高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

（滿分：150分考試時間：120分鐘）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題

5分）

1.已知集合"={x|2X>0},N={X||X|<1},則MDN=.

2.已知直線/的一個法向量是=則此直線的傾斜角的大小為一.

3.已知復(fù)數(shù)z滿足iz=l+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=__.

4.已知某圓錐的底面圓的半徑為夜，若其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為

5.若函數(shù)/（x）=a-3、+"為偶函數(shù)，則實。=.

7F

6.已知菱形A3CD的邊長為1,ND45=§,點￡為該菱形邊上任意一點，則福.通的

取值范圍是.

22

7.已知橢圓工+匕=1上一點P到兩焦點的距離之積為相，則當(dāng)機取最大值時，點P

259

的坐標(biāo)為_.

（?\5

8.設(shè)xeR且則（x+2）士―1的展開式中常數(shù)項為______.

lx）

jr、47r

[（ox+-\{0<（o<2）,若將/（用圖像向左平移彳個單位后，所得

函數(shù)圖像的對稱軸與原函數(shù)圖像的對稱軸重合，則@=.

10.秉承“新時代、共享未來”主題，第四屆“進(jìn)博會'’于2021年11月5至10日在上海召開，

某高校派出2名女教師、2名男教師和1名學(xué)生參加前五天的志愿者服務(wù)工作，每天安排1

人，每人工作1天，如果2名男教師不能安排在相鄰兩天，2名女教師也是如此，那么符合

條件的不同安排方案共有種.

11.已知數(shù)列{。“}和也},其中。“是血=1.41421356237…的小數(shù)點后的第〃位數(shù)字，

（例如4=4,4=3）,若2=q,且對任意的，均有=%，則滿足d=〃一2019

的所有〃的值為.

logx,x>0,.

12.已知函數(shù)=2x<0，設(shè)集合A={（a,〃）|aW-l且〃〈根，機,,

若對任意的（aS）eA,總有a-/S）一人—3aNO成立，則機-”的最大值為.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分.每題有且只有一個正確選

項)

13.已知a力eR且a旦HO,則“a＜b”是“―＞一”的()

ab

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充

分又非必要條件

14.如圖已知正方體—,M,N分別是A。，"8的中點，貝11()

A.直線AQ與直線垂直，直線MN//平面ABCQ

B直線A。與直線。8平行，直線平面5。。4

C.直線AQ與直線相交，直線MN//平面ABCQ

D.直線AQ與直線RB異面，直線MN_L平面8。。男

15.已知曲線C:巫^+上業(yè)=-1,對于命題：①垂直于x軸的直線與曲線。有且只有一

43

個交點；②若6(七,乂),￡(看,%)為曲線。上任意兩點，則有”為＜0,下列判斷正

玉一々

確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

16.已知”eN*，記max{x],…,x"}表示X|,…,x”中的最大值，min{y,…,”}表示

X，…,券中的最小值，若f(x)=x2-3x+2,g(x)=2x-l,數(shù)列{4}和也}滿足

11

%+i=而{/(%),g(%)},%=max{&g(〃)},q=a,bt=b,a,beR,則下列

說法中正確的是()

A.若。24,則存在正整數(shù)機，使得冊+1＜冊B.若。V2,貝1」,照q=0

C.若822,則則2=°D.若beR,則存在正整數(shù)加，使得

bm+y<bm

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)

17.如圖，在四棱錐中，底面A8CQ是邊長為2的正方形，平面ABCQ，

兀

PC與平面ABCO所成角的大小為一，M為P4中點.

3

(1)求四棱錐P-ABC。的體積;

(2)求異面直線與尸。所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

_'1173)

18.已知向量m=-,-sin2x+—cos2x,n=(/(%),-1),且比_L萬，

1222J

⑴求函數(shù)/'(x)在捫上的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知AABC的三個內(nèi)角分別為A,aC,其對應(yīng)邊分別為"c,若有-匚1=1,

BC=6，求AABC面積的最大值.

19.某公司經(jīng)過測算，計劃投資AB兩個項目.若投入A項目資金犬(萬元)，則一年創(chuàng)造的

X

利潤為二(萬元)：若投入B項目資金x(萬元)，則一年創(chuàng)造的利潤為

2

0<x<20

/(%)={30—x(萬元).

