八年級數學上學期期末【全真模擬卷03】（浙教版）（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）考生注意：本試卷26道試題，滿分120分，考試時間100分鐘．本試卷分設試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關信息．一．選擇題（共10小題每題3分，滿分30分）1．在下列交通標志圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【解答】解：選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，選項A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，故選：C．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．平面直角坐標系中，點A（﹣1，3）到y軸的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據點到y軸的距離等于橫坐標的絕對值判斷即可．【解答】解：平面直角坐標系中，點A（﹣1，3）到y軸的距離是|﹣1|＝1，故選：A．【點評】本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值是解題的關鍵．3．若a＜b，c≠0，則下列不等式不一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．a﹣c＜b﹣c C．ac2＜bc2 D．＜【分析】根據不等式的基本性質判斷即可．【解答】解：A選項，∵a＜b，∴a+c＜b+c，故該選項不符合題意；B選項，∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故該選項不符合題意；C選項，∵a＜b，c≠0，∴ac2＜bc2，故該選項不符合題意；D選項，∵a＜b，c≠0，∴當c＞0時，＜；當c＜0時，＞，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了不等式的基本性質，掌握①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變是解題的關鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，點E在AD上．且AE＝AD，若△ABC的面積為S，則△ABE的面積是（）A． B． C． D．【分析】首先由等腰三角形的性質可知BD＝DC，從而可知AD是圖形的對稱軸，由軸對稱圖形的性質可知：△ADB的面積等于△ABC面積的一半，由AE＝AD得△ABE的面積＝×△ADB的面積，即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴BD＝DC．∵BD＝DC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的對稱軸．由軸對稱圖形的性質可知：△ADB的面積＝×△ABC的面積＝．∵AE＝AD，∴△ABE的面積＝×△ADB的面積＝×＝．故選：D．【點評】本題主要考查的是等腰三角形的性質、軸對稱的性質，利用軸對稱的性質得到△ADB的面積等于△ABC面積的一半是解題的關鍵．5．如圖，折疊直角三角形紙片ABC，使得點A，B都與斜邊AB上的點F重合，折痕分別為DE和GH．則下列結論不一定成立的是（）A．DH＝AB B．EF＝FG C．EF⊥FG D．DE∥GH【分析】由折疊的性質得出AD＝DF，BH＝FH，∠ADE＝∠EDF＝∠FHG＝∠BHG＝90°，證出DE∥GH，則可得出結論．【解答】解：∵折疊直角三角形紙片ABC，使得點A，B都與斜邊AB上的點F重合，折痕分別為DE和GH．∴AD＝DF，BH＝FH，∠ADE＝∠EDF＝∠FHG＝∠BHG＝90°，∴DF+FH＝DH＝AB，故選項A不符合題意，∠EDH+∠GHD＝180°，∴DE∥GH，故選項D不符合題意，在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°，由折疊知，∠DFE＝∠A，∠GFH＝∠B，∴∠DFE+∠GFH＝∠A+∠B＝90°，∴∠EFG＝90°，∴EF⊥FG，故選項C不符合題意，即只有選項B符合題意，故選：B．【點評】本題考查了翻折變換，平行線的判定，直角三角形的性質，靈活運用折疊的性質是解本題的關鍵．6．如果一個三角形的兩邊長都是6cm，則第三邊的長不能是（）A．3cm B．6cm C．9cm D．13cm【分析】首先設第三邊長為xcm，根據三角形的三邊關系可得6﹣6＜x＜6+6，再解不等式即可．【解答】解：設第三邊長為xcm，根據三角形的三邊關系可得：6﹣6＜x＜6+6，解得：0＜x＜12，只有13cm不適合，故選：D．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．7．小嘉去電影院觀看《長津湖》，如果用（5，7）表示5排7座，那么小嘉坐在7排8座可表示為（）A．（5，7） B．（7，8） C．（8，7） D．（7，5）【分析】根據題意形式，寫出7排8座形式即可．【解答】解：7排8座可表示為（7，8）．