高二數學試題命題人：韓國營張紅霞崔世波朱玉琪秦峰王輝本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷13頁，第Ⅱ卷46頁，共150分，測試時間120分鐘.注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據對數函數和指數函數的單調性求出集合，再根據交集的定義即可得解.【詳解】，，所以.故選：D.2.已知函數，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】由分段函數的表達式，代入即可求解.【詳解】由，所以.故選：C【點睛】本題考查了對數式的運算性質、分段函數求函數值，屬于基礎題.3.“”是“為奇函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據函數奇偶性的定義，求出的值，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】為奇函數，此式子對于定義域內的任意皆成立，必有則故“”是“為奇函數”的充分不必要條件,正確.故選：4.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據對數函數的單調性可得，根據指數函數和冪函數的單調性可得，從而可求解.【詳解】因為，又，所以.故選：C5.如果等比數列的前項和，則常數（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】求出，通過列方程求解.【詳解】解：由已知，，，因為數列為等比數列，則，，解得.故選：C.【點睛】本題考查等比數列的概念及應用，是基礎題.6.定義在上的偶函數滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意可判斷是以4為周期的周期函數，即可利用周期性和奇偶性求解.【詳解】由為偶函數且得，所以是以4為周期的周期函數，所以，故選：D.7.隨著國家對中小學“雙減”政策的逐步落實，其中增加中學生體育鍛煉時間的政策引發社會的廣泛關注.某教育時報為研究“支持增加中學生體育鍛煉時間的政策是否與性別有關”，從某校男女生中各隨機抽取80名學生進行問卷調查，得到如下數據（，）支持不支持男生女生通過計算有95%以上的把握認為“支持增加中學生體育鍛煉時間的政策與性別有關”，則在這被調查的80名女生中支持增加中學生體育鍛煉時間的人數的最小值為（）附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.15 B.65 C.16 D.66【答案】D【解析】【分析】根據獨立性檢驗公式列出不等式，進而求解即可.【詳解】因為有95%以上的把握認為“支持增加中學生體育鍛煉時間的政策與性別有關”，所以，即，因為函數在時單調遞增，且，，，所以的最小值為16，所以在這被調查的80名女生中支持增加中學生體育鍛煉時間的人數的最小值為.故選：D.8.任給兩個正數x，y，使得不等式恒成立，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先參變分離為，再構造函數，轉化為求函數的最值問題，即可求解.【詳解】不等式恒成立，整理為恒成立，設，，，令，得，當，，當，，所以函數單調遞減區間是，單調遞增區間是，函數的最小值，所以，得.故選：A二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若正實數a，b滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】舉出反例即可判斷A；利用基本不等式即可判斷B；由題意可得，再利用基本不等式中“1”的等量代換即可判斷C；將兩邊平方，再利用作差法即可判斷D.【詳解】對于A，當時，滿足，故A錯誤；對于B，由，得，所以或（舍去），所以，當且僅當時，取等號，故B正確；對于C，由，得，則，當且僅當，即時，取等號，故C正確；對于D，由，得，則，當且僅當時，取等號，所以，故D正確.故選：BCD.10.已知函數，，下列說法正確的是（）A.若是偶函數，則B.單調減區間是C.的值域是D.當時，函數有兩個零點【答案】ABD【解析】【分析】根據偶函數的定義即可判斷A，根據復合函數的單調性即可判斷B，由函數的單調性即可判斷C,由函數的值域即可判斷D.【詳解】對于A，若是偶函數，定義域為，對于任意的，由，所以，所以，A正確，對于B,由復合而成，由于在單調遞減，開口向上的二次函數在單調遞增，所以由復合函數單調性的判斷可知的單調減區間是，B正確，對于C，由B可知，的單調減區間是，單調增區間為，故當時，取最大值，故，故值域為，故C錯誤，對于D，由C可知值域為，如圖：當時，此時，所以有兩個交點，故D正確，故選：ABD11.在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列，現將數列2，4進行構造，第1次得到數列2，6，4；第2次得到數列2，8，6，10，4；…；第次得到數列2，，，，?，，4.記，則（）A. B.為偶數C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通過計算求出，，，的值，并且歸納出每一項與前一項的關系，以及的變化，從而運用歸納法得到，之間的關系，以及之間的關系，利用累加法可得，逐項判斷即可得答案.【詳解】由題意得：，此時，此時，則，不為偶數，故B不正確；，此時，故A正確；，此時歸納可得，此時，故C正確；則，，，……，累加可得所以，則，即，故D正確.故選：ACD.12.定義在上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（）A.在處取得極小值B.有兩個零點C.若，恒成立，則D.若，，，，則【答案】AD【解析】【分析】首先根據題意構造，結合，求得；對于A，通過導數與函數極值點的關系求解即可；對于B，令直接求解即可；對于C，通過研究函數在的單調性與最值情況即可；對于D，先大致研究函數圖像變化趨勢，假設，并假設正確，通過轉化，從而證明與0的關系，進而證明原不等式正確即可.【詳解】因為，所以，令，則，所以設，所以，又因為，所以；對于A，因為，所以，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以在處取得極小值，故A正確；對于B，令，得，所以有一個零點，故B錯誤；對于C，因為在單調遞增，所以時，，所以，故C錯誤；對于D，因為在單調遞減，在單調遞增，且唯一零點為，當時，且，所以若，，，，可以設，假設正確，下證明，即證，因為，在單調遞減，所以即證，即證，構造，則，因為，所以，，，則，所以在上單調遞增，所以，即得證，原式成立，故D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：本題考查導數的綜合應用問題.