2023～2024學年度第一學期期末模擬試卷（一）九年級數學（考試時間：120分鐘總分：150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題要求的。請將選擇題的答案用2B鉛筆填涂在答題卡上）1．如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．長方體 D．正方體2．函數的圖像經過點，則下列點中不在此函數圖像上的是（

）A． B． C． D．3．已知是銳角，且，那么等于（）A． B． C． D．4．如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（）

A． B． C． D．5．如果兩個相似三角形的周長比是1：2，那么它們的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．：16．在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，把縮小為原來的，得到，則點的對應點的坐標是（）A． B．或C． D．或7．如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數的圖象上，其縱坐標為，過點作軸，交軸于點，將線段繞點順時針旋轉得到線段．若點也在該反比例函數的圖象上，則的值為（

）

A． B． C． D．8．如圖：是的直徑，是弦，過弧的中點P作弦，交于D，交于E，則下面關系不成立的是（）

A． B． C． D．9．如圖，在中，，的半徑為2，點P是線段上的一動點，過點P作的一條切線，Q為切點．，則y與x的函數圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

10．如圖，中，，，點是的中點，點是平面內一個動點，，以點為直角頂點，為直角邊在的上方作等腰直角三角形．當的度數最大時，的長為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共有8小題，第11～12每小題3分，第13～18每小題4分，共30分）11．如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把繞點A順時針旋轉后得到，則點的坐標是．12．已知圓錐的底面半徑是，母線長為，C為母線的中點，螞蟻在圓錐側面上從A爬到C的最短距離是．13．若二次函數的圖象與x軸只有一個公共點，則．14．反比例函數的圖象上有一點，當，則的取值范圍是．15．如圖，平行四邊形的頂點B在雙曲線上，頂點C在雙曲線上，中點P恰好落在y軸上，已知，則．

16．已知，，當時，函數；當時，函數．點在函數y的圖象上，當n取一實數時，存在三個不同的實數m，則n的取值范圍是．17．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象相交于AB，若，則k的值為.18．我們用符號表示不大于x的最大整數.例如：，.那么：當時，函數的圖象始終在函數的圖象上方.則實數a的范圍是.三、問答題（本大題共有8小題，共90分.）19．如圖，在中，，于點D．，求BC的長．20．如圖，的三個頂點在上，的半徑為5，，求弦的長．21．如圖，△ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，CE，AD交于點F，BD＝AD，BE＝EC．

(1)求證：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，試求∠ABC的度數．22．如圖，是的外接圓，是的直徑，過點的直線與相切于點，在直線上取一點，使得．

(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結果保留）．23．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸的正半軸上，．對角線相交于點，反比例函數的圖象經過點，分別與交于點．

(1)若，求的值；(2)若，求反比例函數關系式．24．某大學生創業團隊抓住商機，購進一批干果分裝成營養搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發現每天的銷售量（袋）與銷售單價（元）之間的關系滿足下表，另外每天還需支付其他各項費用100元．銷售單價（元）3.544.555.5銷售量（袋）350300250200150(1)請你從學過的一次函數、二次函數、反比例函數三個模型中確定哪種函數能恰當地表示與的變化規律，并直接寫出與之間的函數關系式．(2)為了在春節前將這批干果銷售完，每天的銷量不能低于150袋，如果每天獲得200元的利潤，銷售單價為多少元？(3)若每天的銷量不能低于150袋，當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？25．在平面直角坐標系中，點在拋物線上，設拋物線的對稱軸為(1)當時，求拋物線與y軸交點的坐標及的值；(2)點在拋物線上，若求的取值范圍及的取值范圍．26．如圖1，已知點，，且a、b滿足，平行四邊形的邊與y軸交于點E，且E為的中點，雙曲線上經過C、D兩點.

(1)求k的值；(2)點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點Q的坐標；(3)以線段為對角線作正方形（如圖3），點T是邊上一動點，M是的中點，，交于N，當T在上運動時，的值是否發生變化，若改變，請求出其變化范圍；若不改變，請求出其值.

