江西省贛州尋烏縣第二中學2024年高考數學二模試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的內角、、的對邊分別為、、，且，，為邊上的中線，若，則的面積為（）A． B． C． D．2．等差數列中，，，則數列前6項和為（）A．18 B．24 C．36 D．723．已知復數滿足，則（）A． B． C． D．4．已知函數，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．5．設函數在上可導，其導函數為，若函數在處取得極大值，則函數的圖象可能是（）A． B．C． D．6．已知集合，則=（）A． B． C． D．7．已知雙曲線（，），以點（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．8．已知將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若和的圖象都關于對稱，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．9．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若、M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．10．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．11．下列結論中正確的個數是（）①已知函數是一次函數，若數列通項公式為，則該數列是等差數列；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．012．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則的值是．14．正項等比數列|滿足，且成等差數列，則取得最小值時的值為_____15．在中，，．若，則_________．16．已知i為虛數單位，復數，則＝_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）函數，且恒成立.（1）求實數的集合；（2）當時，判斷圖象與圖象的交點個數，并證明.（參考數據：）18．（12分）已知函數,其中,.(1)函數的圖象能否與x軸相切?若能,求出實數a;若不能,請說明理由.(2)若在處取得極大值,求實數a的取值范圍.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）對及，不等式恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發現132顆優質的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發現的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發現之一，脈沖星就是正在快速自轉的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構觀測并統計了93顆已被確認為新發現的脈沖星的自轉周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發現的脈沖星中，自轉周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據頻率分布直方圖，求新發現脈沖星自轉周期的平均值.21．（12分）已知.（1）若，求函數的單調區間；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）設橢圓，直線經過點，直線經過點，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點，且直線軸，求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

延長到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，根據余弦定理可求出，進而可得的面積.【詳解】解：延長到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，，在中，則，得，.故選：B.【點睛】本題考查余弦定理的應用，考查三角形面積公式的應用，其中根據中線作出平行四邊形是關鍵，是中檔題.2、C【解析】

由等差數列的性質可得，根據等差數列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數列中，，∴，即，∴，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前項和公式的應用，屬于基礎題.3、A【解析】

由復數的運算法則計算．【詳解】因為，所以故選：A．【點睛】本題考查復數的運算．屬于簡單題．4、C【解析】

求出函數定義域，在定義域內確定函數的單調性，利用單調性解不等式．【詳解】由得，在時，是增函數，是增函數，是增函數，∴是增函數，∴由得，解得．故選：C.【點睛】本題考查函數的單調性，考查解函數不等式，解題關鍵是確定函數的單調性，解題時可先確定函數定義域，在定義域內求解．5、B【解析】

由題意首先確定導函數的符號，然后結合題意確定函數在區間和處函數的特征即可確定函數圖像.【詳解】函數在上可導，其導函數為，且函數在處取得極大值，當時，；當時，；當時，.時，，時，，當或時，；當時，.故選：【點睛】根據函數取得極大值，判斷導函數在極值點附近左側為正，右側為負，由正負情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.6、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.7、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，且，則可根據圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設雙曲線的一條漸近線與圓交于，因為，所以圓心到的距離為：，即，因為，所以解得．故選A．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查了轉化思想以及計算能力，屬于中檔題．對于離心率求解問題，關鍵是建立關于的齊次方程，主要有兩個思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結合曲線的幾何性質以及題目中的幾何關系建立方程；另一方面，可以從代數的角度，結合曲線方程的性質以及題目中的代數的關系建立方程.8、B【解析】

因為將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，可得，結合已知，即可求得答案.【詳解】將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，又和的圖象都關于對稱，由，得，，即，又，.故選：B.【點睛】本題主要考查了三角函數圖象平移和根據圖象對稱求參數，解題關鍵是掌握三角函數圖象平移的解法和正弦函數圖象的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.9、D【解析】

根據題意，求得的坐標，根據點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程，即可求得結果.【詳解】由已知可知，點為中點，為中點，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點的坐標為，則，易知點坐標，將點坐標代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據題意求得點的坐標，屬中檔題.10、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.11、B【解析】