要利用導數這一工具來研究函數的相關性質，通過函數的單調性、極值與最值等性質從而求解選項答案.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知集合，，若，則的值為______.【答案】##【解析】【分析】由題知，進而根據集合關系求解即可.【詳解】由得，所以或，解得或，因為，所以.故答案為：14.已知，，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據對數運算法則，結合基本不等式求解即可.【詳解】因為，，所以，即，當且僅當，即時等號成立，所以，即最大值為.故答案為：15.若函數與的圖象有一條與直線平行的公共切線，則______.【答案】【解析】【分析】設公切線與相切于，與相切于，根據公切線斜率為以及點在函數圖像上列出方程求解.【詳解】因為，，則，，設公切線與相切于，與相切于，則，，解得，，所以，，所以切線方程為，即，又在切線上，所以，所以.故答案為：16.已知數列滿足，，，，則______；設，其中表示不超過的最大整數，為數列的前n項和，若，則n的最小值為______【答案】①.29②.2022【解析】【分析】根據數列滿足，，，，遞推求得，再由，變形為，得到是等比數列，再由，利用累加法求得，進而求得求解.【詳解】因為數列滿足，，，，所以，由，得，則是以2為首項，以3為公比的等比數列，所以，則，，則，所以，所以，因為，所以n的最小值為2022.故答案為：29；2022四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知命題：“，使得不等式成立”是真命題.（1）求實數m的取值集合A；（2）設不等式的解集為B，若是的充分條件，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分離參數得，利用二次函數的圖象與性質即可得到答案；（2）因式分解得，設，證明出，從而得到的解集，則得到不等式，解出即可.【小問1詳解】由，使得不等式成立，所以因為二次函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，，所以，當時，，所以，.【小問2詳解】由可得.設，令，，單調遞遞減，，，單調遞增，，所以，所以從而或，因為是的充分條件，則，則，即；實數的取值范圍是.18.已知.（1）若在區間上單調遞減，求實數a的取值范圍；（2）設函數在上有兩個零點，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據在區間上單調遞減，轉化為在區間恒成立求解；（2）根據函數在上有兩個零點，轉化為在上有兩個不等的實根，令，利用根的分布求解.【小問1詳解】解：因為在區間上單調遞減，所以在區間恒成立.即區間恒成立，即，即在上恒成立，易知在上單調遞增，當時，，所以，即.【小問2詳解】函數在上有兩個零點，即在上有兩個不等的實根.即在上有兩個不等實根，令，則，解得.19.已知數列是等差數列，其前n和為，，，數列滿足.（1）求數列，的通項公式；（2）數列滿足求數列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據等差數列基本量相關運算直接得到的通項公式，結合已知等式令得到第二個等式，兩式相減并驗證的情況得到的通項公式；（2）先寫出通項公式，再結合裂項相消法、等比公式求和公式，運用分組求和的方法求解答案.【小問1詳解】設等差數列的首項為，公差為d，因為，，所以，即，解得，所以①當時，②，可得，，，所以，當時，適合，所以【小問2詳解】由（1）可得，n為奇數時，，n為偶數時，.20.已知函數，.（1）若是的極值點，求函數的極值；（2）若時，恒有成立，求實數a的取值范圍.【答案】（1）極大值為，極小值為（2）【解析】【分析】（1）利用極值點與導數的聯系，結合導數與單調性的關系即可求解；（2）將恒成立問題參變分離轉化為（），通過導數研究右側函數最值即可求出實數a的范圍.【小問1詳解】，因為是的極值點，所以，所以，所以當或時，；當時，.所以函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.所以極大值，極小值為【小問2詳解】若時，恒有恒成立，即，即，因為，所以，令，則，則時，，時，所以在單調遞減，在單調遞增，所以的最小值為，所以.所以a取值范圍為【點睛】方法點睛：本題考查導數的綜合應用.利用導數可以很好的求解函數的相關性質，恒成立問題常轉化為函數最值問題，通過導數研究函數最值從而求出參數范圍.21.2020年11月，國務院辦公廳印發《新能源汽車產業發展規劃（20212035年）》，要求深入實施發展新能源汽車國家戰略，推動中國新能源汽車產業高質量可持續發展，加快建設汽車強國.同時為了推廣新能源替代傳統非綠色能源，除了財政補貼、稅收優惠等激勵性政策外，可間接通過前期技術研發支持等政策引導能源發展方向.某企業多年前就開始進行新能源汽車方面的研發，現對近10年的年技術創新投入和每件產品成本（，2，3，…，10）的數據進行分析，得到如下散點圖，并計算得：，，，，.（1）根據散點圖可知，可用函數模型擬合y與x的關系，試建立y關于x的回歸方程；（2）已知該產品的年銷售額m（單位：千萬元）與每件產品成本y的關系為.該企業的年投入成本除了年技術創新投入，還要投入其他成本10千萬元，根據（1）的結果回答：當年技術創新投入x為何值時，年利潤的預報值最大?（注：年利潤年銷售額年投入成本）參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.【答案】（1）（2）當年技術創新投入為40千萬元時，年利潤的預報值取最大值【解析】【分析】（1）令，可得出關于的線性回歸方程為，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出關于的回歸方程；（2）由可得，可計算出年利潤關于的函數關系式，結合二次函數的基本性質可求得的最大值及其對應的值．【小問1詳解】令，則y關于u的線性回歸方程為，由題意可得，，則，所以，y關于x的回歸方程為.【小問2詳解】由可得，年利潤，當時，年利潤M取得最大值，此時，所以，當年技術創新投入為40千萬元時，年利潤的預報值取最大值22.已知函數，.（1）當時，判斷