第6章募函數、指數函數和對數函數

6.3對數函數

課后篇鞏固提升

A級必備知識基礎練

1.函數y=Jlog2%?2的定義域是()

A.(3,+oo)B.[3,+oo)

C.(4,+oo)D.[4,+oo)

庭畫由題意得>°，解得x24.

2.(2021山東聊城調研)已知函數於)=log2(x+l),若火a)=l,則[等于()

A.OB.lC.2D.3

gg]B

|解析a+l=2,故a=l.

3.設集合M={y|y=(g)[0,+a>)},N=3y=log2Xje(0,l]},則集合MUN等于()

A.(-<?,0)U[l,+oo)B，L0,+oo)

C.(-oo,l]D.(-oo,0)U(0,l)

ggc

|解析|M=(0,1],N=(-8,0],因此MUN=(-8,1].

4.(2021湖北宜賓高一調研)函數；(x)=|logM|的圖象是()

鹿垣y=|logM的圖象是保留y=logM的圖象位于x軸上半平面的部分(包括與x軸的交點)，而把下半

平面的部分沿x軸翻折到上半平面而得到的.

5.已知對數函數y(x)=lo&x3>0,aHl),且過點(9,2)4r)的反函數記為y=g(x),則g(x)的解析式是()

A.g(x)=4'B.g(x)=2"

C.g(x)=9"D.g(x)=3"

解析由題意得log〃9=2,即々2=9,又：Z>0,?：〃=3.因此y(x)=log3X,

?：/U)的反函數為g(x)=3*.

6.(2021江蘇蘇州木瀆中學月考)函數人￥)=々"2+log〃(x-1)+1(〃>0,。彳1)的圖象必經過點—.

朗(2,2)

解前當x=2時心)=〃°+嚏“1+1=2,所以圖象必經過點(2,2).

7.函數兀v)=Jog(3x-2)的定義域是.

隨明由""解得|<xWl,.孫)的定義域是(|,斗

8.根據函數,/(x)=log2X的圖象和性質解決以下問題：

⑴若然)>人2),求a的取值范圍；

⑵求產1唯(2%-1)在［2,14］上的最大值和最小值.

凰函數y(X)=log2X的圖象如圖.

(1)：7U)=log2X為增函數，又;(a)42),

Z10g24Z>10g22.

.：a>2,即a的取值范圍是(2,+oo).

⑵：，2WxW14,

.：3W2x-l<27.

.：log23Wlog2(2x-l)Wlog227.

.：函數於)=1。82(法-1)在［2,14］上的最小值為log23,最大值為log227.

B級關鍵能力提升練

9.已知函數加)=值以時°那么”制的值為

)

A.27B.盤

C.-27D$

ggB

底近唳)=log2110g22。=-3,

/期］=R3)=3-3%.故選B.

10.(2020江蘇南京十三中月考)下列函數中，其定義域和值域分別與函數)，=10?的定義域和值域相同

的是()

A.y=xB.y=lgx

C.y=2'D.y4

量D

解畫函數)，=10棺'的定義域和值域均為(0,+8),函數y-x的定義域和值域均為R,不滿足要求;函數

y=lgx的定義域為(0,+8),值域為R,不滿足要求;函數y=2x的定義域為R,值域為(0,+oo),不滿足要求；

函數廣義的定義域和值域均為(0,+8),滿足要求.故選D.

vx

11.下圖中有六個函數的圖象，依據圖象用表示出以下五個量。力,c,d,l的大小關系，正確的是()

(注:圖中與y=k)g2x關于y=x對稱)

A.a<c<\<b<d

B.a<\<d<c<h

C.a<\<c<b<d

D.a<\<c<d<b

量c

回畫由指數函數與對數函數的圖象可知1,6=2/<c<2,">2,所以有“<l<c<b<d故選C.

12.若函數y=log“(F"+1)有最小值，則a的取值范圍是()

A.(O,l)B.(0,l)U(l,2)

C.(l,2)D.[2,+oo)

gg]c

解析[當a>\時,y有最小值，則說明f-ar+l有最小值，故Pax+l=0中/<0,即。2-4<0,所以1<〃<2.當

0<a<l時,y有最小值,則說明/-ox+l有最大值，與二次函數性質相互矛盾，舍去.綜上可知，故選C.

