湖北省黃岡市武穴鄂東中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，已知一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

.參考答案：2.圖l是某縣參加2010年高考的學生身高條形統計圖，從左到右的各條形表示的學生人數依次記為、、…、(如表示身高(單位：)在[150，155)內的學生人數)．圖2是統計圖l中身高在一定范圍內學生人數的一個算法流程圖．現要統計身高在160～180(含160，不含180)的學生人數，那么在流程圖中的判斷框內應填寫的條件是A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.定義在R上的函數f（x）滿足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的導函數，則不等式exf（x）＞ex+5（其中e為自然對數的底數）的解集為（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（3，+∞）參考答案：A【考點】導數的運算；其他不等式的解法．【分析】構造函數g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解【解答】解：設g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定義域上單調遞增，∵exf（x）＞ex+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集為（0，+∞）故選：A．4.設函數f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三個根，分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），則x1+2x2+x3的值為（）A．π B． C． D．參考答案：C【考點】正弦函數的圖象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范圍，由正弦函數的圖象畫出函數的大致圖象，由函數的圖象，以及正弦圖象的對稱軸求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由題意x∈[0，]，則2x+∈[，]，畫出函數的大致圖象：由圖得，當時，方程f（x）=a恰好有三個根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由圖知，點（x1，0）與點（x2，0）關于直線對稱，點（x2，0）與點（x3，0）關于直線對稱，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故選C．【點評】本題考查正弦函數的圖象，以及正弦函數圖象對稱性的應用，考查整體思想，數形結合思想．5.已知M是△ABC內的一點，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為，x，y，則的最小值為(

)A．16 B．18 C．20 D．24參考答案：B【考點】基本不等式；平面向量數量積的運算．【專題】不等式的解法及應用；平面向量及應用．【分析】由，∠BAC=，利用數量積運算可得，即bc=4．利用三角形的面積計算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為，x，y．可得，化為x+y=．再利用基本不等式==即可得出．【解答】解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S△ABC===1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為，x，y．∴，化為x+y=．∴===18，當且僅當y=2x=時取等號．故的最小值為18．故選：B．【點評】本題考查了數量積運算、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．6.設，，，則A.

B.

C.

D.參考答案：C，，。因為，所以，即。選C.7.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，記A1B1的中點為E，平面C1EC

與AB1C1的交線為l，則直線l與AC所成角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】取AB中點D，連結CD，ED，ED∩AB1=F，連結EF，則C1F即為平面C1EC與AB1C1的交線l，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用利用向量法能求出直線l與AC所成角的余弦值．【解答】解：取AB中點D，連結CD，ED，ED∩AB1=F，連結EF，則C1F即為平面C1EC與AB1C1的交線l，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），B1（0，1，2），F（），=（），=（1，0，0），設直線l與AC所成角為θ，則cosθ===．∴直線l與AC所成角的余弦值為．故選：C．8.已知F是橢圓C：的右焦點，點P在橢圓C上，線段PF與圓相切于點Q，且PQ=2QF，則橢圓C的離心率等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設橢圓的左焦點為F1，確定PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a﹣b，即可求得a=b，根據橢圓的離心率即可得到所求．【解答】解：設橢圓的左焦點為F1，連接F1，設圓心為C，則∵，則圓心坐標為（，0），半徑為r=，∴|F1F|=3|FC|∵PQ=2QF，∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵線段PF與圓（其中c2=a2﹣b2）相切于點Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a﹣b）2=4c2∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）∴a=b，則=，∴e===，故選A．9.（5分）（2015?嘉興二模）在△ABC中，“sinA＞cosB”是“△ABC為銳角三角形”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】：簡易邏輯．【分析】：根據充分條件和必要條件的定義結算三角函數的性質進行判斷即可．解：若B為鈍角，A為銳角，則sinA＞0，cosB＜0，則滿足sinA＞cosB，但△ABC為銳角三角形不成立，若△ABC為銳角三角形，則A，B，π﹣A﹣B都是銳角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，則cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故“sinA＞cosB”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件，故選：B【點評】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據三角形的性質是解決本題的關鍵．10.定義在R上的函數f（x）滿足：f′（x）﹣f（x）=x?ex，且f（0）=，則的最大值為（）A．0 B． C．1 D．2參考答案：D【考點】導數的運算．【專題】綜合題；函數思想；綜合法；導數的概念及應用．【分析】先構造函數，F（x）=，根據題意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根據根的判別式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，則F′（x）===x，則F（x）=x2+c，∴f（x）=ex（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=ex（x2+），∴f′（x）=ex（x2+）+x?ex，∴=，設y=，則yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，當y=1時，x=0，當y≠1時，要使方程有解，則△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值為2，故的最大值為2，故選：D．【點評】本題考查了導數和函數的關系以及函數的值域問題，關鍵是構造函數和利用根的判別式求函數的值域，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的函數的圖象關于點對稱，且滿足，又，，則

參考答案：1略12.①存在α∈(0，)使sinα＋cosα＝；②存在區間(a，b)使y＝cosx為減函數且sinx＜0；③y＝tanx在其定義域內為增函數；④y＝cos2x＋sin(－x)既有最大、最小值，又是偶函數；⑤y＝|sin(2x＋)|的最小正周期為π，以上命題錯誤的為________(填序號)．參考答案：①②③⑤

13.已知函數f（x）對于任意的x∈R，都滿足f（﹣x）=f（x），且對任意的a，b∈（﹣∞，0]，當a≠b時，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），則實數m的取值范圍是

．參考答案：（﹣3，1）．【考點】函數單調性的性質．【分析】由題意可得函數f（x）為偶函數，在（﹣∞，0]上是減函數，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范圍．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函數f（x）為偶函數．再根據對任意的a，b∈（﹣∞，0]，當a≠b時，都有＜0，故函數在（﹣∞，0]上是減函數．故由f（m+1）＜f（2），可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案為：（﹣3，1）．14.若方程僅有一解，則實數a的取值范圍上

