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河北唐山2021高三數學第一次模擬演練試題含答案

唐山市2021年普通高等學校招生統一考試第一次模擬演練

數學

注意事項：

1、答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題

卡上，寫在本試卷上無效。

3、考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={x|-lVx<2},B={x\x<2},則/UCRB=

A.RB.{x|-lVxV2}

C.{x|x>-l}D.{x|x<2}

2.若虛數Z滿足z(l+i)=|z|2,貝l]z=

A.1-iB.1+i-C.-1-iD.-1+i

KK

3.設a=l0gl0.3,b=03,c=3~,則

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

4.圓x2+/-2x-2y-2=0上到直線3x+4y+c=0距離為1的點恰有一個，則c=

A.3B.8C.3或一17D.一22或8

5.記(x+34展開式的偶數項之和為P,則P的最小值為

A.1B.2C.3D.4

6.在0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的兩位整數中任取一個，則取到的整數十位

上數字比個位上數字大的概率是

7.己知雙曲線C：5一8=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為B，尸2，直線尸?任

與C相交于4B兩點,若四邊形4尸出片是矩形，則雙曲線C的離心率0=

A.y[2B.石C.y12+1D.小+1

8.已知函數丁=/(x)(x￡R)是奇函數，當xVO時，/(x)=8x3—log2(-x),則滿足

/(10g4X)^0的x的取值范圍是

A.改,+8)B,[y,2]

C.[y.l]u[2.+8)D.[0,y]u[1,2]

高三數學試卷第1頁(共4頁)

二、選擇題：本題共4小髓，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部挖致的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分。

9.已知F為橢圓E：多+￡=1(。>6>0)的左焦點，A,B為E的兩個頂點.

若Ufl=5,|SF!=3,則E的方程為?Z

-

A.y+^-=lB.S=

25?+-+Z

C.務D.-

N=

|6

10.在下列函數中，其圖象關于直線■對稱的是

A./(x)='73sinx+cosxB.f(x)=yj3cos2x+sin2x

C./(x)=,>/5cosJ—sinxD.f(x)—y/3sin2x—cos2x

11.在正方體中，尸是面對角線BD上的動點,

。是棱GA的中點，過小、尸、0三點的平面與正方體的

表面相交，所得截面多邊形可能是

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

12.函數f(x)=2?+9的圖象(如右圖)稱為牛頓三叉

戟曲線，則

A./(x)的極小值點為六

B.當x>0時，|/(-x)|</(x)

C.過原點且與曲線y=/(x海切的直線僅有2條

D.若/(xi)=y(X2)，X|<0<Xj,則x?-X|的最小值為S

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在等比數列｛4｝中，&為其前〃項和，與=4,勾+%=10,

則S5=.

14.與向量a=(-l,2)同向的單位向量。=.

15.為了解MS5子在小鼠體內的殘留程度，

進行如下試驗：給100只小鼠股M離子

溶液，每只小鼠給眼的溶液體涼相同*

摩爾濃度相同，經過?段時間后檢測出

殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試

驗數據得到如右頻率分布直方圖，則圖

中a=:估計M離子殘留百分比

的平均數為.(同組中的每個

數據用該蛆區間的中點值代替)

)6.在三棱錐P-/BC中，△尸48是邊長為3

的等邊三角形，AC=BC,N/C3=90°,二面角「-加-C的大小為120。，則三校錐

P-ABC外接球的表面積為.

高三數學試卷第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

在中，角48,C的對邊分別為a,b,c.C=2B.

(1)若a=2,3=15。，求A48C的面積；

(2)若a+b=?證明：△ZBC為等腰直角三角形.

18.(12分)

已知數列｛4｝滿足q=—'1,an+i+(—2”，記數列｛/｝的前〃項和為S”.

(1)求SK?的值；

(2)求工的最大值.

19.如圖，三棱柱中，側面4CCM_L底面/BC,ZACB=90°,

AC=BC=CCi=2.

(1)證明：AtC±AB^

(2)若小小與平面/BiG所成角的正弦值為半，求四面體4cBl4的體積.

20.(12分)

已知拋物線氏x2=4y,點P(l,-2),斜率為左/>0)的直線/過點尸，與E相交

于不同的點4,B.

(1)求上的取值范圍；

(2)斜率為一長的直線m過點P,與E相交于不同的點C,D,證明：直線/C,直

線BO及y軸圍成等腰三角形.

高三數學試卷第3頁(共4頁)

21.（12分）

某賽事共有16位選手參加，采用雙敗海汰制.雙敗淘汰制，即一個選手在兩輪比賽

中失敗才被淘汰出局.各選手抽簽后兩兩交戰（姑果是“非勝即敗”）,勝者繼續留在

勝者組，敗者則被編入敗者組，在JR者組一旦失敗即被淘汰，最后由勝者組的獲勝者和

敗者組勝者組

賽前通過抽簽確定選手編號為1~16,在勝者組進行第一輪比賽.每條橫線代表一場

比賽,橫線下方的記號為失敗者的編號代碼，而獲勝者沒有代碼，如敗者組中的①,②,

⑧指的是在勝者組第一輪比賽的失敗者，敗者組中的A,B,…，G指的是在勝者組第二

輪到第四輪比賽的失敗者.

（1）本賽事共計多少場比賽？一位選手最多能進行多少輪比賽？（直接寫結果）

<2）選手甲每輪比賽勝敗都是等可能的，設甲共進行*輪比賽，求其期望

（3）假設選手乙每輪比賽的勝率都為八那么乙有三成把握經敗者組進入決震嗎？

參考知識：正整數〃>1時，（l-^）"<7-e為自然對數的底，=2.71828.