13.(2021江蘇連云港贛榆調研)若卜ogam=logt,且腕心1=-1咆>。，則。,匕滿足的關系式是()

且b>\

B.4>1,且0c<1

C方>1,且0<?<1

D.Ocavl,且0<b<\

ggc

|解析|由|loga,=bg“；，知log“；>0,」0<a<l^|logM=-log^^故選C.

14.（多選）函數）,=108融（4>0,存1）在［2,4］上的最大值與最小值的差是1,則a的值可以為（）

A.V2B.yC.2D.i

^M］CD

|解析|當a>\時,函數〉=108"］在［2,4］上是增函數,所以10gH4-log“2=l,即log"《=l,所以a=2.當0<a<l時,

oi1

函數產1。8演在［2,4］上是減函數,所以log“2-log"4=l,即k>g,q=l,所以。=萬.綜上知a=2或a=-.

15.（多選）（2021福建廈門調研）若函數_/（x）=k>g“（x+6）的圖象如圖，其中a力為常數,則函數g（x）=“'+6的

圖象不可能是（）

客粼ABC

解析|由函數兀X）=10ga（R+Z?）的圖象可知，函數於）=log，X+b）在（-4+8）上是減函數，所以0<?<1且

0<6<1,所以g（x）="r+8在R上是減函數,故排除A,B;由g（x）的值域為3,+co）,所以g（x）=ax+b的圖象

應在直線y=8的上方而0<匕<1,故由F除C.

16.（多選）（2021湖南長沙調研）函數/U）的定義域為。，若滿足:瞅x）在。上具有單凋性;②存在

［好因。，使左）在海⑶上的值域為傳圖,那么就稱y/x）為“半保值函數”，若函數

_/W=log"（a'+產）（a>0,存1）是“半保值函數”，則/的取值可以為（）

111

-BC--

A.4.O28-

I^IAD

瞳相函數yw=lo囪⑷+戶）（。>0,存1）是“半保值函數”，且定義域為R.當a>\時,2=/+產在R上是增函

數,y=log“z在（0,+oo）上是增函數，可得於）為R上的增函數;當0<a<l時1Ax）仍為R上的增函數，

.求幻在定義域R上為增函數次X)=log〃3+產)=%,

xx

.:"+戶=成,則"-成+3=0.

X

令〃=Q2,〃>0,則足〃+尸=0有兩個不相等的正實根.

得/=1-4戶>0,且尸>0,

.：0<產號解得七6,0)u(o[).

17.函數火x)V*的定義域為一

gg{x|O〈后2,且加}

(4-x2>0,

|解析|由上>0,得0<xW2且*1.

&工1,

.：函數火X)=鋁^的定義域為{x|0<xW2且/1}.

ax4-b,x<0,

18.函數九0=logc(x+I),x>o的圖象如圖所示，則a+b+c=

|解析|由圖象可求得直線的方程為y=2x+2,即。=2力=2,又函數y=logc(x+的圖象過點(0,2),

將其坐標代入可得c=g,

117

所以a+b+c=2+2+-—

19.(2020湖北武漢外國語學校高一月考)已知函數兀》=愴(/-2ax+1).

(1)若函數7U)的定義域為R,求。的取值范圍；

(2)若函數y(x)的值域為R,求a的取值范圍.

網(1):函數段)的定義域為區.：~2?%+1>0,對任意的XGR都成立，

則A=4a2-4<0,M^-1<a<1,

?：。的取值范圍是(-1,1).

(2)若函數,/(x)的值域為R,則函數)=*-20￥+1的值域包含(0,+8),

則4=4〃2-420,解得或?：々的取值范圍是(-oo,-l]U[1,+8).

20.已知函數y(x)=log"(1+x),g(x)=log"(1-x)(a>0,存1).

(1)設a=2,函數人x)的定義域為［3,63］,求函數/)的最大值和最小值.

(2)求使火x)-g(x)>0的x的取值范圍.

網⑴當”=2時,函數危)=1哨(》+1)為［3,63］上的增函數，

故/Wmax可(63)=log2(63+1)=6,

/Wmin=y(3)=10g2(3+l)=2.

(2y(x)-g(x)>0,即loga(l+x)>log?(l-x),

①當a>\時,1+x>l-x>0,得0<x<l.

②當0<a<l時,0<1+*<1-不得-1<》<0.

綜上，當a>\時/的取值范圍是(0,1);當031時,x的取值范圍是(-1,0).

C級學科素養創新練

21.(2021江蘇如東中學月考)已知函數段)=log2&+a).

(1)若函數式x)是R上的奇函數，求a的值；

(2)若函數人x)的定義域是一切實數，求