構造法在初中數學解題中的應用數學與計算機系數學教育專業《構造法在初中數學解題中的應用》廣東石油化工學院高州師范學院畢業論文41-構造法在初中數學解題中的應用【摘要】構造法是一種重要的數學解題方法，在解題中被廣泛應用。構造法是一種極其富有技巧性和創造性的解題方法，特別是有些問題，用構造法更簡捷明了。本文簡單闡述了構造法的概念，重點論述了構造在初中數學解題中的運用。【關鍵詞】構造法數學解題應用波利亞說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。”解數學問題時，常規的思考方法是由條件到結論的定向思考，但有些問題用常規的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一。本文將對構造法及其在中學數學中的應用做簡單探討，通過示例，不斷加深對構造法的理解。一、對“構造法”的概述與基本特征構造法是根據題設的特點，用已知條件中的元素作為“元件”，用已知的關系式為“支架”，通過觀察、聯想，采用新的設計，構造出一種新的問題形式，從而繞過解題障礙，使問題得到解決的一種方法。在運用構造法時，一要明確構造的目的，即為什么目的而構造；二要弄清楚問題的特點，以便依據特點確定方案，實現構造.構造法的基本特征如下：1.對所要討論的問題給出了較為直觀的描述；2.不但回答了提出的問題，而且構造出具體的結果。二、構造法在解題中的應用1．構造函數在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想組合一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數證（解）問題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標。例1：（八年下課本習題變式）某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產、兩種產品，共50件。已知生產一件種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。（1）按要求安排、兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你設計出來；（2）設生產、兩種產品獲總利潤為（元），生產種產品件，試寫出與之間的函數關系式，并利用函數的性質說明（1）中哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）設需要生產種產品件，那么需要生產種產品件，由題意得：解得：，是正整數，或31或32，有三種生產方案：①生產種產品30件，生產種產品20件；②生產種產品31件，生產種產品19件；③生產種產品32件，生產種產品18件；（2）由題意得：，隨的增大而減小，∴當=30時，有最大值，最大值為：=45000（元），答：與之間的函數關系式為：，（1）中的方案①獲利最大，最大利潤為45000元。例2：求函數的最大值.解：由根號下的式子看出且，故可聯想到三角函數關系式并構造，所以，當即時，.2.構造方程方程，作為中學數學的重要內容之一，與數、式、函數等諸多知識密切相關。根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解。構造方程是初等代數的基本方法之一。如列方程解應用題，求動點的軌跡方程等即屬此法.構造方程解題體現了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結為3個步驟：.將所面臨的問題轉化為方程問題；.解這個方程或討論這個方程的有關性質（常用判別式與韋達定理），得出相應結論；.將方程的相應結論再返回為原問題的結論。（1）某些題目根據條件、仔細觀察其特點，構造一個“一元一次方程”求解，從而獲得問題解決.例3：設且，，求的范圍.解：由得（1）將（1）的兩邊平方并將代入得（2）由（1）（2）可知，是方程的兩個不等的實根于是解得：即：（2）有些問題，直接求解比較困難，但如果根據問題的特征，通過轉化，構造“一元二次方程”，再用根與系數的關系求解，使問題得到解決。此方法簡明、功能獨特，應用比較廣泛，特別在數學競賽中的應用。例4：已知實數、、滿足求的值。思考與分析：根據本題的題設可能使我們聯想到韋達定理，但仍需進行合理的變形，才能構造出方程組去求解。解：由已知可得：以、為兩實數根，構造方程方程有實數根由此得到，且方程有兩個相等的實數根于是，，3.構造幾何圖形（1）對于條件和結論之間聯系較隱蔽問題，要善于發掘題設條件中的幾何意義，可以通過構造適當的圖形把其兩者聯系起來，從而構造出幾何圖形，把代數問題轉化為幾何問題來解決。增強問題的直觀性，使問題的解答事半功倍。例5：已知：，,求證：.分析：在求證條件不等式時，可根據題設條件作出對應的圖形，然后運用圖形的幾何性質或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結論獲證。證明：如圖1:作邊長為1的正方形,在上取點，使=；在上取點，使=，過//交于；作//交于.設與交于點，連接，所以且，，因此.即命題成立。命題（3）不成立：令，，此時，且滿足條件，但結論不成立。例8：證明以下命題為假命題：若兩個三角形的三個內角和三條邊六個元素中有五個元素分別相等，則這兩個三角形全等。思考與分析：只要構造的一個符合命題的條件，但不滿足命題的結論的例子即可。證明：如圖3，和中，使，，，.∽∠=∠∠=∠∠=∠即和滿足五個元素分別相等，但它們不全等。故該命題是假命題。從以上各例不難看出，構造法解題有著你意想不到的功效，問題很快便可解決。構造法解題重在“構造”,通過仔細地觀察、分析、去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件。因此，在解題時，若能啟發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想，就會得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法，而且還能加強學生對知識的理解。運用構造法解題能培養學生思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力，也可從中欣賞數學之美，感受解題樂趣。參考文獻[1]李明振.數學方法與解題研究（第二版）[M].上海科技教育出版社，2002年.339至