【學生版】微專題：坐標法在平面向量的應用坐標法是數學解決數形結合問題的的一個重要方法。它將數學中的幾何和代數巧妙地聯系起來，使一部分問題的解決變得容易簡單，很多試題，當你無法找到突破口時，使用坐標法會給你一種新的啟迪和解題靈感。利用坐標法時，要合理建系，根據坐標運算和性質，建立等式或代數關系解決問題。坐標法在平面向量的應用；主要是：選擇正交基，再正交基表示向量，其實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算和數乘運算；坐標運算能把學生從復雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達成解題的目標．對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當的坐標系，應用坐標法來統一表示向量，達到轉化問題，簡單求解的目的；【典例】例1、已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在正方形網格中的位置如圖所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λμ＝________.【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例2、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，I是△ABC的內心，若eq\o(BI,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(6,5)C．2D．eq\f(1,2)【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例3、在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）；若，其中，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【歸納】坐標是向量代數化的媒介，而坐標的獲得又要借助于直角坐標系，對于某些平面向量問題，若能建立適當的直角坐標系，往往能很快實現問題的轉化；常見的建系方法如下：1、利用圖形中現成的垂直關系：若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點的兩條直線（如矩形、直角梯形等），可以利用這兩條直線建立坐標系；2、利用圖形中的對稱關系：圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點的兩條直線，但有一定對稱關系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身對稱性建系．建立平面直角坐標系的基本原則是盡可能地使頂點在坐標軸上，或在同一象限；3、三角形中有唯一一個特殊角(30°，45°，60°等)時，有以下兩種建系方法4、圓（或半圓、扇形)與其他圖形的綜合圖形通常以圓心為坐標原點建系．5、所給向量中任意兩向量之間的夾角為特殊角，將所給向量平移為共起點，以該起點為坐標原點建系；【即時練習】1、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則=()A．2 B．4 C．5 D．102、在平行四邊形中，，，點為邊的中點，若，則（）A． B． C． D．3、在中，，點P是的中點，則4、已知,是單位向量，，且向量滿足=1，則||的取值范圍是5、已知，，，若點是所在平面內一點，且，求：的最大值；6、如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個動點，且，為的中點，，求：的最大值；【教師版】微專題：坐標法在平面向量的應用坐標法是數學解決數形結合問題的的一個重要方法。它將數學中的幾何和代數巧妙地聯系起來，使一部分問題的解決變得容易簡單，很多試題，當你無法找到突破口時，使用坐標法會給你一種新的啟迪和解題靈感。利用坐標法時，要合理建系，根據坐標運算和性質，建立等式或代數關系解決問題。坐標法在平面向量的應用；主要是：選擇正交基，再正交基表示向量，其實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算和數乘運算；坐標運算能把學生從復雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達成解題的目標．對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當的坐標系，應用坐標法來統一表示向量，達到轉化問題，簡單求解的目的；【典例】例1、已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在正方形網格中的位置如圖所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λμ＝________.【提示】注意：借助“網格”中的“垂直”要素建系；【答案】－3；【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,0)．由題意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ＋μ，,－2＝2λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝3，))所以λμ＝－3；【說明】本題主要考查了借助網格建系，依據向量相等的充要條件，解答參數；例2、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，I是△ABC的內心，若eq\o(BI,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(6,5)C．2D．eq\f(1,2)【提示】注意：將“△ABC的內心”與向量的線性運算進行交匯；【答案】B；【解析】設BC的中點為D，以D為原點，BC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸建立平面直角坐標系如圖所示；因為，AB＝5，BD＝eq\f(1,2)BC＝3，所以，AD＝4；又因為，△ABC是等腰三角形，所以，內心I在線段AD上；設內切圓的半徑為r，則tan∠IBD＝eq\f(r,3)，所以，tan∠ABC＝eq\f(2tan∠IBD,1－tan2∠IBD)＝eq\f(\f(2r,3),1－\f(r2,9))＝eq\f(6r,9－r2)；又因為，tan∠ABC＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(4,3)，所以，eq\f(6r,9－r2)＝eq\f(4,3)，解得r＝eq\f(3,2)或r＝－6(舍)．所以，Ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).又因為，B(－3,0)，A(0,4)，C(3,0)，所以，eq\o(BI,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6,0)．又由已知eq\o(BI,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))，所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝3m＋6n，,\f(3,2)＝4m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,8)，,n＝\f(5,16)，))所以，eq\f(m,n)＝eq\f(6,5)；故選B；【說明】本題考查了借助垂直關系建系；綜合平面幾何的性質；利用向量的線性運算與坐標表示解答相關參數；例3、在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）；若，其中，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【提示】注意：圓的對稱性；【答案】C；【解析】分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸，AB，AD方向為正方向建立直角坐標系，知,設，由得：，則，由可得：，則，則的取值范圍是，本題選擇C選項；【說明】本題考查了借助利用已知圓及其圓的對稱性，以圓心為原點建系；然后，借助三角比的定義，等價為三角函數在給定區間上求范圍；【歸納】坐標是向量代數化的媒介，而坐標的獲得又要借助于直角坐標系，對于某些平面向量問題，若能建立適當的直角坐標系，往往能很快實現問題的轉化；常見的建系方法如下：1、利用圖形中現成的垂直關系：若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點的兩條直線（如矩形、直角梯形等），可以利用這兩條直線建立坐標系；2、利用圖形中的對稱關系：圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點的兩條直線，但有一定對稱關系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身對稱性建系．建立平面直角坐標系的基本原則是盡可能地使頂點在坐標軸上，或在同一象限；3、三角形中有唯一一個特殊角(30°，45°，60°等)時，有以下兩種建系方法4、圓（或半圓、扇形)與其他圖形的綜合圖形通常以圓心為坐標原點建系．5、所給向量中任意兩向量之間的夾角為特殊角，將所給向量平移為共起點，以該起點為坐標原點建系；【即時練習】1、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則=()A．2 B．4 C．5 D．10【答案】D【解析】將直角三角形的直角頂點與原點重合，設，，那么，那么，故選D．2、在平行四邊形中，，，點為邊的中點，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，如圖建立平面直角坐標系，，∴，∴，故選：C3、在中，，點P是的中點，則【提示】建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算計算可得；【答案】；【解析】如圖建立平面直角坐標系，則，，，所以，，所以；4、已知,是單位向量，，且向量滿足=1，則||的取值范圍是【提示】設，根據化簡得到，表示圓上的點到原點的距離，計算得到答案；【答案】【解析】,是單位向量，，設表示圓上的點到原點的距離，故【說明】本題考查了向量模的計算，轉化為坐標運算更為簡潔，是解題的關鍵5、已知，，，若點是所在平面內一點，且，求：的最大值；【提示】以為坐標原點建立平面直角坐標系，可得，，利用平面向量坐標運算可求得，由數量積的坐標運算可表示出，利用基本不等式可求得結果；【答案】【解析】以為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，，，，即，，，，，（當且僅當，即時取等號），.6、如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個動點，且，為的中點，，求：的最大值；【