20,x>20

(1)當(dāng)投入A8兩個項目資金相同且8項目比A項目創(chuàng)造的利潤高，求投入A項目的資金

x(萬元)的取值范圍；

(2)若該公司共有資金30萬，全部用于投資A5兩個項目，則該公司一年分別投入兩

個項目多少萬元，創(chuàng)造的利潤最大.

(1A1

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動圓經(jīng)過點A且與直線犬=-^相切，設(shè)該動圓圓

心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點.

(1)求曲線K的方程；

(2)過點A且斜率為攵直線/與曲線K交于民C兩點，若///0P且直線0P與直線x=l

交于。點,求的值;

\OP\-\OQ\

⑶若點2E在y軸上，△PDE的內(nèi)切圓的方程為(x-l>+y2=i,求△PDE面積的最小

值.

21.設(shè)有數(shù)列｛x,,｝(〃wN*),對于給定的記滿足不等式：

Xjf>r,(J-0i)的t；構(gòu)成的集合為T(i),并稱數(shù)列｛x“｝具有性質(zhì)X.

⑴若4=1,/>?，數(shù)列：2,2m+2,m2具有性質(zhì)X,求實數(shù)加的取值范圍：

(2)若％=2,/>i,數(shù)列｛%｝是各項均為正整數(shù)且公比大于1的等比數(shù)列，且數(shù)列｛%｝不具

有性質(zhì)X,設(shè)d=K〃WN*),試判斷數(shù)列也｝是否具有性質(zhì)X,并說明理由；

(3)若數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)X,當(dāng)i>l時，7⑺都為單元素集合，求證：數(shù)列｛%｝是等差

數(shù)列.

答案與解析

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題

5分)

1.已知集合Af={x|X2-2X>0},N={X||X|41},則.

［答案］(f,l］U(2,+?))

［解析］

［分析］化簡集合M，N,根據(jù)交集計算求解即可.

［詳解］M={xlV-2x>0}=(-co,0)UQ,a),N={x||1}=［―1,1］,

/.AfUTV=(-oo,1］U(2,+oo),

故答案為：(-oo,l］U(2,”)

2.已知直線/的一個法向量是n=(i,-JJ),則此直線的傾斜角的大小為

［答案C

o

［解析］

［分析］設(shè)直線的方向向量為浣=(a,。)，直線的傾斜角為a.利用決.3=0，即可得出.

［詳解］解：設(shè)直線的方向向量為正=(a,回，直線的傾斜角為a.

則nrn=a-6b=0，

.，旦tana,

a3

71

/.Ct———,

6

故答案為：~"

6

［點睛］本題考查了直線的方向向量與法向量、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

3.已知復(fù)數(shù)z滿足iz=l+i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=.

［答案］&

［解析］

［分析］先求出復(fù)數(shù)Z,再利用復(fù)數(shù)的模的計算公式即可求出.

［詳解i-z-1+i,

工”工旦一,

.2-1

即慟=Jl+(-1)~—5/2?

故答案為：72.

［點睛］本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復(fù)數(shù)的模的計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

4.已知某圓錐底面圓的半徑為血，若其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為

［答案］4兀

［解析］

［分析］根據(jù)底面圓的半徑求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓雉的側(cè)面積.

［詳解］設(shè)底面圓的半徑為廣，圓錐的母線長為/,則氏=2口=20兀，因為其側(cè)面展開圖為

一個半圓，所以叱=4兀.

2

故答案為：471

5.若函數(shù)+為偶函數(shù)，則實。=

［答案］1

［解析］

［分析］根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)建立恒等式求解參數(shù)即可.

［詳解］因為/(x)=a?3、+士■是偶函數(shù)，

3

所以/(一尢)=a'3'+—7=/(x)=。,3'+丁，

33

所以Q=1,

故答案為：1

7T

6.己知菱形A3CD的邊長為l,ND45=w，點￡為該菱形邊上任意一點，則通?通的

取值范圍是.

-3-

［答案］0,-

［解析］

［分析］利用數(shù)量積的幾何意義求解即可.

［詳解］通?衣為I￡BI與/在低上投影的乘積，

所以當(dāng)E在A處時，投影最小為0,

13

在C處時，投影最大為l+lxcos60°=l+—=一，

22

'3'

所以通?通的取值范圍為0，］.