。參考答案：15.觀察下列數表:根據此數表的規律，則第7行的第4個數是

參考答案：50略16.已知函數的值為=

．參考答案：0【考點】3T：函數的值．【分析】推導出f（）=alog2+blog3+2=4，從而得到alog22008+blog32008=﹣2，由此能求出f（2008）．【解答】解：∵函數，∴f（）=alog2+blog3+2=4，∴﹣alog22008﹣blog32008+2=4，即alog22008+blog32008=﹣2，∴f（2008）=alog22008+blog32008+2=﹣2+2=0．故答案為：0．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．17.設常數，若的二項展開式中項的系數為-10，則a=________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．（1）若棱AP的中點為H，證明：HE∥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】計算題；規律型；數形結合；轉化思想；空間位置關系與距離；空間角．【分析】（1）取AD的中點G，連接HE，HG，GC，證明四邊形EHGC是平行四邊形，推出HE∥GC，即可證明HE∥平面ABCD．（2）法一：如圖，取PB的中點M，連接AC，DB交于點F，連接ME，MF，作FK⊥PB于點K，∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，通過Rt△PDB～Rt△FKB，求出，得到二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小與直二面角D﹣PB﹣E的大小之和，求解二面角A﹣PB﹣E的大小．法二：DA，DC，DP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系D﹣xyz如圖所示，設PA的中點為N，連接DN，求出平面PAB的一個法向量，平面PBE的法向量，通過向量的數量積求解，二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）∵底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2，，∴底面ABCD是邊長為2的正方形，取AD的中點G，連接HE，HG，GC，根據題意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，則四邊形EHGC是平行四邊形，…所以HE∥GC，HE?平面ABCD，GC?平面ABCD，故HE∥平面ABCD…（2）法一：如圖，取PB的中點M，連接AC，DB交于點F，連接ME，MF，作FK⊥PB于點K，容易得到∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，…，Rt△PDB～Rt△FKB，易得，從而，所以…由于點M是PB的中點，所以MF是△PDB的中位線，MF∥PD，且，MF=EC，且MF∥EC，故四邊形MFCE是平行四邊形，則ME∥AC，又AC⊥平面PDB，則ME⊥平面PDB，ME?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PDB，所以二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小與直二面角D﹣PB﹣E的大小之和…故二面角A﹣PB﹣E的大小為…法二：由（1）知，DA，DC，DP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系D﹣xyz如圖所示，設PA的中點為N，連接DN，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），P（0，0，2），N（1，0，1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為…設平面PBE的法向量為，因為，，由得，取z=2，則x=1，y=1，所以為平面PBE的一個法向量．

所以從圖形可知，二面角A﹣PB﹣E是鈍角，所以二面角A﹣PB﹣E的大小為…【點評】本題考查二面角的平面鏡的求法，直線與平面平行于垂直的判定與性質的應用，考查空間想象能力以及計算能力．19.如圖，多面體中，四邊形是菱形，,，相交于，∥，點在平面ABCD上的射影恰好是線段的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角（銳角）的余弦值．參考答案：解：（Ⅰ）取AO的中點H，連結EH，則EH⊥平面ABCD∵BD在平面ABCD內，∴EH⊥BD

┄┄┄┄┄2分又菱形ABCD中，AC⊥BD且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF內∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

┄┄┄┄┄5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H為原點，如圖所示建立空間直角坐標系H-xyz

┄┄┄┄┄┄┄6分∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的邊長為4，則

各點坐標分別為,E(0,0,)……7分易知為平面ABCD的一個法向量，記=，=,=

∵EF//AC，

∴

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分設平面DEF的一個法向量為

（注意：此處可以用替代）即＝

,令，則，∴

┄┄…………9分∴平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為.

┄┄┄┄┄┄12分20.如圖所示，在四棱錐S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，點E在棱CS上，且CE＝λCS．（1）若，證明：BE⊥CD；（2）若，求點E到平面SBD的距離．參考答案：（1）證明：因為，所以，在線段CD上取一點F使，連接EF，BF，則EF∥SD且DF＝1．因為AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，所以四邊形ABFD為矩形，所以CD⊥BF．又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，所以SA⊥CD，AD⊥CD．因為AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，從而CD⊥EF．因為BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．又BE平面BEF，所以CD⊥BE．（2）解：由題設得，，又因為，，，所以，設點C到平面SBD的距離為h，則由VS—BCD＝VC—SBD得，因為，所以點E到平面SBD的距離為．21.如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，點E，F分別是AB，B1C1的中點，且∠DAB=60°，AA1=AB=2．（I）求證：EF∥平面AB1D1；（II）求三棱錐A﹣CB1D1的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【專題】轉化思想；分割補形法；空間位置關系與距離．【分析】（I）如圖，連接A1C1交B1D1于O點，連接OF，OA．利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定可得AOFE是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明．（II）連接AC交BD于點M，連接D1M，B1M．可得=，=+，由于四邊形BACD是菱形，BB1⊥平面ABCD，可得平面BDD1B1⊥平面ABCD，AM⊥平面BDD1B1，即可得出=．【解答】證明：（I）如圖，連接A1C1交B1D1于O點，連接OF，OA．∵，，∴．∴AOFE是平行四邊形，∴EF∥OA，而EF?平面AB1D1，OA?平面AB1D1；∴EF∥平面AB1D1．（II）連接AC交BD于點M，連接D1M，B1M．則=，=+=2，∵四邊形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴==×2×2=，∴=．【點評】本題考查了空間線面位置關系及其判定、三棱