莆田錦江中學2023-2024學年上學期高三第一次階段考試數學試卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知集合或，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合補集和交集的運算計算即可.【詳解】因為或，則集合，又集合，則.故選：D2.設是實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據對數函數的單調性以及充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】若，則，若，則，即，當時，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據求導法則逐個分析判斷即可【詳解】對于A，，所以A錯誤，對于B，，所以B錯誤，對于C，，所以C錯誤，對于D，，所以D正確，故選：D.4.若曲線（e是自然對數的底數）在點處的切線與y軸垂直，則（）A1 B. C. D.－1【答案】A【解析】【分析】根據導數的幾何意義與直線垂直的關系求解即可.【詳解】由于，根據題意有，所以.故選：A5.設，向量，，且，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據空間向量平行與垂直的坐標表示，求得的值，結合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.6.一袋中裝有10個盲盒，已知其中3個是玩具盲盒，7個是文具盲盒，甲、乙兩個小孩從中先后任取一個盲盒，則乙取到的是玩具盲盒的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據全概率公式結合已知條件求解即可【詳解】記事件分別表示甲、乙取到的是玩具盲盒，則由題意得，所以故選：C7.我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量線性運算，以為基底表示出，從而確定的取值.【詳解】，，

，，，，.故選：A.8.已知函數對于任意的x∈滿足（其中是函數的導函數），則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數，，結合導數可判斷函數單調性，進而可比較函數值大小．【詳解】設，則，則在上單調遞增，對于A，，化簡得，故A錯誤；對于B，，化簡得，故B錯誤；對于C，，化簡得，故C正確；對于D，，化簡得，故D錯誤.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用導數不等式構造函數的關鍵是將含導數的不等式轉化為右側為0，左側利用導數的四則運算與基本初等函數求導公式構建原函數，從而可確定原函數的解析式，再根據導數符號確定函數單調性，從而可比較兩個函數值的大小.考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．二、多選題（每小題5分，共20分）9.如果，則下列選項不正確的是（

）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據特殊值以及不等式的性質對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若，如，則，所以A選項不正確.B選項，若，如，則，所以B選項不正確.C選項，若，根據不等式的性質可知，所以C選項正確.D選項，若，如，此時，所以D選項不正確.故選：ABD10.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別用事件和表示從甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機取出一球，用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結論正確的是（）A.B.C.事件B與事件相互獨立D.是兩兩互斥的事件【答案】BD【解析】【分析】根據條件概率公式計算可知B正確；根據全概率公式計算可知A不正確；根據計算可知，故C不正確；根據互斥事件的定義可知D正確.【詳解】依題意得，，，則，故B正確；，，所以，故A不正確；因為，，，所以事件B與事件不相互獨立，故C不正確；根據互斥事件的定義可知是兩兩互斥的事件，故D正確.故選：BD11.已知關于的不等式的解集為或，則下列結論中，正確結論的序號是（）A.B.不等式的解集為C.不等式的解集為或D.【答案】AD【解析】【分析】由一元二次不等式的解法得關系，對選項逐一判斷，【詳解】由的解集為或得，故故A正確，，故D正確，對于B，，解得，故B錯誤，對于C，為，解得，故C錯誤.故選：AD12.如圖，在正四棱柱中，分別是，的中點，則（）A.//平面B.C.直線與平面所成角的正弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算，逐項判斷，即可得出答案．【詳解】如圖建立空間直角坐標系：可得,0,,,0,,,2,,,2,,,0,,,2,,,2,,,0,，因為,分別是,的中點,所以,1,,,2,，對于A,,1,，,2,，所以，故，因為面，面，所以面，故A正確；對于B,,2,，所以，故B正確；對于C：平面的法向量,2,，,2,，所以,，所以直線與平面所成角的正弦值為，故C正確，D錯誤，故選：ABC．三、填空題（每小題5分，共20分）13.已知若正數、滿足，則的最小值為___________．【答案】##0.8【解析】【分析】由可得，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得答案.【詳解】已知正數、滿足，則，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為：.14.10件產品中有7件正品，3件次品，則在第一次抽到次品條件下，第二次抽到次品的概率______.