故答案為：0,：

_2J

22

7.已知橢圓L+2L=I上一點p到兩焦點的距離之積為機，則當(dāng)“取最大值時，點p

259

的坐標(biāo)為

［答案］。3）或（0,-3）

［解析］

2

尤V

［詳解］：橢圓一2+乙=1,.??橢圓a=5,b=3

259

設(shè)橢圓的左右焦點分別為Fi、F2,得|PFi|+|PF2|=2a=10

.?.點P到兩焦點的距離之積m滿足：m=|PFi|x|PF2|<f圖1±因1］=25

、2,

當(dāng)且僅當(dāng)|PFI|=|PF2|=5時，m有最大值25

此時，點P位于橢圓短軸的頂點處，得P（0,3）或（0,-3）

故答案為（0,3）或（0,-3）

點睛：本題解題關(guān)鍵是利用好橢圓定義，|PFI|+|PF2|為定值，結(jié)合均值不等式，問題迎刃而

解.

/I、5

8.設(shè)xeR且xxO,則（x+2）（—-1的展開式中常數(shù)項為______.

［答案］3

［解析］

1展開式中的項相乘，與（X+2）中的2和（工―1）

［分析］據(jù)題意（x+2）中的x和—

展開式中x°的項相乘的結(jié)果相加，即可得到常數(shù)項.

/［、5-&

［詳解］Q］L—「的通項公式為=以工（-i）A=（-i）Acy-5,

㈠）

(-1)=(-1)(，以爐+(―『C；/+(-1)2以婷+(_1)3或一+(7)4屐/+(-1)5^0

Q(x+2)f--11=/，一1+2(--1］的常數(shù)項為：

\xJ\xJyx)

x(-l)4C；*T+2(—1)56°=5-2=3.

故答案為：3

jr)47r

(l(0<69<2),若將/(X)圖像向左平移g個單位后，所得

函數(shù)圖像的對稱軸與原函數(shù)圖像的對稱軸重合，則@=.

［答案］*##1.25

4

［解析］

［分析］求出平移后的解析式，根據(jù)平移后的解析式圖象與原函數(shù)圖像的對稱軸重合得到

co=-+-k,利用0<。<2得到左的取值范圍，進(jìn)而求出％=0,co=-.

444

［詳解］平移后的解析式為g(x)=cos(s+［Mr+1),因為g(x)與原函數(shù)圖像的對稱軸

455

重合，所以-M=TI+E,ZeZ.所以0=一+—%，％ez,因為0<<y<2,所以

544

5535

Q<-+-k<2,解得：—1<%<己，因為&eZ,所以攵=0,所以①=/.

4454

故答案為：一

4

10.秉承“新時代、共享末來”的主題，第四屆“進(jìn)博會'’于2021年11月5至10日在上海召開,

某高校派出2名女教師、2名男教師和1名學(xué)生參加前五天的志愿者服務(wù)工作，每天安排1

人，每人工作1天，如果2名男教師不能安排在相鄰兩天，2名女教師也是如此，那么符合

條件的不同安排方案共有______種.

［答案］48

［解析］

［分析］男教師，女教師不能相鄰，使用間接法.

［詳解］總的排列數(shù)是耳，男教師相鄰的排法為6女教師相鄰的排法為男教

師相鄰且女教師相鄰的排法為WEE，

所以共有不同安排方法為H-2月出+『『8=48.

故答案為：48

11.己知數(shù)列｛%,｝和｛5｝,其中4是制=1.41421356237…的小數(shù)點后的第〃位數(shù)字，

(例如q=4,4=3),若〃="，且對任意的“eN*，均有d+i=%，則滿足仇=〃一2019

的所有〃的值為.

I答案］2021或2023##2023或2021

［解析］

［分析］據(jù)題意可推導(dǎo)出｛〃｝為周期數(shù)列，再分析可知2020<2023,然后利用周期逐一

驗證數(shù)列｛2｝的各項與2=〃-2019計算結(jié)果是否一致，即可找到所有符合題意的〃的值.

［詳解］Qa“是a=1.41421356237…的小數(shù)點后的第〃位數(shù)字，且仇用=%.

../?］=4=4,Z?2=4、=Qq=—ci。、—a)=1,

么=艱=4=4也=%=%=2也=傲=4=1,…

???｛"｝是以3為周期的數(shù)列，且各項為4,2,1依次循環(huán)出現(xiàn).