故選：B．【點評】本題考查了用坐標確定位置，關鍵是掌握每個數代表的意義．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點．連接CD，若AC＝4，BC＝3，則CD的長度是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【分析】先用勾股定理求得AB的長，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵點D是AB的中點，∴CD＝AB＝×5＝2.5．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理和直角三角形的性質，解題的關鍵是熟知“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．9．已知點A（m﹣1，y1）和點B（m+1，y2）在一次函數y＝（k+2）x+1的圖象上，且y1＞y2，下列四個選項中k的值可能是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】由題意可知一次函數的函數值y隨x的增大而減小，進而得到k+2＜0，最后求得k的取值范圍選出答案．【解答】解：由題意得，一次函數的函數值y隨x的增大而減小，∴k+2＜0，∴k＜﹣2，故選：A．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是熟知函數的增減性與一次項系數的關系．10．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，等邊三角形ADE的頂點D在BC邊上，連接CE，已知∠DCE＝90°，CD＝，則AB的長為（）A． B．+1 C．2 D．【分析】過點A作AF⊥AE交BC于點F，根據等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠DCE＝90°，可得△BAF≌△CAE（ASA），即得AF＝AE＝AD，知∠AFD＝∠ADF，而∠AEC＝180°﹣∠AFD，∠ADC＝180°﹣∠ADF，有∠AEC＝∠ADC，從而△ACD≌△ACE（AAS），即得CD＝CE＝，△DCE是等腰直角三角形，故CG＝1＝DG＝EG，AD＝DE＝2，又AG＝＝，即可得答案．【解答】解：過點A作AF⊥AE交BC于點F，如圖：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，AB＝AC，∵∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACB＝45°＝∠B，∵∠BAF＝BAC﹣∠FAC＝90°﹣∠FAC＝∠EAC，∴△BAF≌△CAE（ASA），∴AF＝AE，∵△ADE是等邊三角形，∴AF＝AE＝AD，∴∠AFD＝∠ADF，在四邊形AFCE中，∠FAE＝∠DCE＝90°，∴∠AEC＝180°﹣∠AFD，而∠ADC＝180°﹣∠ADF，∴∠AEC＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ACE＝45°，AC＝AC，∴△ACD≌△ACE（AAS），∴CD＝CE＝，∴△DCE是等腰直角三角形，∴CG⊥DE，DE＝CD＝2，∴CG＝1＝DG＝EG，AD＝DE＝2，在Rt△ADG中，AG＝＝，∴AC＝AG+CG＝+1，∴AB＝+1，故選：B．【點評】本題考查等腰直角三角形中的全等問題，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．二．填空題（共8小題，每題3分，滿分24分）11．已知點P（m+2，1﹣m）在第二象限，則m的取值范圍是m＜﹣2．【分析】由第二象限內點的坐標符號特點得出關于m的不等式組，解之即可．【解答】解：∵點P（m+2，1﹣m）在第二象限，∴，由①，得：m＜﹣2，由②，得：m＜1，則m的取值范圍是m＜﹣2，故答案為：m＜﹣2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．12．等腰三角形的一個內角是80°，則它頂角的度數是80°或20°．【分析】先分情況討論：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的頂角，再根據三角形的內角和定理進行計算．【解答】解：當80°是等腰三角形的頂角時，則頂角就是80°；當80°是等腰三角形的底角時，則頂角是180°﹣80°×2＝20°．故答案為：80°或20°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形的內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．13．如圖，在平面直角坐標系中，將△OAB沿x軸向右平移后得到△O'A'B'，點A的坐標為（0，4），點A的對應點A′在直線y＝x﹣1上，點B在∠A'AO的角平分線上，若四邊形AA'B'B的面積為4，則點B′的坐標為（5，3）．【分析】根據圖形平移后對應點的坐標變化規律得到△OAB沿x軸正方向平移得到△O′A′B′，再根據一次函數圖象上點的坐標特征得x﹣1＝4，然后解方程求出x可得點A′的坐標為（4，4），可得出∠A'AO＝90°，則∠A'AB＝45°，根據平行四邊形以及等腰直角三角形的性質即可求解．