化工問題建模 與數學分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering1/82第四章二階偏微分方程與分離變量法

1、二階方程分類2、分離變量法3、特征值理論4、特殊函數應用5、經典問題分析2/82第四章二階偏微分方程——概述化學工程中常見PDE對流－擴散－反應方程常微分方程：求通解，初值定積分常數；一階偏微分方程：求通解，初值定任意函數；二階偏微分方程：從問題出發確定求解方法。3/82第四章二階偏微分方程——概述二階導數項占優時，普通采取以下兩種方法求解 分離變量法：適合用于有限空間區域； 積分變換法：適合用于無限空間區域； 均化為常微分方程求解。4/82第四章二階偏微分方程——方程分類§1

二階偏微分方程分類令得

5/82第四章二階偏微分方程——方程分類由線性代數，可經過線性變換將特征二次型化為對角型

6/82第四章二階偏微分方程——方程分類二階方程分類：當b2－ac＜0時，曲線為橢圓，方程稱為橢圓型方程當b2－ac=0時，曲線為拋物線,方程稱為拋物型方程當b2

－ac＞0時，曲線為雙曲線，方程稱為雙曲型方程7/82第四章二階偏微分方程——方程分類標準形式： 橢圓型方程 拋物型方程 雙曲型方程8/82第四章二階偏微分方程——方程分類物理意義：橢圓型方程——位勢方程，描述與時間無關定常分布；拋物型方程——熱傳導方程，描述不可逆發展演變；雙曲型方程——波動方程，描述可逆雙向波動。9/82第四章二階偏微分方程——方程分類定解問題提法——方程與初、邊值組合 初值問題(Cauchy問題)

邊值問題 混合問題10/82第四章二階偏微分方程——分離變量法§2分離變量法

——試探問題變量分離形式解例1

設11/82第四章二階偏微分方程——分離變量法變量分離，得求X(x)非零解，經過調整參數

值12/82第四章二階偏微分方程——分離變量法

ⅰ)當

＜0時，方程通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0

ⅱ)當

=0時，方程通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡013/82第四章二階偏微分方程——分離變量法

ⅲ)當

＞0時，方程通解含有以下形式

由邊界條件X(0)=0知c1=0,再由 為了有非零解c2≠0，必須sin=0，由此確定出參數

14/82第四章二階偏微分方程——分離變量法由此得變量分離解15/82第四章二階偏微分方程——分離變量法為滿足初值，將解疊加由初值得解。16/82第四章二階偏微分方程——分離變量法17/82第四章二階偏微分方程——分離變量法例2矩形區域Laplace方程

令18/82第四章二階偏微分方程——分離變量法得特征值問題非平凡解

由零邊界條件定出c2=019/82第四章二階偏微分方程——分離變量法得

為滿足y方向普通邊界條件，結構級數

由y方向邊值，得20/82第四章二階偏微分方程——分離變量法得

得解21/82第四章二階偏微分方程——分離變量法例3圓形區域Laplace方程

令22/82第四章二階偏微分方程——分離變量法特征值問題解得＝n23/82第四章二階偏微分方程——分離變量法由邊值24/82第四章二階偏微分方程——分離變量法得 得解。25/82第四章二階偏微分方程——分離變量法26/82第四章二階偏微分方程——分離變量法小結：分離變量法

1、假設變量分離形式解

2、導出并求解特征值問題

3、疊加成級數，滿足初值或邊值關鍵問題——特征值問題 能否經過調整不定參數取得齊次方程非零解。

27/82第四章二階偏微分方程——分離變量法§3分離變量法

——非齊次方程與邊界條件：化齊與展開1、非齊邊值處理：迭加邊值問題特解，化齊例128/82第四章二階偏微分方程——分離變量法

令

特解v(x)要求滿足邊值，有沒有窮各種選擇，規范為

29/82第四章二階偏微分方程——分離變量法于是，問題化為w(x,t)齊次邊值問題方程化齊關鍵點，是要求疊加特解v(x)既要滿足邊值，又要滿足原微分方程，使得化齊后問題最簡單。 30/82第四章二階偏微分方程——分離變量法例2

令

31/82第四章二階偏微分方程——分離變量法

解出 問題化齊為

32/82第四章二階偏微分方程——分離變量法33/82第四章二階偏微分方程——分離變量法方程與邊值同時化齊

34/82第四章二階偏微分方程——分離變量法2、非齊方程處理：級數展開 難以直接分離變量，受常微分方程常數變易法啟發，可將函數u(x,t）及全部函數均按特征函數展開