參考答案與解析

1．A【詳解】解：根據主視圖是三角形，圓柱、長方體、正方體不符合要求，故B、C、D錯誤；只有A符合要求．故選A．2．C【分析】由反比例函數圖象上點的坐標特點找到橫縱坐標的積不等于8的點即可．【詳解】解：函數的圖象經過點，．A、，在反比例函數圖象上，不符合題意；B、，在反比例函數圖象上，不符合題意；C、，不在反比例函數圖象上，符合題意；D、，在反比例函數圖象上，不符合題意．故選：C．【點睛】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點；用到的知識點為：反比例函數圖象上點的橫縱坐標的積相等．3．D【分析】直接利用特殊角的三角函數值得出答案．【詳解】∵sinA=，∴∠A=60°．故選D．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，正確掌握相關數據是解題的關鍵．4．C【分析】本題考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握判定定理是解決本題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，A.添加，可得到相似，不符合題意；B.添加，可得到相似，不符合題意；C.添加，不能得到相似，符合題意；D.添加，可得到相似，不符合題意；故選C．5．B【分析】直接根據相似三角形的性質即可得出結論．【詳解】解：∵兩個相似三角形的周長比是1：2，∴它們的面積比是：1：4．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．6．B【分析】以原點為位似中心，把縮小為原來的，即位似比是，根據位似的性質即可求解．【詳解】解：根據題意得，位似比是，且位似比是的三角形有兩個，，∴①乘以得，；②乘以得，，故選：．【點睛】本題主要考查位似的性質，理解和掌握位似的性質是解題的關鍵．7．D【分析】作軸于，根據題意，，由于將線段繞點順時針旋轉得到線段，得出，，即可得出，即可得出，，得到，代入反比例函數解析式即可求得的值．【詳解】解：作軸于，點在反比例函數的圖象上，其縱坐標為，過點作軸，交軸于點，，，將線段繞點順時針旋轉得到線段．，，，，，，點也在該反比例函數的圖象上，，解得，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化旋轉，表示出點的坐標是解題的關鍵．8．D【分析】連接，，根據直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得，再根據垂徑定理可得，，從而可得，進而利用同角的余角相等可得，然后根據等弧所對的圓周角相等可得，從而可得，即可判斷A；利用等式的性質可得，從而可得，即可判斷B；利用兩角相等的兩個三角形相似可得，然后利用相似三角形的性質即可判斷C；連接，，證明8字模型相似三角形，然后利用相似三角形的性質即可判斷D．【詳解】解：連接，，

∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵點P是的中點，∴，∴，∴，∴，故A不符合題意；∵，，∴，∴，∴，∴，故B不符合題意；∵，，∴，∴，∴，故C不符合題意；連接，，

∵，，∴，∴，∴，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．9．A【分析】作，垂足為，證明，得出，根據題意得，則列出函數表達式，再根據函數解析式判定圖象即可．【詳解】解：如圖，作，垂足為，∴，

