廣東省揭陽(yáng)市霖盤(pán)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知兩個(gè)非零向量與，定義|×|=||||sinθ，其中θ為與的夾角．若=（﹣3，4），=（0，2），則|×|的值為(

) A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8參考答案：C考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．專題：新定義；平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)給出的兩向量、的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)的模，運(yùn)用向量數(shù)量積公式求兩向量夾角的余弦值，則正弦值可求，最后直接代入定義即可．解答： 解：由=（﹣3，4），=（0，2），所以，，cosθ==，因?yàn)棣取蔥0，π]，所以sinθ==，所以=．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是熟記兩向量的數(shù)量積公式，是新定義中的基礎(chǔ)題．2.已知i為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z+2=9－i，則=（

）A． B． C． D．

參考答案：D3.已知函數(shù)（其中）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)的圖象是（）]參考答案：A略4.已知?jiǎng)t（）A. B. C.3 D.2參考答案：C，選C.5.已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若雙曲線C的一條漸近線與直線平行，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)雙曲線方程為=1，（a＞0，b＞0），由雙曲線C的一條漸近線與直線平行，得到=，由此能求出雙曲線C的離心率．【解答】解：∵雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)雙曲線方程為=1，（a＞0，b＞0），∵雙曲線C的一條漸近線與直線平行，∴=，即a=b，c==2b，∴雙曲線C的離心率e===．故選：A．6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 （）A． B．(0,1] C．[1,+∞) D．(0,+∞)參考答案：B略7.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的值域?yàn)?/p>

B．是偶函數(shù)C．不是周期函數(shù)

D．不是單調(diào)函數(shù)參考答案：C8.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為（）A．2 B．﹣2 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)后它的實(shí)部為0，可求實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：復(fù)數(shù)==，它是純虛數(shù)，所以a=2，故選A9.已知函數(shù),,若f(x)與g(x)的圖象上分別存在點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M,N關(guān)于直線對(duì)稱,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A B.C. D.參考答案：D【分析】由題意與的圖象上分別存在點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M,N關(guān)于直線對(duì)稱，即，等價(jià)于，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由于與的圖象上分別存在點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M,N關(guān)于直線對(duì)稱,則，即所以指數(shù)函數(shù)與在恒有交點(diǎn)當(dāng)直線與相切時(shí)，由于，設(shè)切點(diǎn)此時(shí)切線方程：過(guò)（0，0）因此：數(shù)形結(jié)合可知：或時(shí)，與有交點(diǎn)又要求在恒有交點(diǎn)，由圖像，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上：解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.10.已知集合M=，集合

(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn),，若，則等于

．參考答案：12.定義:如果函數(shù)在區(qū)間上存在,滿足,則稱是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)均值點(diǎn).已知函數(shù)在區(qū)間上存在均值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____;參考答案：(0,2)13.不等式的解集為_(kāi)___________.參考答案：14.設(shè)函數(shù)f（x）=若f（a）＞a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣1）【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】先根據(jù)分段函數(shù)的定義域選擇好解析式，分a≥0時(shí)，和a＜0時(shí)兩種情況求解，最后取并集．【解答】解：當(dāng)a≥0時(shí)，，解得a＜﹣2，矛盾，無(wú)解當(dāng)a＜0時(shí)，，a＜﹣1．綜上：a＜﹣1∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．故答案為：（﹣∞，﹣1）15.在中，角A、B、C所對(duì)的邊為，若成等差數(shù)列，則角B的最大值是_____________【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，即，，所以，所以最大值為.參考答案：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，即，，所以，所以最大值為.【答案】16.在球O的內(nèi)接四面體ABCD中，且，則A,B兩點(diǎn)的球面距離是_______________參考答案：略17.在展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為

.（結(jié)果用數(shù)值表示）參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=1．（1）求證：CD⊥平面ADP；（2）若M為線段PC上的點(diǎn)，當(dāng)BM⊥AC時(shí)，求二面角C﹣AB﹣M的余弦值．參考答案：（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面ADP，所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）又因?yàn)槠矫鍭DP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADP．…（4分）（2）AD，AP，AB兩兩垂直，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，0，1），C（4，0，4），P（0，4，0），．…（6分）設(shè)M（x，y，z），，．所（x，y﹣4，z）=λ（4，﹣4，4），．因?yàn)锽M⊥AC，所以．，（4λ，4﹣4λ，4λ﹣1）﹣（4，0，4）=0，解，所以M=，．…（8分）設(shè)為平面ABM的法向量，則，又因?yàn)樗裕顬槠矫鍭BM的一個(gè)法向量．又因?yàn)锳P⊥平面ABC，所以為平面ABC的一個(gè)法向量．…（10分）=，所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值為．…（12分）法2：在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，在平面ACP內(nèi)過(guò)點(diǎn)H作HM∥AP交PC于點(diǎn)M，連接MB