【解答】解：延長B′B交y軸于點C，∵△OAB沿x軸正方向平移得到△O′A′B′，點A的坐標為（0，4），點A′在直線y＝x﹣1上，∴x﹣1＝4，解得x＝4，∴點A′的坐標為（4，4），∴∠A'AO＝90°，∵點B在∠A'AO的角平分線上，∴∠A'AB＝∠OAB＝45°，∵將△OAB沿x軸向右平移后得到△O'A'B'，∴A'A＝B'B，A'A∥B'B，∴四邊形AA'B'B是平行四邊形，∠ACB＝180°﹣∠A'AO＝90°，∴B'B＝A'A＝4，△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵四邊形AA'B'B的面積為4，∴BB′?AC＝4，∴AC＝BC＝1，∴OC＝4﹣1＝3，B′C＝BC+B′B＝1+4＝5，∴點B′的坐標為（5，3）．故答案為：（5，3）．【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣平移：在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減）．也考查了一次函數圖象上點的坐標特征．14．能說明命題：“若x2＝x，則x＝0”是假命題的反例是x＝1．【分析】到一個滿足x2＝x且x≠0的一個x的值即可．【解答】解：當x＝1時，滿足x2＝x，∴能說明命題“若x2＝x，則x＝0”是假命題的一個反例為x＝1，故答案為：x＝1．【點評】此題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題是假命題只要找到一個反例即可．15．已知y與x成正比例，當x＝3時，y＝6，則當時，y＝﹣．【分析】根據正比例函數的定義，設y＝kx，把x＝3，y＝6，代入求出k，然后把代入求得的解析式中可計算出對應的函數值．【解答】解：設y＝kx，把x＝3，y＝6代入得6＝3k，解得k＝2，∴y＝2x，當x＝﹣時，y＝2×（﹣）＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了待定系數法求一次函數解析式：先設出函數的一般形式，如求一次函數的解析式時，先設y＝kx+b；將自變量x的值及與它對應的函數值y的值代入所設的解析式，得到關于待定系數的方程或方程組；然后解方程或方程組，求出待定系數的值，進而寫出函數解析式．16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A在直線l1：y＝﹣x+2上，點B在直線l2：y＝﹣x+2上，若△ABO是以點B為直角頂點的等腰直角三角形，則點A的坐標為（﹣，）或（3，﹣1）．【分析】如圖1，過B點作BD⊥x軸于D，過A點作AC∥x軸，交BD于C，證得△ABC≌△BOD，得到AC＝BD＝﹣+2，BC＝OD＝a，則A（a﹣2，a+2），由圖象上點的坐標特征得到a+2＝﹣（a﹣2）+2，解得a＝1，即可求得A（﹣，）．如圖2，同理求得A（a+2，﹣a+2），代入y＝﹣x+2，即可求得a＝2，求得A（3，﹣1）．【解答】解：當A在OB的上方時，如圖1，過B點作BD⊥x軸于D，過A點作AC∥x軸，交BD與C，∵△ABO是以點B為直角頂點的等腰直角三角形，∴AB＝OB，∵點B在直線l2：y＝﹣x+2上，∴設B（a，﹣a+2），∵∠ABC+∠OBD＝90°＝∠OBD+∠BOD，∴∠ABC＝∠BOD，在△ABC和△BOD中，，∴△ABC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD＝﹣+2，BC＝OD＝a，∴A（a﹣2，a+2），∵點A在直線l1：y＝﹣x+2上，∴a+2＝﹣（a﹣2）+2，解得a＝1，∴A（﹣，），當A在OB的下方時，如圖2，同理證得△ABC≌△BOD，∴AC＝BD＝a，BC＝OD＝﹣+2，∴A（a﹣+2，﹣+2﹣a），即A（a+2，﹣a+2），∵點A在直線l1：y＝﹣x+2上，∴﹣a+2＝﹣（a+2）+2，解得a＝2，∴A（3，﹣1），故答案為：（﹣，）或（3，﹣1）．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，三角形全等的判定和性質，表示出A的坐標是解題的關鍵．17．如圖，∠AOB＝30°，點P為∠AOB的角平分線上一點，OP的垂直平分線交OA，OB分別于點M，N，點E為OA上異于點M的一點，且PE＝ON＝2，則△POE的面積為1+．【分析】連接PM，PN，過P作PF⊥EM于F，根據角平分線的定義得到∠MOP＝∠NOP＝AOB＝15°，根據線段垂直平分線的性質得到OM＝PM，ON＝PN，根據菱形的性質得到PM＝ON＝PE＝OM＝2，∠PME＝∠MPO+∠MOP＝30°，根據勾股定理得到FM＝＝，根據三角形的面積公式即可得到結論．【解答】解：連接PM，PN，過P作PF⊥EM于F，∵∠OP平分∠AOB，∴∠MOP＝∠NOP＝AOB＝15°，∵OP的垂直平分線交OA，OB分別于點M，N，∴OM＝PM，ON＝PN，∴∠MOP＝∠MPO，∠NPO＝∠PON，∴∠MOP＝∠MPO＝∠OPN＝∠PON，∴PM∥ON，PN∥OM，∴四邊形PMON是菱形，∴PM＝ON＝PE＝OM＝2，∠PME＝∠MPO+∠MOP＝30°，∴PF＝PM＝1，∴FM＝＝，∴EM＝2FM＝2，∴OE＝OM+EM＝2+2，∴△POE的面積＝OE?PF＝×（2+2）×1＝1+，故答案為：1+．