根據等差數列的定義，線面關系，余弦函數以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數是一次函數，若數列的通項公式為，可得為一次項系數），則該數列是等差數列，故①正確；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯誤；③在中，，而余弦函數在區間上單調遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯誤；④若，則，所以，當且僅當時取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數列的求和公式、等差數列的定義和不等式的性質，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．12、C【解析】

由，,利用平面向量的數量積運算,先求得利用平行四邊形的性質可得結果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由三角函數定義知，又由誘導公式知，所以答案應填：．考點：1、三角函數定義；2、誘導公式．14、2【解析】

先由題意列出關于的方程，求得的通項公式，再表示出即可求解.【詳解】解：設公比為，且，時，上式有最小值，故答案為：2.【點睛】本題考查等比數列、等差數列的有關性質以及等比數列求積、求最值的有關運算，中檔題.15、【解析】分析：首先設出相應的直角邊長，利用余弦勾股定理得到相應的斜邊長，之后應用余弦定理得到直角邊長之間的關系，從而應用正切函數的定義，對邊比臨邊，求得對應角的正切值，即可得結果.詳解：根據題意，設，則，根據，得，由勾股定理可得，根據余弦定理可得，化簡整理得，即，解得，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，在解題的過程中，注意分析要求對應角的正切值，需要求誰，而題中所給的條件與對應的結果之間有什么樣的連線，設出直角邊長，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應的等量關系，求得最后的結果.16、【解析】

先把復數進行化簡，然后利用求模公式可得結果.【詳解】．故答案為：.【點睛】本題主要考查復數模的求解，利用復數的運算把復數化為的形式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）2個，證明見解析【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點個數轉化為方程實數解的個數問題，然后構造函數，再利用導數討論此函數零點的個數.【詳解】（1）的定義域為，因為，1°當時，在上單調遞減，時，使得，與條件矛盾；2°當時，由，得；由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而時，，要使恒成立，故.（2）原問題轉化為方程實根個數問題，當時，圖象與圖象有且僅有2個交點，理由如下：由，即，令，因為，所以是的一根；，1°當時，，所以在上單調遞減，，即在上無實根；2°當時，，則在上單調遞遞增，又，所以在上有唯一實根，且滿足，①當時，在上單調遞減，此時在上無實根；②當時，在上單調遞增，，故在上有唯一實根.3°當時，由（1）知，在上單調遞增，所以，故，所以在上無實根.綜合1°，2°，3°，故有兩個實根，即圖象與圖象有且僅有2個交點.【點睛】此題考查不等式恒成立問題、函數與方程的轉化思想，考查導數的運用，屬于較難題.18、(1)答案見解析(2)【解析】

（1）假設函數的圖象與x軸相切于，根據相切可得方程組，看方程是否有解即可；（2）求出的導數，設()，根據函數的單調性及在處取得極大值求出a的范圍即可.【詳解】(1)函數的圖象不能與x軸相切,理由若下:.假設函數的圖象與x軸相切于則即顯然,,代入中得,無實數解.故函數的圖象不能與x軸相切.(2)(),,設(),恒大于零.在上單調遞增.又,,,∴存在唯一,使,且時,時,①當時,恒成立,在單調遞增,無極值,不合題意.②當時,可得當時,,當時,.所以在內單調遞減,在內單調遞增,所以在處取得極小值,不合題意.③當時,可得當時,,當時,.所以在內單調遞增,在內單調遞減,所以在處取得極大值,符合題意.此時由得即,綜上可知,實數a的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，屬于難題．19、（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】

詳解：（Ⅰ）當時，由，解得；當時，不成立；當時，由，解得.所以不等式的解集為.（Ⅱ）因為，所以.由題意知對，，即，因為，所以，解得.【點睛】⑴絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值號，把它轉化為一般的不等式求解，轉化的方法一般有：①絕對值定義法；②平方法；③零點區域法．⑵不等式的恒成立可用分離變量法．若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍．這種方法本質也是求最值．一般有：①為參數）恒成立②為參數）恒成立．20、（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發現的脈沖星自轉周期平均值為（秒）.故新發現的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方