%19=1也020=4也201=2,￡>2022一1也023=4,

又?.也=〃-2019,

,當(dāng)“W2019時，2="-201940,與數(shù)列｛2｝各項均為正數(shù)相矛盾；

當(dāng)〃22024時，2=〃-201925不符合題意，與數(shù)列｛2｝中最大項為4相矛盾；

.-.2020<n<2023janeN\

—2019,二%2。=2020-2019=1與多磔=4相矛盾，故舍去;

4以=2021—2019=2,符合題意；％)22=2022—2019=3與%22=1相矛盾，故舍去;

4023=2023—2019=4,符合題意;

綜上所述：對任意的〃eN*，均有〃+|=%,則滿足勿=〃-2019的所有〃的值為2021或

2023.

故答案為：2021或2023

log2x,x>0,

12.已知函數(shù)/(x)=?設(shè)集合A={(a,份—1且根,〃eR},

|2x+l|,x<0.

若對任意的(a,b)eA,總有“?/(加一人一3。20成立，則機的最大值為一

1答案］4

［解析］

［分析］分別討論8>0力=03<0情形下，由a?f(b)-b—3a之0恒成立得出。的范圍，即

可求出機-"的最大值.

［詳解］當(dāng)b>0時，a-f（h）-b-3a>0=>a-log^h-b-3a>0=>-O--――-<—

ba

=>^^W-lnlog"W3-bnb￡（0,2］

h~

當(dāng)b=0時，Q?/S）—力-3。=-2。之0恒成立，

當(dāng)6<0時，a-f（b）-b-3a>0^a-\2b+i\-b-3a>0^^:^:^->~

ba

"2"+l|-"on|2b+i|-3wo=be［-2,0）,

b

綜上，bG［—2,2］,

（機-〃）3=4.

故答案為：4

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分.每題有且只有一個正確選

項）

13.已知a/eR且。加工0,貝『七<8"是'''>，''的（）

ab

A充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充

分又非必要條件

［答案］D

［解析］

［分析］根據(jù)特例可判定兩個命題的關(guān)系，得出結(jié)論.

［詳解］當(dāng)a=-1力=2時，—<—,反之當(dāng)a=2,/?=-1時，—>—,但a>b,

abab

故“a<b”是“工>L，的既不充分也不必要條件，

ab

故選：D

14.如圖已知正方體A5C0-44G。，M，N分別是4。，的中點，貝1J（）

A.直線A。與直線。力垂直，直線MTV//平面ABCQ

B.直線A。與直線。§平行，直線MN，平面BDD4

C.直線4。與直線相交，直線MN//平面ABCQ

D.直線4。與直線異面，直線MNJL平面BDQB］

［答案］A

［解析］

［分析］由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面ABA,即可得出結(jié)論.

O|G

4B

連A2,在正方體ABCO-AgGA中，

M是AQ的中點，所以M為AA中點，

又N是。B的中點，所以MN//AB，

M/V2平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面A8CD.

因為AB不垂直8D，所以MN不垂直5。

則MN不垂直平面BDRB］,所以選項B,D不正確；

在正方體ABCO—ABCQI中，_LA。，

AB_L平面例。。，所以A3,A。，

ARcA8=A,所以A。，平面A8R,

Ofu平面所以

且直線A22B是異面直線，

所以選項C錯誤，選項A正確.

故選：A.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂

直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)

系.

15.已知曲線C:心"+2［”=-1,對于命題：①垂直于x軸的直線與曲線C有且只有一

43

個交點；②若6（%,X）,鳥（與,％）為曲線。上任意兩點，則有‘［%<0,下列判斷正

X\~X2

確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

［答案］A

［解析］

［分析］化簡曲線方程，畫出圖像判斷①，利用函數(shù)單調(diào)減判斷②

［詳解］曲線C：三區(qū)+工區(qū)=一1,

43

222222

當(dāng)%>0,,<0,三一亍=1；當(dāng)彳<0,^>0,3-^-=1；當(dāng)》<0,^<0,3+^-=1;畫出

圖像如圖，易知①正確；易知函數(shù)為減函數(shù)，則人任意兩點斜率Z=上匚&<0,②正確

玉一々

故選：A

16.已知”eN*，記max表示斗,…,中的最大值，min{y,y“}表示

X，…，券中的最小值，若f(x)=x2-3x+2,g(x)=2x-\,數(shù)列{q}和也}滿足

a?+1=min{/(a?),g(a?)},bn+i=max\bn,g{bn)},?,=a,”=b,a,bcR,則下列

說法中正確的是()

A.若。24,則存在正整數(shù)加，使得a,z<a,“B.若。<2,則，吧%=°

C.若力22,貝U,蚓2=°D.若匕eR,則存在正整數(shù)加，使得

%<超

［答案］B

［解析］

［分析］根據(jù)時，。，用=/&)=4-3《,+2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得4用>%即可

判斷A,當(dāng)aW2時，分類討論可判斷數(shù)列極限確定B,622時判斷數(shù)列的增減性判斷C,

由題意可得2勿即可判斷D.