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，菱形的判定和性質，角平分線的定義，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．18．如圖，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P為射線BA上的動點，M為BC上一動點，則PM+CP的最小值為3．【分析】作BC關于AB的對稱的線段BC'，作M關于AB的對稱點M'，過點C作CH⊥BC'于H，由對稱性得PM+CP＝CP+PM'≥CH，根據等腰三角形和直角三角形的性質求得CH即可．【解答】解：作BC關于AB的對稱的線段BC'，作M關于AB的對稱點M'，過點C作CH⊥BC'于H，∴PM+CP＝CP+PM'≥CH，∵等腰△BAC中，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴BH＝BC＝3，∴CH＝＝3．∴PM+CP的最小值為3．故答案為：3．【點評】本題主要考查了最短距離問題，作出對稱點M'，將PM+CP轉化為CP+PM'是解決此題的關鍵．三．解答題（共8小題，滿分66分）19．解不等式（組）：（1）4x≤3x+7；（2）．【分析】（1）根據解一元一次不等式基本步驟：移項、合并同類項可得；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：（1）移項，得：4x﹣3x≤7，合并同類項，得：x≤7；（2）解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，解不等式＜x+1，得：x＜3，則不等式組的解集為﹣1≤x＜3．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．20．已知：如圖，點A，F，E，B在同一直線上，∠ACE＝∠BDF＝90°，AC＝DF，AF＝BE．求證：∠A＝∠BFD．【分析】由“HL”可證Rt△ACE≌Rt△FDB，可得∠A＝∠BFD．【解答】證明：∵AF＝BE，∴AF+EF＝BE+EF，∴AE＝BF，在Rt△ACE和Rt△FDB中，，∴Rt△ACE≌Rt△FDB（HL），∴∠A＝∠BFD．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．21．如圖，BD＝BE，∠D＝∠E，∠ABC＝∠DBE＝90°，BF⊥AE，且點A，C，E在同一條直線上．（1）求證：△DAB≌△ECB；（2）若AD＝3，AF＝1，求BE的長．【分析】（1）根據角的和差得到∠ABD＝∠CBE，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據全等三角形的性質得到AB＝BC，AD＝CE，根據等腰直角三角形的性質得到CF＝BF＝AF＝1，∠BFE＝90°，根據勾股定理即可得到結論．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∵BD＝BE，∠D＝∠E，∴△DAB≌△ECB（ASA）；（2）解：∵△DAB≌△ECB；∴AB＝BC，AD＝CE，∵∠ABC＝90°，BF⊥AE，∴CF＝BF＝AF＝1，∠BFE＝90°，∴EF＝CF+CE＝4，∴BE＝＝＝．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．22．目前，全國各地都在積極開展新冠肺炎疫苗接種工作，某生物公司接到批量生產疫苗任務，要求5天內加工完成22萬支疫苗，該公司安排甲，乙兩車間共同完成加工任務，乙車間加工過程中停工一段時間維修設備，然后提高效率繼續加工，直到與甲車間同時完成加工任務為止，設甲，乙兩車間各自生產疫苗y（萬支）與甲車間加工時間x（天）之間的關系如圖1所示；兩車間未生產疫苗w（萬支）與甲車間加工時間x（天）之間的關系如圖2所示，請結合圖象回答下列問題：（1）甲車間每天生產疫苗2萬支，第一天甲、乙兩車間共生產疫苗3.5萬支，a＝1.5；（2）當x＝3時，求甲、乙車間生產的疫苗數（萬支）之差y1﹣y2；（3）若5.5萬支疫苗恰好裝滿一輛貨車，那么加工多長時間裝滿第一輛貨車？再加工多長時間恰好裝滿第三輛貨車？【分析】（1）由圖直接可得甲車間每天生產疫苗2萬支，第一天甲、乙兩車間共生產疫苗3.5萬支，a＝3.5﹣2＝1.5；（2）x＝3時，y1＝6，當2≤x≤5時，由待定系數法可得y2＝3.5x﹣5.5，當x＝3時，y2＝3.5×3﹣5.5＝5，即得y1﹣y2＝6﹣5＝1；（3）由第2天生產了5.5萬支，即得加工2天裝滿第一輛貨車，第2天后，甲每天生產2萬支，乙每天生產3.5萬支，即每天生產的剛好裝滿一車，可得再加工2天恰好裝滿第三輛貨車．【解答】解：（1）由圖2可知甲車間每天生產疫苗18.5﹣16.5＝2（萬支），第一天甲、乙兩車間共生產疫苗22﹣18.5＝3.5（萬支），∴a＝3.5﹣2＝1.5，故答案為：2，3.5，1.5；（2）由（1）知，甲車間每天生產疫苗2萬支，∴x＝3時，y1＝6，當2≤x≤5時，設y2＝kx+b，把（2，1.5）、（5，12）代入得：，解得，∴y2＝3.5x﹣5.5，當x＝3時，y2＝3.5×3﹣5.5＝5，∴y1﹣y2＝6﹣5＝1；（3）由圖2知，第2天生產了22﹣16.5＝5.5（萬支），∴加工2天裝滿第一輛貨車，第2天后，甲每天生產2萬支，乙每天生產3.5萬支，即每天生產的剛好裝滿一車，∴再加工2天恰好裝滿第三輛貨車．