35/82第四章二階偏微分方程——分離變量法

代入方程，得

36/82第四章二階偏微分方程——分離變量法

37/82第四章二階偏微分方程——分離變量法小結：分離變量法關鍵 特征函數 級數展開 問題——

特征函數存在性？ 特征函數正交性？ 特征函數完整性？ 在普通條件下需要從理論上給予回答。38/82第四章二階偏微分方程——分離變量法分離變量法歷史發展1700’s——弦振動方程三角函數試探解(Tayler)39/82第四章二階偏微分方程——分離變量法1800～1900’s——Fourier方法 無窮級數解 特征值問題

Fourier級數理論

Fourier變換1800’s——Strum－Liouville特征值理論 分離變量法理論基礎 特殊函數應用40/82第四章二階偏微分方程——特征值理論§4

特征值問題

1、正交性定義

Fourier展開41/82第四章二階偏微分方程——特征值理論 2、特征值理論定理一存在著無窮多個實特征值定理二當q(x)≥0時,全部特征值非負定理三不一樣所對應特征函數帶權ρ(x)正交定理四任意函數f(x)可展開為特征函數yn(x)級數42/82第四章二階偏微分方程——特征值理論說明

1、S-L特征值方程含有普通性；

2、四個定理只回答了特征函數存在性、正交性、完整性問題，可據此判斷分離變量法可行性，給出解結構。但沒有給出特征值方程求解方法。43/82第四章二階偏微分方程——特殊函數§5特殊函數應用

1、極坐標系與Bessel函數 令44/82第四章二階偏微分方程——特殊函數得到

判斷：特征值存在，特征函數Rn(r)正交，完整45/82第四章二階偏微分方程——特征函數解結構 由正交性46/82第四章二階偏微分方程——特征值理論47/82第四章二階偏微分方程——特征值理論求特征函數R(r)，令，將特征值問題化為 上式是0階Bessel方程，可用級數解法得到其解 式中，J0和Y0分別為第一類和第二類Bessel函數48/82第四章二階偏微分方程——特征值理論49/82第四章二階偏微分方程——特征值理論

由邊界條件確定特征值和特征函數

得解50/82第四章二階偏微分方程——特征值理論2、球坐標系與Legendre函數 問題——球形區域穩態傳熱與傳質分離變量，令u(r,

)=H(

)R(r)得到51/82第四章二階偏微分方程——特征值理論特征值問題為H，作變換x=cos

,化為Legendre方程

52/82第四章二階偏微分方程——特征值理論自然邊界條件由特征值理論，特征函數存在，分離變量法可行。

Legendre方程解為無窮級數，若邊界上有限，必須對應特征函數為n階Legendre多頂式53/82第四章二階偏微分方程——特征值理論于是，問題分離變量解為其中系數B＝0，A由邊界條件確定54/82第四章二階偏微分方程——特征值理論55/82第四章二階偏微分方程——經典問題1、圓柱體傳熱

令 u(r,z)=R(r)Z(z)

得56/82第四章二階偏微分方程——經典問題特征值問題 及

有Z″－λnZ

=0

57/82第四章二階偏微分方程——經典問題由z=b處邊值可確定常數An

58/82第四章二階偏微分方程——經典問題另一個做法——

選擇Z(z)

為特征函數，化齊Z(z)邊值，令59/82第四章二階偏微分方程——經典問題得

令w(r,z)=R(r)Z(z),分離變量后得到60/82第四章二階偏微分方程——經典問題特征函數R(r)方程為0階變形Bessel方程，解為61/82第四章二階偏微分方程——經典問題2、球形催化劑顆粒瞬態響應化齊邊值，令62/82第四章二階偏微分方程——經典問題S=2時，特解 令

得63/82第四章二階偏微分方程——經典問題再求齊次邊值問題64/82第四章二階偏微分方程——經典問題令w(x,t)=X(x)T(t),得到特征值問題

作變換得65/82第四章二階偏微分方程——經典問題于是66/82第四章二階偏微分方程——經典問題67/82第四章二階偏微分方程——經典問題3、管式反應器動態行為

問題68/82第四章二階偏微分方程——經典問題為化齊邊值，令v(x)為固定床反應器穩態解69/82第四章二階偏微分方程——經典問題齊次邊值問題分離變量w=X(x)T(t)

，得特征值問題70/82第四章二階偏微分方程——經典問題化為Sturm－Liouville型方程非零解Xn(x)存在，帶權exp(-Pex)正交71/82第四章二階偏微分方程——經典問題特征函數欲得非零解，要求72/82第四章二階偏微分方程——經典問題

令 得 由x=1處邊界條件確定特征值73/82第四章二階偏微分方程——經典問題74/82第四章二階偏微分方程——經典問題4、管道中層流換熱Graetz問題75/82第四章二階偏微分方程——經典問題無量綱化后分離變量法求解,令

76/82第四章二階偏微分方程——經典問題

得特征值問題冪級數解77/82第四章二階偏微分方程——經典問題由x=１處邊值確定特征值λ

解得78/82