［詳解］設(shè)/(x)=g(x)的解為t,

當(dāng)a24時，??+,=/(tz?)=?；-3a?+2,

因為。24,所以4=/(4)=。2-3a+2>4,

依次類推，??,+1故A錯誤；

2I"1211

當(dāng)時，a-f(a.)^a-3a+2e——,t~-3r+2c［——,1),lima-Q,

244"->8

當(dāng)a<f時，%+i=g(a,)=2""一l』ima“=0,所以B正確；

當(dāng)此2時，；ejoi］，所以也｝是遞增數(shù)列，所以也｝無極

限，故C錯誤；

因為%=max也,g(b“)｝,所以%故D錯誤.

故選：B

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)

17.如圖，在四棱錐產(chǎn)一A3CD中，底面A3CQ是邊長為2的正方形，/%J_平面A3CQ,

PC與平面ABCD所成角的大小為一，”為府中點.

3

(1)求四棱錐P-ABCD的體積;

(2)求異面直線與PC所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

［答案］⑴辿

3

(2)arccos----

5

［解析］

［分析］(1)、連接AC,根據(jù)題意找出PC與平面ABCD所成角，進(jìn)而求出P4的值，然后

由棱錐體積公式計算即可求解；

(2)、連接6。，與AC交于點。，連接。找出異面直線與PC所成的角，解三角形

即可求出異面直線8M與PC所成角的大小.

［小問1詳解］

連接AC，?.?24_L平面ABC。，ACu平面ABC。,..24LAC,

;.AC是PC在平面A8CO上的射影，，/。(力即為PC與平面A8CD所成的角.

TTJT

???PC與平面A8C0所成角的大小為一，.?.ZPCA=

33

又?.YBCD是邊長為2的正方形，4C=2j5,

在Rt^PCA中，PA=ACtan—=2A/2XG=2>/6,

3

???四棱錐P—ABCD的體積為VfB8=|SABCDxPA=；X4X2指=半

［小問2詳解］

連接3D，與AC交于點。，連接OM,

?.?他8是邊長為2的正方形，；.8。=2后，。點為4。中點，。點為BD中點,

又。.?M為Q4中點，,〃PC,ZBMO即為異面直線BM與PC所成角,

又

2222

?：BO=LBD=6,MO=LPC=Ly/AC+PA=-,8+24=2垃,BM=ylAB+MA=V?+6=V10

2222

BO2+MO2=BM2,：.BO±MO,

在ABMO中，cosZ.BMO-,...ZBMO=arccos-

BMM55

異面直線BM與PC所成角的大小為arccos拽.

5

18.已知向量m=-,-sin2x+—cos2x,n=(/(%),-1),且比_L五，

、222>

⑴求函數(shù)/(x)在xe［0,%］上的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知AABC的三個內(nèi)角分別為A,8,C,其對應(yīng)邊分別為a,4c,若有/(A-專)=1,

BC=6，求AABC面積的最大值.

,一萬77r

［答案］⑴-，—

⑵邁

4

［解析］

［分析］(1)利用向量性質(zhì)和三角恒等變換求出/(x)=2sin(2x+g),進(jìn)而求出函數(shù)/(x)在

上的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)根據(jù)/(4-專)=1,求出4=三，利用余弦定理和基本不等式求出AABC面積最大值.

［小問1詳解］

,比m-n=0,即g/(x)-gsin2x-^^cos2x=0，

所以f(x)=sin2x+>/3cos2x=2sin2x+—

<3

TTTT37r7i7TE

令—F2kli<2xH—<---F2E,ksZ,解得：---Fku<x<---Fku,kGZ,

2321212

工+E20

I?15

因為xw［0,?］,所以〈丁,解得：一一<k<—f

7兀//1212

---卜faiW71

U2

TT77r

因為ZeZ,所以攵=0,所以一—,

1212

兀77r

函數(shù)/(X)在xe。萬］上的單調(diào)遞減區(qū)間為—；

［小問2詳解］

小-。2中+2)=1,即sin.+jT'

