構造直角三角形解題韓玉海在解某些數學問題時，假設能根據題意構造出直角三角形，那么可利用直角三角形的性質，巧妙地將題目解出。下面舉例說明。1、求線段長［例1］在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，AB=2，CD=1。求BC和AD的長。解：延長AD、BC交于F，得Rt△ABF和Rt△CDF，且∠F=30°。在Rt△ABF中，由AB=2，∠F=30°得AF=2AB=4同理可得CF=2，DF=∴BC=BF－CF=，AD=AF－DF=4－。2、求角的度數［例2］如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D在AC的延長線上，AB=CD。求∠CBD。解：作AE⊥BC于E，連DE，在Rt△ABE中，BE=AE，在Rt△AEC中，所以。那么AB=而AB=，故CE=CD∠1=∠2=∠ACB=30°又∠EAC=30°，所以DE=AE=BE所以∠CBD=∠3=∠1=15°3、證線段倍分［例3］如圖，∠B=90°，∠1=∠2=60°，∠C=45°，求證：CD＋BD=AB。證明：把△ABD繞AD翻轉到△AB'D的位置，那么B'D=BD，AB'=AB，∠B'=∠B=90o，∠2=∠3。由∠1＋∠2＋∠3=180°，知C、D、B'三點共線，故△AB'C為等腰直角三角形，從而有：CD＋B'D=AB'，∴CD＋BD=AB。4、證不等［例4］如圖，在△ABC中，BC>AC，AD、BE為高，求證：BC＋AD>AC＋BE。證明：由題意，在BC上取一點A'，使A'C=AC，作A'D'⊥AC于D'，A'F⊥BE于F，那么四邊形EFA'D'為矩形，得A'D'=FE又有Rt△A'D'C≌Rt△ADC，于是A'D'=AD∴BA'=BC－A'C=BC－ACBF=BE－FE=BE－A'D'=BE－AD在Rt△A'BF中，BA'>BF，即BC－AC>BE－AD∴BC＋AD>AC＋BE.5、解三角問題［例5］求cot22.5°的值。解：構造如下圖的Rt△ABC，那么cot22.5°=6、解代數問題［例6］假設a>3，求證：。證明：作出如下圖的Rt△ABC，由BD＋AD>AB，得∴7、求最值［例7］假設m、n、p為正實數，且，求：的最小值。解：構造如下圖的直角三角形，易知CD≤AE，即∴故的最小值為［例8］求的最小值。解：構造如下圖的Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直線L上，那么所求最小值轉化為“在直線L上求一點P，使PA＋PB的值最小”，取A點關于L的對稱點A'，那么有：原式=PA＋PB≥A'B故的最小值是5。更多精彩文章盡在揚州假日培訓網！點擊更多驚喜等著您！構造直角三角形解題山東省萊西市牛溪埠鎮欒家寨中學秦顯平山東省萊西市教育局教研室梁翠風在解決一些線段或角的數量關系問題時，根據圖形的特征，可考慮構造直角三角形，以運用直角三角形的邊角關系求解．1．等腰三角形問題例1如圖1，D為等腰△ABC的底邊BC的延長線上的任意一點．求證AD2-AC2＝DB·DC．證明作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝EC．根據勾股定理，有AD2-AC2＝(AE2+ED2)-(AE2+EC)2＝ED2-EC2＝(ED+EC)(ED-EC)＝DB·CD．2．面積問題例2如圖2，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，△ABC的面積為解作CD⊥AB于D，∵∠B＝60°，∵∠A＝180°-60°-75°＝45°，解得a＝2，應選C，3．直角問題例3如圖3，在四邊形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數．解連結AC，設AD＝a，那么AB＝BC＝2a，CD＝3a．∵∠B＝90°，且AB＝BC，又∵AC2+AD2＝8a2+a2＝9a2＝CD2，∴△CAD為直角三角形．且∠CAD＝90°，∴∠BAD＝90°+45°＝135°．例4如圖4，在四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°．解延長AB和DC相交于E，延長AD和BC相交于F，易知4．三角函數問題例5如圖5，AD是△ABC的中線，∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠ADC＝γ．證明分別從B、C向AD或AD延長線作垂線，垂足為E、F．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴AE-AF＝2ED＝2BEctgγ①而AE＝BEctgα，AF＝CFctgβ＝BEctgβ，把它們都代入①，化簡即得，5．勾股定理的逆定理問題例6如圖6，P是正方形ABCD內的一點，且2BP2+AP2＝PC2．求證∠APB＝135°．分析條件似乎很不夠，可考慮用旋轉，把△PBC繞B點逆時針旋轉90°得△P＇BA，那么PB＝P＇B，∠P＇BP＝90°，∠P＇PB＝45°，且2BP2+AP2＝P＇B2+BP2+AP2＝P＇P2+AP2＝PC2＝P＇A2．∴∠APP＇＝90°，∠APB＝90°+45°＝135°．6．直徑問題例7如圖7，圓內接四邊形ABCD中，AC是⊙O的直徑，∠DAB＝60°，CD＝2，BC＝11．求AC的長．解∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠B＝90°．延長BC、AD交于E，那么△DCE為直角三角形．∵∠B＝90°，∠DAB＝60°，∴∠E＝90°-60°＝30°，在Rt△CDE中．∵∠E＝30°，∴EC＝2CD＝4，∴BE＝BC+EC＝11+4＝15，例8如圖8，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內一點，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5