，，，，，，，，，，∵是的切線，∴，，∴該函數圖象是拋物線，故D錯誤；當時，，當時，．故C錯誤；拋物線的頂點坐標為，故B錯誤；綜上，只有A符合．故選：A．【點睛】本題主要考查了函數的圖象與列函數表達式，相似三角形的判定與性質，勾股定理，切線的性質等等，分析題意弄清題目中的函數關系是做出正確判斷的根本．10．B【分析】如圖，連接AF，通過對應邊的比相等和兩邊的一夾角證明，得出點F的運動軌跡為在以A為圓心，以AF為半徑的圓；過點D作的切線，連接，可知為最大值，此時；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接AF由題意知和均為等腰直角三角形∴∴∵∴∴∴∴點F在以A為圓心，以AF為半徑的圓上運動∴過點D作的切線，連接，可知為最大值，此時在中，，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴當最大時，故選B．【點睛】本題考查了三角形相似，切線，勾股定理等知識．解題的關鍵與難點在于得出點F的運動軌跡．11．【分析】首先根據直線來求出點A和點B的坐標，的橫坐標等于，而縱坐標等于，進而得出的坐標．【詳解】解：對于，當時，，當時，，解得：，∴，∴，∵把繞點A順時針旋轉后得到，∴，∴軸，∴點的縱坐標為長，即為3，橫坐標為，∴點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了對于圖形旋轉性質的理解，其中要考慮到點B和點位置的特殊性，以及點的坐標與的關系．12．【分析】根據題意可得圓錐的底面周長是，即可得圓錐側面展開圖的圓心角是，展開圓錐的側面，構造直角三角形即可得．【詳解】解：圓錐的底面周長是：，則，即圓錐側面展開圖的圓心角是，如圖所示，∴，∵，∴是等邊三角形，∵C是的中點，∴，∴，∵在圓錐側面展開圖中，，∴在圓錐側面展開圖中：，∴螞蟻在圓錐側面上從A爬到C的最短距離是：，故答案為：．【點睛】本題考查了最短距離問題，解題的關鍵是掌握圓錐的計算，勾股定理，將最短距離轉化為平面上兩點間的距離并正確計算．13．1【分析】此題考查了二次函數圖象與一元二次方程根的關系，根據二次函數圖象與一元二次方程的關系“二次函數圖象與x軸的交點個數等于對應的一元二次方程根的個數，與x軸橫坐標等于對應一元二次方程的解”，即可解答．【詳解】解：∵二次函數的圖象與x軸只有一個公共點，∴方程有兩個相等的實數根，∴，解得：，故答案為：1．14．或【分析】依據題意，由點在反比例函數圖象上，點的縱坐標，從而可以得解．【詳解】解：由題意，由，當時，．當時，或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解題時要熟練掌握并理解．15．【分析】連接，過點和點分別作軸的垂線段和，先證明，則，易知，，由此可得，從而得到，求出的值即可．【詳解】解：連接，過點和點分別作軸的垂線段和，垂足分別為點E、D，如圖所示：

，中點恰好落在軸上，，，，，點在雙曲線上，，點在雙曲線上，且從圖像得出，，，四邊形是平行四邊形，，，解得：，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數的幾何意義、平行四邊形的面積，解決這類問題，要熟知反比例函數圖象上點到軸的垂線段與此點與原點的連線組成的三角形面積是．16．【分析】首先畫出兩個函數圖像，再根據已知條件畫出y的函數圖像，求出點A和點B坐標，將當n取一實數時，存在三個不同的實數m轉化為存在一點，使直線與的圖像有三個不同的交點，根據點A和點B的縱坐標可得n的范圍．【詳解】解：畫和的圖像如下：∵當時，函數；當時，函數，∴，則圖像如下：如圖，點A為的頂點，點B為與y軸交點，在中，頂點為，即，令，則，則；∵當n取一實數時，存在三個不同的實數m，∴存在一點，使直線與的圖像有三個不同的交點，∴當直線在和之間時，滿足條件，故n的范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數和一次函數的圖像和性質，題目比較抽象，解題的關鍵是讀懂題意，轉化為圖像問題，利用數形結合思想求解．17．8【分析】運用直線與反比例函數的解析式表達A，B兩點的坐標，從而證得，再根據圖象的幾何性質求得k值．【詳解】解：設直線與軸交于點，與軸交于點，過作于E，對于直線，令，得，令，得，則，故是等腰直角三角形，∵，∴，聯立直線與反比例函數的解析式，得，整理得，，故，設，則，，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，解得，∵，∴，即∵B在反比例函數圖象上，∴，故k值為8．故答案為：8．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合問題，通過數形結合的方法分析函數圖象的特征點，是解題的關鍵．18．【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系，由題意，構建不等式即可解決問題．【詳解】解：由題意：當時，函數的圖象始終在函數的圖象上方或圖象上，當時，則有時，函數分別為：，，由題意，，∴，當時，則有，，而，，此時的圖象在的圖象上方或圖象上．當時，則有，，，當時，有最小值，最小值要大于或等于4，∴，解得，綜上所述，時，函數的圖象始終在函數的圖象上方或圖象上，故答案為：．19．【分析】先在中利用的定義可計算出的長，再利用勾股定理解答即可．【詳解】解：∵，，∴．在中，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，勾股定理和解直角三角形，熟練運用余弦求線段長度是解題的關鍵．20．弦的長為5【分析】連接并延長交于，根據圓周角定理得到，，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：連接并延長交于，連接，則，，的半徑為5，，，，故弦的長為．【點睛】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．21．(1)見解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，結合∠B＝∠B，可以得到；（2）設∠B＝x，則由（1）和已知條件可以得到關于x的方程，解方程即可得到問題解答．【詳解】（1）證明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：設∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即