因為A￡(0,7T),所以2A+gE，所以2A+^=型，解得：A=g，

6166J663

因為3C=a=G，所以cosA='*'—-=—,從而從+c?=Z?c+3，

2bc2

22

由基本不等式可得：b+c>2bcf當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時等號成立，

即次:+322/七，解得：hc<3,

由面積公式得：s,?r=-bcsinA=—he<，當(dāng)b=c=百時，等號成立,

△ABC244

所以AABC面積的最大值為地

4

19.某公司經(jīng)過測算，計劃投資A3兩個項目.若投入A項目資金X(萬元)，則一年創(chuàng)造的

Y

利潤為一(萬元)：若投入3項目資金M萬元)，則一年創(chuàng)造的利潤為

2

10xcCC

.------，0<x<20_

/(x)=<30-x(萬兀).

20,x>20

(1)當(dāng)投入AB兩個項目的資金相同且B項目比A項目創(chuàng)造的利潤高，求投入A項目的資

金”萬元)的取值范圍；

(2)若該公司共有資金30萬，全部用于投資A8兩個項目，則該公司一年分別投入A8兩

個項目多少萬元，創(chuàng)造的利潤最大.

［答案］⑴(10,40)

(2)當(dāng)10萬元投入A項目，20萬元投入8項目時獲得利潤最大

［解析］

［分析］(1)分04xK20和x>20解不等式。再求并集即可求解(2)求出利潤的函數(shù)關(guān)系，分

段求最大值即可求解

［小問1詳解］

X1Orx

當(dāng)04xW20,-<-------解得10<xW20；當(dāng)x>20,一<20解得20<%<40,綜上

230-x2

%e(10,40)

［小問2詳解］

設(shè)對4項目投入資金％萬元，則對8項目投入資30-X萬元；

X

所以,W(x)=-+f(30-x)=-

0<x<10

當(dāng)10WXW30,卬(同=；+^^=；+當(dāng)一10±2洞一10當(dāng)且僅當(dāng)無=27^5等號

2x2x

成立,且W(10)=105>W(30)=15,故W(x)最大值為105

當(dāng)0Wx<10,W(x)e［20,30),綜上當(dāng)10萬元投入A項目，20萬元投入3項目時獲得利

潤最大

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動圓經(jīng)過點且與直線犬=-：相切，設(shè)該動圓圓

心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點.

⑴求曲線K的方程；

(2)過點A且斜率為攵的直線/與曲線K交于良。兩點，若///0P且直線0P與直線x=1

(3)若點2E在＞軸上，△「吹的內(nèi)切圓的方程為(x-l)2+V=l,求△PDE面積的最小

值.

［答案KDy2=2x

嗎

⑶8

［解析］

［分析］(1)根據(jù)拋物線的定義直接判斷出軌跡寫出方程即可；

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程求出|A8|?|AC|,再求出P,。點坐標(biāo)，計算|。月,|。。|,即

可求解；

(3)求出OE的長，再利用點到直線的距離求出三角形的高，代入面積公式，由均值不等式

求最值即可.

［小問1詳解］

由題意，動圓圓心到與到直線x=-g距離相等，

所以曲線K為拋物線，焦點為

所以拋物線方程為＞2=2x；

［小問2詳解］

設(shè)直線/：y=Z(x—g),

則卜=十一》=k2x2-(k2+2)x+—=0,

y2=2cx4

%+%=1+

由根與系數(shù)關(guān)系可得

\AB\-\AC\=｛x｝+；］［工2+；］=玉電+；(X+%)+；=；++D=，

\ZtJ\乙)乙3乙乙、.K)K

l~44~_2y/l+k2

vF+F-

又p，="nQ(LQ

x=l

1+―

.\AB\-\AC\__\

"\OP\-\OQ\~14^1?-￡7^~*2~*

k~

［小問3詳解］

設(shè)P(x0,y0)(x0>2),且切線斜率為k,kpD=k｛,kPE=k2,

則切線方程為y—%=々(x-%),

d==］=(*_2X汝2+(2%-2xoyo)k+2xo-l=O,

Jl+二

,,2U)-2x,y,,2x-1

所以%+&=--;0也=?n。.，

x()-2x°x<)-2x(j

則D(O,-k,x+%),y),

oE(O,-/C2XO+0

貝ij|DEHk,-k2lx0=+右)2-4女//0=,

光0-2

所以S&OE=；,用、，玉)=(-^o_2)+―4~+4>8

2x0-2x0-2

,