黑龍江省哈爾濱市龍江中學高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數滿足，當時，，則在上零點的個數為()A．1005

B．1006

C．2011

D．2012參考答案：Ｂ2.設隨機變量的分布列為（=0，1），則，的值分別是（

）A．0和1

B．和

C．和

D．和·參考答案：D3.以下是某樣本數據，則該樣本的中位數、極差分別是（）數據31，12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35參考答案：D【考點】BC：極差、方差與標準差；BB：眾數、中位數、平均數．【分析】將數據從小到大按順序排成一列，結合中位線和極差的定義進行求解即可．【解答】解：將數據從小到大按順序排成一列為12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11個數據，則中位數為第6個數28，最大值為47，最小值為12，則極差47﹣12=35，故選：D．4.若a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式正確的個數是（）①＜

②a2＞b2

③ac4＞bc4

④＞．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點】不等式的基本性質．【分析】利用不等式的性質，對4個結論分別進行判斷，即可得出結論．【解答】解：①a=1，b=﹣1，＜不成立；②a=1，b=﹣1，a2＞b2不成立；③c=0，ac4＞bc4不成立；④由于c2+1＞0，a＞b，所以＞成立．故選：A．5.如圖1，設P為△ABC內一點，且，則△ABP的面積與△ABC的面積之比為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A6.集合,,則(

)A.{1,2}

B.{0,1,2}

C.{x|0≤x＜3}

D.{x|0≤x≤3}參考答案：B7.已知全集U=R，集合M={x│x2-4≤0}，則CuM=（

）A.{x│-2<x<2}

B.{x│-2≤x≤2}

C.{x│x＜-2或x>2}

D.{x│x≤-2或x≥2}

參考答案：C8.設函數的定義域為，，對于任意的，，則不等式的解集為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知數列，則是它的第(

)項．A．19 B．20 C．21 D．22參考答案：C【考點】數列的概念及簡單表示法．【專題】計算題．【分析】根據數列的前幾項找規律，歸納出數列的通項公式，再令an=，解方程即可【解答】解：數列，中的各項可變形為：，，，，，…，∴通項公式為an==，令=，得，n=21故選C【點評】本題考察了觀察法求數列的通項公式，以及利用通項公式計算數列的項的方法．10.若平面向量與向量的夾角是，且，則(

)A

B

C

D

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數在上是增函數，則

。參考答案：-1試題分析：根據冪函數的定義和性質，得；，解得m=-1．故答案為：-1．考點：冪函數的概念、解析式、定義域、值域．12.已知x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最小值為

．參考答案：﹣4考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，進行求最值即可．解答： 解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分）：平移直線y=，由圖象可知當直線y=，過點A（0，2）時，直線y=的截距最大，此時z最小，∴目標函數z=x﹣2y的最小值是﹣4．故答案為：﹣4．點評：本題主要考查線性規劃的基本應用，利用目標函數的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數形結合是解決問題的基本方法．13.已知四棱錐P﹣ABCD的五個頂點都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，則球O的表面積等于．參考答案：32π【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】求出△PAD所在圓的半徑，利用勾股定理求出球O的半徑R，即可求出球O的表面積．【解答】解：令△PAD所在圓的圓心為O1，則因為PA=PD=2，∠APD=120°，所以AD=2，所以圓O1的半徑r==2，因為平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半徑R=2，所以球O的表面積=4πR2=32π．故答案為32π．【點評】本題考查球O的表面積，考查學生的計算能力，求出球O的半徑是關鍵，比較基礎．14.方程的解

．參考答案：15.給出下列命題：①若函數的一個對稱中心是，則的值等;②函數；③若函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖像關于直線對稱，則的最小值是；④已知函數，若

