解密15雙曲線方程高考考點命題分析三年高考探源考查頻率雙曲線的定義及方程雙曲線的定義、方程與性質是每年高考的熱點，多以選擇題、填空題的形式進行考查，難度中檔.2021年全國乙卷112021年新課標Ⅰ212021年全國甲卷132020課標全國Ⅲ11★★雙曲線的性質2021年新課標Ⅰ212020課標全國Ⅰ152020課標全國Ⅱ82019課標全國Ⅰ162019課標全國Ⅱ112019課標全國Ⅲ10★★★★★雙曲線常見的二級結論雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點,,，則（或）.設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF的中點.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.考點一雙曲線的定義及方程☆技巧點撥☆雙曲線的定義是基礎知識，很少單獨在高考中出現，但其基礎性不容忽視，注意掌握以下內容：1．在求解雙曲線上的點到焦點的距離d時，一定要注意這一隱含條件．2．雙曲線方程中的大小關系是不確定的，但必有.3．由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此雙曲線位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面區域內,同時,也指明了坐標系內雙曲線上點的橫坐標的取值范圍.題組一雙曲線定義的應用例題1若雙曲線E：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線E上，且，則等于A．1 B．13C．1或13 D．15【答案】B【解析】由題意得,,,而,解得或1.而,所以.選B．例題2．已知雙曲線的離心率為，左?右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為.若，則該雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】：因為離心率為，所以，所以，因為，，所以，又，且為以為直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）所以雙曲線的標準方程為：故選：A例題3．是雙曲線右支上的一點，，是左，右焦點，，則的內切圓半徑為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】：由雙曲線定義可得，即，又，由余弦定理得，，設的內切圓半徑為r，則，.故選：D.例題4．若雙曲線：，，分別為左?右焦點，設點是在雙曲線上且在第一象限的動點，點為△的內心，，則下列說法正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為B．點的運動軌跡為雙曲線的一部分C．若，，則D．不存在點，使得取得最小值【答案】C【分析】由題意，雙曲線，可知其漸近線方程為，A錯誤；設，△的內切圓與、、分別切于、、，可得，由雙曲線的定義可得：，即，又，解得，則的橫坐標為，由與的橫坐標相同，即的橫坐標為，故在定直線上運動，B錯誤；由且，解得：，∴，則，∴，同理可得：，設直線，直線，聯立方程得，設△的內切圓的半徑為，則，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正確；若與關于y軸對稱，則且，而，∴，故要使的最小，只需三點共線即可，易知：，故存在使得取最小值，D錯誤.故選：C.例題5．已知雙曲線的兩個焦點分別為F1（﹣，0），F2（，0），P是雙曲線上的一點，且PF1⊥PF2，|PF1|?|PF2|＝2，則雙曲線的標準方程是___．【答案】【分析】因為雙曲線的兩個焦點分別為，，，，所以雙曲線的焦點在軸上，且，由于三角形為直角三角形，故，所以，由雙曲線定義得，即，故，所以雙曲線方程為．故答案為：．題組二求雙曲線的方程☆技巧點撥☆求解雙曲線的方程在高考中經常出現，且一般以選擇題或填空題的形式出現，求解時需注意：1．求解雙曲線的標準方程時，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸，從而設出相應的標準方程的形式，然后利用待定系數法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標準方程.2．在求雙曲線的方程時，若不知道焦點的位置，則進行討論，或可直接設雙曲線的方程為.例題1．已知兩圓C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，動圓M與兩圓C1，C2都相切，則動圓圓心M的軌跡方程是（）A．x＝0 B．C． D．或x＝0【答案】D【分析】①當⊙M與⊙C1，⊙C2同時內切或者外切時，M點在y軸上，∴其軌跡方程為x＝0②當⊙M與⊙C1內切、與⊙C2外切時有，當⊙M與⊙C1外切，與⊙C2內切時有，即M軌跡為雙曲線，，，b2＝c2－a2＝16－2＝14，所以方程為綜上：軌跡方程為或x＝0，故選：D例題2．若，是雙曲線與橢圓的共同焦點，點P是兩曲線的一個交點，且為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】：因為橢圓的焦點坐標為，所以雙曲線中，設點P為兩曲線在第一象限的交點，由于在橢圓中，為等腰三角形，所以,所以，在雙曲線中，，所以，代入，得，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選：B例題3．已知雙曲線，則下列說法正確的是（）A．m的取值范圍是 B．雙曲線C的焦點在x軸上C．雙曲線C的焦距為6 D．雙曲線C的離心率e的取值范圍是【答案】ABC【分析】因為表示雙曲線，所以，解得-5<m<4，故A正確；因為，故雙曲線的焦點在x軸上，故B正確；設雙曲線的半焦距為c，則，所以，，故C正確；雙曲線的離心率，故D錯誤.故選：ABC例題4．已知曲線C的方程為（且），則下列結論正確的是（）A．當時，曲線C是焦距為4的雙曲線B．當時，曲線C是離心率為的橢圓C．曲線C可能是一個圓D．當時，曲線C是漸近線方程為的雙曲線【答案】AD【分析】對于A，當時，曲線C的方程為，表示雙曲線，且，即焦距為4，A正確；對于B，當時，曲線C的方程為，表示橢圓，離心率，B錯誤；對于C，令，得，，該方程無解，則曲線C不可能是一個圓，C錯誤；對于D，當時，曲線C的方程為，表示雙曲線，漸近線方程為，即，D正確.故選：AD考點二雙曲線的性質題組一求雙曲線的漸近線例題1已知雙曲線的離心率e=2，則雙曲線C的漸近線方程為A． B．C． D．【答案】D【解析】雙曲線的離心率e=,則故漸近線方程為.故選D．例題2．函數的圖像恒過定點A，若點A在雙曲線上，則m-n的最大值為（）A．6 B．-2 C．1 D．4【答案】D【解析】令，解得，所以，因為點A在雙曲線上，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以m-n的最大值為4故選：D例題3．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左?右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.例題4．