【答案】【解析】【分析】根據題目所給已知條件，結合概率計算公式即可.【詳解】根據題意，10件產品中有7件正品，3件次品，則第一次抽到次品后，還有2件次品，7件正品；故第二次抽到次品的概率為：.故答案為：.15.已知隨機變量服從二項分布，則__________.【答案】【解析】【分析】根據二項分布的概率公直接求解即可【詳解】表示做了4次獨立實驗，每次試驗成功概率為，，故答案為：16.某廠生產某種產品的固定成本（固定投入）為2500元，已知每生產x件這樣的產品而要再增加可變成本（元），若生產出的產品都能以每件500元售出，則該廠生產______件這種產品時，可獲得最大利潤______元．【答案】①.②.【解析】【分析】根據得到利潤的函數，利用導數求得函數的單調性和最大值，即可求解.【詳解】設該廠生產x件這種產品的利潤為元，則，則，令，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以是函數的極大值點，也是最大值點，所以當時，利潤最大為元．故答案為：；.四、解答題（共70分，17題10分，其余各題12分）17.已知函數（1）若，求函數在區間上的最大值；（2）若函數在區間上為增函數，求實數的取值范圍．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）先對函數求導，根據求出，則，在區間上單調遞增，即可得到答案.（2）根據題意知，分參得，即可得到答案.【小問1詳解】，因為，所以，所以在上恒成立，所以函數在區間上單調遞增所以【小問2詳解】因為函數在區間上為增函數，所以在上恒成立所以在上恒成立，所以18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點．（1）求直線BD與平面APM所成角的正弦值；（2）求D到平面APM的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（2）利用空間點到直線距離公式進行求解即可.【小問1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，，，設平面APM的法向量為，，，于是有，，所以直線BD與平面APM所成角的正弦值為；【小問2詳解】由（1）可知平面APM的法向量為，，，D到平面APM的距離為.19.甲、乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運動員獲勝，并結束比賽．設各局比賽的結果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為．（1）求甲獲勝的概率；（2）設為結束比賽所需要的局數，求隨機變量的分布列及數學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望為.【解析】【分析】（1）根據給定條件，求出甲三局、四局、五局獲勝的概率，再利用互斥事件的概率公式計算作答.（2）求出的可能值，再求出各個值對應的概率，列出分布列并求出數學期望.【小問1詳解】依題意，比賽三局且甲獲勝的概率為，比賽四局且甲獲勝的概率為，比賽五局且甲獲勝的概率為，所以甲獲勝的概率為．【小問2詳解】隨機變量的取值為3，4，5，則，，，所以隨機變量的分布列為：345則隨機變量的數學期望為．20.如圖，在三棱臺中，若平面，，，，為中點，為棱上一動點（不包含端點）．（1）若為的中點，求證：平面；（2）是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）取中點，易證得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可證得結論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，根據面面角的向量求法可構造方程求得的值，由此可得結果.【小問1詳解】分別取中點，連接，則為的中位線，，，又，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面【小問2詳解】以為坐標原點，正方向為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設，則，，令平面的法向量為，則，令，則，，；又平面的一個法向量，，解得：或（舍），，，即的長為.21.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班48人進行了問卷調查得到了如下的2×2列聯表：性別打籃球合計喜愛不喜愛男生6女生10合計48已知在全班48人中隨機抽取1人，抽到喜愛打籃球的學生的概率為.（1）請將上面的2×2列聯表補充完整（不用寫計算過程）；（2）根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否據此推斷喜愛打籃球與性別有關？（3）現從女生中抽取2人進一步調查，設其中喜愛打籃球女生人數為X，求X的分布列與均值．附：，其中，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）答案見解析；（2）認為喜愛打籃球與性別有關；（3）分布列見解析，1.【解析】【分析】（1）求出喜歡打籃球的學生人數，完善2×2列聯表.（2）求出的觀測值，再與臨界值比對作答.（3）求出的可能值，求出每個值對應的概率，列出分布列并求出期望作答.【小問1詳解】依題意，喜歡打籃球的學生人數為，完善列聯表如下：性別打籃球合計喜愛不喜愛男生22628女生101020合計321648【小問2詳解】零假設：喜愛打籃球與性別無關，由（1）得，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，所以認為喜愛打籃球與性別有關.【小問3詳解】喜愛打籃球的女生人數的可能取值為0，1，2，則，所以的分布列為012的數學期望.22.已知函數.（1）求的單調區間；（2）若有兩個零點，記較小零點為，求證：.【答案】（1）答案見詳解（