對任意恒成立，則：其中正確結論的序號是

參考答案：①③④16.若復數滿足為虛數單位，則在復平面內所對應的圖形的面積為＿參考答案：17.設等差數列的前項和為，若，則的值為

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，a為實數.（1）討論函數f(x)的單調性；（2）設是函數f(x)的導函數，若對任意恒成立，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）答案不唯一，見解析（2）【分析】（1）函數求導后，分三種情況討論，結合導函數的正負可求出函數的單調區間（2）根據不等式恒成立，分離參數可得，時恒成立，分別求出左邊的最大值與右邊的最小值即可.【詳解】（1）函數的定義域是..（i）當時，令，得；令，得或，所以函數在區間上單調遞減，在區間，上單調遞增；（ii）當時，對任意恒成立，且不恒為0，所以函數在上單調遞增；（iii）當時，令，得；令，得或，所以函數在區間上單調遞減，在區間，上單調遞增.（2）等價于，得，得，因為，所以.所以不等式兩邊同時除以，得，即，得.所以.即對任意恒成立.設，，，則，.所以函數在區間上是增函數，在區間上是增函數.所以，.所以.所以實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數求函數的單調性、最值，不等式恒成立問題，分類討論的思想，屬于難題.19.已知函數f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex+ax．（1）若a＜0．（i）試探討函數f（x）的單調性；（ii）若函數f（x）和g（x）在區間（0，ln3）上具有相同的單調性，求實數a的取值范圍；（2）設函數h（x）=x2﹣f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1∈（0，），求證：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）（i）求出函數f（x）的導數，判斷導函數的符號，求出f（x）的單調區間即可；（ii）根據f（x）的單調性求出g（x）的單調性，問題轉化為a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，求出a的范圍即可；（2）由h（x）=x2﹣ax+lnx，求出h（x）的導數（x＞0），故x1x2=，由x1∈（0，），知x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，由此能夠證明h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2【解答】解：（1）（i）a＜0時，f′（x）=a﹣＜0，故f（x）在（0，+∞）遞減；（ii）由（i）f（x）在（0，ln3）遞減，故g（x）在（0，ln3）遞減，故g′（x）=ex+a＜0在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣3；（2）h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）=，（x＞0）∴x1x2=，∵x1∈（0，），∴x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，（i=1，2），∴h（x1）﹣h（x2）=（x12﹣ax1+lnx1）﹣（x22﹣ax2+lnx2）=（﹣x12﹣1+lnx1）﹣（﹣x22﹣1+lnx2）=x22﹣x12+ln=x22﹣﹣ln2x22，（x2＞1），設u（x）=x2﹣﹣ln2x2，x≥1，則u′（x）=≥0，∴u（x）＞u（1）=﹣ln2．即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．20.已知函數f（x）=x3﹣6x2+3x+t，（t∈R）．（1）求函數f（x）的單調遞減區間；（2）若函數g（x）=exf（x）只有一個極值點，求t的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）令f′（x）=3x2﹣12x+3＜0，可求函數f（x）的單調遞減區間；（2）求導函數，f′（x）=（3x2﹣12x+3）ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex，函數g（x）=exf（x）有一個極值點，所以x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有一個穿過x軸的根，即在其兩邊g'（x）異號，故可求t的取值范圍．【解答】解：（1）令f'（x）=3x2﹣12x+3＜0，∴2﹣＜x＜2+，∴函數f（x）的單調遞減區間是（2﹣，2+）；（2）g'（x）=（3x2﹣12x+3）ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex∵g（x）有一個極值點，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有一個穿過x軸的根，即在其兩邊g'（x）異號﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，則h'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）由h'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）＞0得x＜﹣1或x＞3…h（x）在區間（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）上遞增，在區間（﹣1，3）上遞減．∴h（﹣1）h（3）≥0∴t≤﹣8或t≥24．…21.如圖，在平面直角坐標系中，點，直線,設圓的半徑為，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.

參考答案：解：（1）由得圓心C為（3,2），∵圓的半徑為∴圓的方程為：（1分）顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為，即∴∴∴∴或者∴所求圓C的切線方程為：或者即或者（3分）（2）解：∵圓的圓心在在直線上，所以，設圓心C為（a,2a-4）則圓的方程為：（2分）又∵∴設M為（x,y）則整理得：設為圓D（3分）∴點M應該既在圓C上又在圓D上

即圓C和圓D有交點∴（2分）解得，的取值范圍為：（1分）略22.（本小題滿分14分）橢圓的兩個焦點為、，M是橢圓上一點，且滿足（Ⅰ）求離心率e的取值范圍；（Ⅱ）當離心率e取得最小值時，點N(0,3)到橢圓上的點的最遠距離為．

①求此時橢圓G的方程；

②設斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，

問：A、B兩點能否關于過點、Q的直線對稱？若能，求出k的取值

范圍；若不能，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設點M的坐標為(x,y)，則，由得，即

①又由點M在橢圓上，得，代入①得，即，即，，解得又，

（Ⅱ）①當離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為設點H(x,y)是橢圓上的一點，則

若0<b<3，則當時，有最大值由題意知：，或，這與0<b<3矛盾.若，則當時，有最大值由題意知：，，符合題意∴所求橢圓方程為②設直線l的方程為y=kx+m代入中，得由直線l與橢圓G相交于不同的兩點知