【點評】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，正確識圖及掌握待定系數法．23．如圖，在6×6方格中，按下列要求畫三角形，使它的頂點均在方格的頂點上（小正方形的邊長為1）．（1）在圖甲中畫一個面積為6的直角三角形；（2）在圖乙中畫一個以AC為公共邊的三角形與△ABC全等．【分析】（1）在圖甲中畫一個面積為6的直角三角形；（2）在圖乙中畫一個以AC為公共邊的三角形與△ABC全等．【解答】解：（1）如圖甲中，△DEF即為所求；（2）如圖乙中，△CDA所示即為所求（答案不唯一）．【點評】本題考查了作圖﹣應用與設計作圖，全等三角形的判定，解決本題的關鍵是借助網格解決問題．24．如圖，在三角形紙片ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，折疊紙片使點B與點A重合，DE為折痕，將紙片展開鋪平，連結AE．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）求AE的長．【分析】（1）根據勾股定理的逆定理即可解決問題；（2）根據折疊可得AE＝BE，設AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，然后根據勾股定理即可解決問題．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：∵AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，∴AC2+BC2＝62+82＝102＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）根據折疊可知：AE＝BE，設AE＝BE＝xcm，則CE＝（8﹣x）cm，在Rt△ACE中，根據勾股定理，得62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AE＝cm．【點評】本題考查了翻折變換，勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是掌握翻折的性質．25．如圖，∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，點D是射線BC上的任意一點（不與點B重合），連結AD，以DA為邊在DA邊的右側作等邊三角形ADF，連結FE并延長交BC于點G．探究下列問題：（1）∠EBC＝30°．（2）當A，E，D三點在同一直線上時，求∠EGD的度數．（3）當A，E，D三點不在同一直線上且點D，G不重合時，求∠EGD的度數．【分析】（1）由等邊三角形的性質和直角三角形的性質可求解；（2）由等邊三角形的性質和直角三角形的性質可求AB＝AE＝DE＝BE，即可求解；（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質和等邊三角形的性質可求解．【解答】解：（1）∵△ABE是等邊三角形，∴∠ABE＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝30°故答案為：30；（2）當A，E，D三點在同一直線上時，如圖1，∵△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE＝BE，∠BAD＝∠ABE＝60°，∴∠ADB＝∠EBD＝30°，∴BE＝DE＝AE，又∵△ADF是等邊三角形，∴FG⊥AD，∴∠FGD＝60°；（3）當BD＞AB時，如圖2或3，如圖2，∵△ADF為等邊三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∵△EBA是等邊三角形，∴EA＝AB，∠EAB＝60°＝∠FAD，∴∠BAD＝∠EAF，在△ABD和△AEF中，，∴△ABD≌△AEF（SAS），∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∴∠BGE＝360°﹣∠ABD﹣∠AEG﹣∠BAE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EGD＝60°，如圖3，∵∠BAE＝∠DAF＝60°，∴∠BAD＝∠EAF．在△ABD和△AEF中，，∴△ABD≌△AEF（SAS），∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∴∠BGE＝360°﹣∠ABD﹣∠AEG﹣∠BAE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EGD＝60°，當BD＜AB時，如圖4，∵∠BAE＝∠DAF＝60°，∴∠BAD＝∠EAF．在△ABD和△AEF中，，∴△ABD≌△AEF（SAS），∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∴∠BGE＝360°﹣∠ABD