見解析；（3）【分析】（1）由函數是在區間上的奇函數，得到，即可求解；（2）根據函數的單調性的定義，即可證得函數在區間上是增函數．（3）由為奇函數，得到，再由函數在區間上是增函數，得到不等式組，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數是在區間上的奇函數，所以，即函數，經檢驗符合題意，所以實數的值．（2）設，則，因為，則，所以，即，所以函數在區間上是增函數．（3）因為，且為奇函數，所以．又由函數在區間(－1,1)上是增函數，所以，解得，故關于的不等式的解集為．【點睛】本題主要考查了函數的基本性質的綜合應用，其中解答中熟記函數的單調性的定義和判定方法，以及熟練應用函數的奇偶性是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

20.已知橢圓的離心率為，且過點．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”．（I）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經過坐標原點，試判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】（I）運用離心率公式和基本量a，b，c的關系，代入點，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；（II）設A（x1，y1），B（x2，y2），可得，由于以PQ為直徑的圓經過坐標原點，所以，運用數量積為0，聯立直線方程和橢圓方程，運用判別式大于0，韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，三角形的面積公式，化簡整理，即可得到定值．【解答】解：（I）由題意知e==，a2﹣b2=c2，即又，可得a2=4，b2=3，即有橢圓的方程為+=1；（II）設A（x1，y1），B（x2，y2），則，由于以PQ為直徑的圓經過坐標原點，所以，即，由得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化為3+4k2﹣m2＞0．x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2?+km（﹣）+m2=，代入，即，得：，2m2﹣4k2=3，，O到直線l的距離為，△ABO的面積為，把2m2﹣4k2=3代入上式得．21.（1）計算：；（2）已知log53=a，log52=b，用a，b表示log2512．參考答案：【考點】對數的運算性質；有理數指數冪的化簡求值．【分析】（1）利用有理數指數冪性質、運算法則求解．（2）利用對數性質、運算