22.（12分）

已知函數ya）=墨■.

（1）證明：/'（X）在定義域內為減函數；

（2）當。>0時，/（x）》盤，求a的取值范圍.

高三數學試卷第4頁（共4頁）

唐山市2021年普通高等學校招生統一考試第一次模擬演練

數學參考答案

—.選擇題：CACDBBDC

二.選擇題：ACDADABCBD

三.填空題：13.31;14.（一（，明

15.0,150,6.1（第一空2分，第二空3分）16.137t

四.解答題：（若有其他解法，請爹眠給分）

17.解：

(1)由C=2B及8=15。得C=30。，于是N=135。.…1分

由正弦定理可得b=q§^=2\!2sinB=2Aj5sin15。=3一1,…4分

sin4

因此Sz^BC=LbsinC=――-5分

22

(2)由C=25得sinC=sin28=2sinBcosB,

由正弦定理可得c=2bcos5,…7分

又ZaccosBu^+c2—左，所以

整理可得(。-6)[4—b(a+b)]=O,

將a+b=y/ic代入上式可得(a—b)2(a+b)=0,

因此。=b,…9分

于是c=3a=/6,即C=90°.

故△45C為等腰直角三角形.…10分

18.解：

(1)由a.+i+(—?a〃=11—2〃可得

當〃=2%(%￡N")時，血+1+儂=11一必...(i)"1分

所以。2+。3=11—4X1,0|+。5=11—4X2,…，aioo4-￡7101=11—4X50,-3分

因此Sioi=ai+11X50-4X(1+50)X50=-4551.5夕

2

6夕

(2)當"=2A—1(ACN*)時，a*—a2*_i=13—4A.......(ii),

7夕

(i)式減去(ii)式得血+1+。21=—2,

8夕

又ai=-1,于是。21=—1(%￡N*),a2k=T2-4k夕

9

可得。2=8,?4=4,?6=0；當A>3(A￡N*)時，t?2*<0；

又A￡N*,=—IVO,

則w>6(〃￡N‘)時，51V0；?,10分

又Si=T,S2=7,S3=6,S4=10,S5=S6=9,

w>6(〃￡N?)時，Sn>Sn+l；-11分

因此〃=4時，S〃取得最大值，且S4=10.??12分

高三數學答案第1頁（共4頁）

19.解：

(1)側面4CCi4_L底面48C,44cB=90。，得BC_L側面/CCXi,

又/Cu側面ACCiAi,得BCLAiC,…2分

由BC〃BCi,得BiG_L4C：

由/C=CG=2,得側面ICG/i是菱形，ACt±AiC,,?,4分

又BQfl4c尸G,則4|C_L平面ZB1G,

又/Biu平面/8iG,則4c_L4S.,?,6分

(2)設4GC—,連接BQ.

由(1)可知4C_L平面為/61在平面/BiG上的射影,

則N4BQ即為小8與平面NBCi的所成角，,，,8分

又AiBi=2啦,由sinN/向。=',得4。=1,

…9分

則4C=4G=CG=2,S^tcc=y/3.

忠X2二寺.

P四面體：棱錐BdC4i=；XSzU|CCiX51Cl=：X,?,12分

20.解：

(1)由題意設/的方程為歹+2=以工-1),與f=4》聯立得,

/一4履+必+8=0

由△>()得幺一4一2>0,即AV—1,或&>2.…4分

又k>0,

所以％的取值范圍是(2,+8).,?,5分

(2)設力(M,切)，5(/2,詞，。(入3,力)，。(王4,四，

由(1)可得Xl+32=4A;…6分

由題意設機的方程為y+2=—A(x—1),與*=4y聯立得，

f+4b—4〃+8=0

得力+初=—4代???8分

￡火=%一歹1=3-4=不+制,

X3-xy4(X3—X1)4

同理檢0=氈士拉10分

4

因為禽c+而=*+*+*+、4=0

4

所以直線4C,直線8。及y軸圍成等腰三角形.12分

高三數學答案第2頁(共4頁)

21.解：

(1)30,7.,?,4分

(2)X的可能取值為2,3,4,5,6,7.

尸(*=2)=伊=9尸(*=3)=咐=.尸(丫=4)=0件=方,

24242lo

尸吠=5)=叱)5+鈔=點P(X=6)=P(X=7)=叱卜已

分布列如下：

X234567

113311

P4416161616

11241115

貝lj^(A)=2X-+3X-+4X—H-5X—+6X—+7X—=—.…8分

'44161616164

(3)乙經敗者組進入決賽的概率為/a)=ci(i—。戶，o</<i.

八，)=4?5—6/),當0?￡時，/'(/)>0,/⑺單調遞增，

6

當時，r(z)<o,/⑺單調遞減，

6

得/(,)的最大值為期=4XW)5=(X(1>=耕1—'

由參考知識得(l-pv。故尼)

所以，乙經敗者組進入決賽沒有三成把握.,?,12分

22.解：

3)/(x)的定義域為(0,1)U(1,+8).…1分

,1.

1--------Inx?I11

f'(x)=_5---------令8(力=1-上一Inx,則8口)==一!=一,??3分

(x—*xx

當0<x<l時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

當x>l時,g'(x)<0,g(x)單調遞減，

所以g(x)Wg(l)=0,/(x)V0,

因此/(x)在(0,1)和(1,+8)內分別單調遞減.…5分

由g(x)W0得1—等號當且僅當x=1時成立，

X

所以InxWx—1,等號當且僅當x=l時成立.

令達￡(0,1),*￡(1,+8),

于是InxiVjn-1,\nx2<X2~1?又為一IVO,X2~1>0,

從而M">1,In*v],所以/(M)>/(X2),

x\—\