【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，熟練掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性質、三角形內角和定理及方程思想方法的應用是解題關鍵．法的應用是解題關鍵．22．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由得，結合依據題干有，又因為直線與相切于點，點在上，是的半徑則有所求結論．（2）利用切線的性質和勾股定理求解圓的半徑，根據特殊角的三角函數值推出角度，結合等面積法解得陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

，，又，，，直線與相切于點，，，點在上，是的半徑，直線是的切線．（2）解：設半徑，則，在中，，，解得，，，，，，故圖中陰影部分的面積為：．【點睛】本題主要考查等腰三角形性質、切線的判定和性質、勾股定理、特殊角的三角函數值、扇形面積計算的知識，正確做出輔助線和利用特殊角的三角函數值是解題的關鍵．23．(1)28(2)【分析】（1）先利用矩形的性質和線段中點坐標公式得到,然后把點坐標代入,可求得的值;（2）利用勾股定理計算出,則5，所以，設，則,，利用反比例函數圖象上點的坐標得到，解得，從而得到反比例函數解析式為；【詳解】（1）矩形的頂點在軸的正半軸上，，，對角線相交于點，點為的中點，如圖，過作于點，則為的中點，

易得點的坐標為，把代人，得．（2），，設，則，反比例函數的圖象經過點，，解得，反比例函數關系式為．【點睛】本題考查了反比例函數系數的幾何意義：在反比例函數圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值，也考查了反比例函數的性質24．(1)一次函數，(2)4元(3)當銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是300元【分析】（1）設與之間的函數關系式為，再用待定系數法求解即可；（2）根據“每天獲得200元利潤”可得到關于的一元二次方程，解方程并根據每天的銷量不能低于150袋即可求解；（3）設每天的利潤為元，則，根據二次函數的性質即可得到答案．【詳解】（1）解：從表格可以看出與成一次函數，設與之間的函數關系式為，將，，，代入解析式得：，解得：，與之間的函數關系式為；（2）解：根據題意，得，整理得：，解得：，，，，，如果每天獲得200元的利潤，銷售單價為4元；（3）解：設每天的利潤為元，則，，，當時，最大，此時，當銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是300元．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、一元二次方程的應用、一元一次不等式的應用、二次函數的應用，理解題意，找準數量之間的關系是解此題的關鍵．25．(1)（0，2）；2(2)的取值范圍為，的取值范圍為【分析】（1）當x=0時，y=2，可得拋物線與y軸交點的坐標；再根據題意可得點關于對稱軸為對稱，可得t的值，即可求解；（2）拋物線與y軸交點關于對稱軸的對稱點坐標為（2t，c），根據拋物線的圖象和性質可得當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況討論：當點，點，點（2t，c）均在對稱軸的右側時；當點在對稱軸的左側，點，（2t，c）均在對稱軸的右側時，即可求解．【詳解】（1）解：當時，，∴當x=0時，y=2，∴拋物線與y軸交點的坐標為（0，2）；∵，∴點關于對稱軸對稱，∴；（2）解：當x=0時，y=c，∴拋物線與y軸交點坐標為（0，c），∴拋物線與y軸交點關于對稱軸的對稱點坐標為（2t，c），∵，∴當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，當點，點，（2t，c）均在對稱軸的右