P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【解析】如圖，圓C的圓心C為（2,0），半徑r=2，，則當點P位于雙曲線左支的頂點時，最小，即最小.此時的最小值為：.故選：C.例題5．已知雙曲線的方程為兩點分別是雙曲線的左，右頂點，點是雙曲線上任意一點（與兩點不重合），記直線的斜率分別為，則（）A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為4B．若雙曲線的實半軸長，虛半軸長同時增加相同的長度，則離心率變大C．為定值D．存在實數使得直線與雙曲線左，右兩支各有一個交點【答案】AC【解析】對于A，因為雙曲線的一個焦點，漸近線方程化為，焦點到漸近線的距離為，故正確；對于B，雙曲線的離心率，若的實半軸長，虛半軸長同時增加相同的長度，則，所以新離心率，即離心率變小，故B錯誤；對于選項C，，，又點在雙曲線上，，，（定值），故C正確；對于D，雙曲線的漸近線方程為，.根據雙曲線圖象可知直線若與雙曲線有兩個交點，這兩個交點必在雙曲線的同一支上，故D錯誤；故選：AC例題6．已知為雙曲線的兩個焦點，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為___________.【答案】【解析】由雙曲線的對稱性以及可知，四邊形為矩形，所以，解得，所以四邊形的面積為．故答案為：．題組二求雙曲線的離心率☆技巧點撥☆雙曲線的離心率是雙曲線的性質中非常重要的一個，高考中若出現關于雙曲線的題目，基本都要涉及，所以求雙曲線離心率的方法一定要掌握.1．求雙曲線的離心率，可以由條件尋找滿足的等式或不等式，結合得到，也可以根據條件列含的齊次方程求解，注意根據雙曲線離心率的范圍對解進行取舍.2．求解雙曲線的離心率的取值范圍，一般根據已知條件、雙曲線上的點到焦點的距離的最值等列不等式求解，同樣注意根據雙曲線離心率的取值范圍是.例題1．已知點F是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B．（1，2）C． D．【答案】D【解析】因為雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，所以，因為是鈍角三角形，所以是鈍角，即，因為過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，所以，又，所以，即，即，解得或（舍去），所以雙曲線的離心率的取值范圍是，故選：D例題2．已知雙曲線C：（，）的右頂點為A，若以點A為圓心，以b為半徑的圓與C的一條漸近線交于M，N兩點，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設漸近線是，記，則，所以，設，中應用余弦定理有，所以，即，由于，因此上述方程的兩解就是，又，不妨記，又，，，，所以，，解得或，又，所以．故選：C．例題3．過雙曲線的右焦點F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點B.已知O為坐標原點，若△OAB的內切圓的半徑為，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．或4 D．或2【答案】D【解析】若A，B在y軸同側，不妨設A在第一象限，如圖，設△OAB內切圓的圓心為M，則M在∠AOB的平分線Ox上，過點M分別作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四邊形MTAN為正方形，由焦點到漸近線的距離為b得|FA|=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又，所以，所以，從而可得；若A，B在y軸異側，不妨設A在第一象限如圖，易知|FA|=b，|OF|=c，|OA|=a，所以△OAB的內切圓半徑為，所以，又因為|OB|2=|AB|2+a2，所以，|OB|=2a，所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，則，從而可得.綜上，雙曲線C的離心率為或2.故選：D例題4．點P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點I是△PF1F2的內切圓圓心，記△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面積分別為S1，S2，S，若S1－S2≥S恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是________.【答案】1<e≤2【解析】設三角形PF1F2內切圓的半徑為r，則S△IPF1＝|PF1|r，S△IPF2＝|PF2|r，S△IF1F2＝|F1F2|r＝cr，∴S△IPF1－S△IPF2＝|PF1|r－|PF2|r＝·2a·r＝ar，∴ar≥cr，即2a≥c，∴e＝≤2.又e>1，∴1<e≤2.故答案為：(1，2].例題5．已知雙曲線的左?右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.【答案】【解析】依題意，點在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，因此，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故答案為：例題6．已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于，兩點，過坐標原點的直線與雙曲線交于，兩點，點是雙曲線上一點，且直線，的斜率分別為，，若不等式恒成立，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】：由恒成立，可得，因為，所以，則設直線為，設，令，由，得，則，因為，，所以，所以恒成立，因為直線過原點，所以，關于原點對稱，設，，因為點在雙曲線上，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，所以，即，所以離心率為，故答案為：考點三雙曲線的綜合應用方法一點差法使用情景一般已知中涉及直線和圓錐曲線相交產生的弦的中點解題步驟一般先“設點代點”，再作差，最后化簡.方法二設而不求法使用情景一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個動點.解題步驟一般先設點，再利用韋達定理.方法三韋達定理法使用情景一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個動點.解題步驟一般先設點，再寫出韋達定理，再代韋達定理.學.科.網方法四定義法使用情景一般已知中涉及圓錐曲線的定義中的焦半徑、準線等.解題步驟一般要聯想到圓錐曲線的定義，利用定義解答.例題1．已知曲線，對于命題：①垂直于軸的直線與曲線有且只有一個交點；②若為曲線上任意兩點，則有，下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】A【分析】曲線,當當當畫出圖像如圖，易知①正確；易知函數為減函數，則人任意兩點斜率，②正確故選：A例題2．雙曲線型自然通風塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．【答案】A以的中點О為