…（6分），因?yàn)锳P⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD．又因?yàn)锳C?平面ABCD，所以HM⊥AC．又BH∩HM=H，BH?平面BHM，HM?平面BHM，所以AC⊥平面BHM．所以AC⊥BM，點(diǎn)M即為所求點(diǎn)．…（8分）在直角△ABH中，AH=，又AC=，所以．又HM∥AP，所以在△ACP中，．在平面PCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MN∥CD交DP于點(diǎn)N，則在△PCD中，．因?yàn)锳B∥CD，所以MN∥BA．連接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP．所以AB⊥AD，AB⊥AN．所以∠DAN為二面角C﹣AB﹣M的平面角．…（10分）在△PAD中，過(guò)點(diǎn)N作NS∥PA交DA于S，則，所以AS=，NS=，所以NA=．所以．所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值為．…（12分）點(diǎn)評(píng)：本題考查利用面面垂直證明線面垂直，是證明題常見(jiàn)題型．在未知某點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)利用條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)該題的難點(diǎn)也是高考常考題型考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．專題：常規(guī)題型；空間向量及應(yīng)用．分析：（1）利用面面垂直證明線面垂直．（2）合理建系寫(xiě)出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，充分理解BM⊥AC的意義求得M點(diǎn)坐標(biāo)解答：（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面ADP，所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）又因?yàn)槠矫鍭DP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADP．…（4分）（2）AD，AP，AB兩兩垂直，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，0，1），C（4，0，4），P（0，4，0），．…（6分）設(shè)M（x，y，z），，．所（x，y﹣4，z）=λ（4，﹣4，4），．因?yàn)锽M⊥AC，所以．，（4λ，4﹣4λ，4λ﹣1）﹣（4，0，4）=0，解，所以M=，．…（8分）設(shè)為平面ABM的法向量，則，又因?yàn)樗裕顬槠矫鍭BM的一個(gè)法向量．又因?yàn)锳P⊥平面ABC，所以為平面ABC的一個(gè)法向量．…（10分）=，所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值為．…（12分）法2：在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，在平面ACP內(nèi)過(guò)點(diǎn)H作HM∥AP交PC于點(diǎn)M，連接MB

…（6分），因?yàn)锳P⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD．又因?yàn)锳C?平面ABCD，所以HM⊥AC．又BH∩HM=H，BH?平面BHM，HM?平面BHM，所以AC⊥平面BHM．所以AC⊥BM，點(diǎn)M即為所求點(diǎn)．…（8分）在直角△ABH中，AH=，又AC=，所以．又HM∥AP，所以在△ACP中，．在平面PCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MN∥CD交DP于點(diǎn)N，則在△PCD中，．因?yàn)锳B∥CD，所以MN∥BA．連接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP．所以AB⊥AD，AB⊥AN．所以∠DAN為二面角C﹣AB﹣M的平面角．…（10分）在△PAD中，過(guò)點(diǎn)N作NS∥PA交DA于S，則，所以AS=，NS=，所以NA=．所以．所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值為．…（12分）點(diǎn)評(píng)：本題考查利用面面垂直證明線面垂直，是證明題常見(jiàn)題型．在未知某點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)利用條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)該題的難點(diǎn)也是高考常考題型19.（本題滿分12分）已知函數(shù)，且周期為.（I）求的值；（II）當(dāng)[]時(shí)，求的最大值及取得最大值時(shí)的值.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象．C3C7（I）;（II），取得最大值為解析：（I）∵.....（2分）

=..................................................................（4分）∵且，

故......................................................................（6分）（II）

由(1)知∵

∴................................................................................（7分）∴.∴.......................................................................................（9分）∴當(dāng)時(shí)，即，取得最大值為............................................（12分）【思路點(diǎn)撥】（I）化簡(jiǎn)解析式可得，由且，即可求的值;（II）由已知先求得，可求得，從而可求最大值及取得最大值時(shí)的值．20.選修4-1：幾何證明選講如圖，在ΔABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，連接OD交圓O與點(diǎn)M。（1）求證：DE是圓O的切線；（2）求證：DE·BC=DM·AC+DM·AB。參考答案：證明：（1）連結(jié)OE，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OD平行且等于，∴∠A=∠BOD，∠AEO=∠EOD，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∴∠BOD=∠EOD

……3分在ΔEOD和ΔBOD中，∵OE=OB，∠BOD=∠EOD，OD=OD，∴ΔEOD≌ΔBOD，∴∠OED=∠OBD=90°，即OE⊥BD∵是圓O上一點(diǎn)，∴DE是圓O的切線

……5分（II）延長(zhǎng)DO交圓O于點(diǎn)F∵ΔEOD≌ΔBOD，∴DE=DB，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BC=2DB，∵DE、DB是圓O的切線，∴DE=DB，∴DE·BC=DE·2DB=2DE2

……7分∵AC=2OD，AB=2OF∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)=DM·(2OD+2OF)=2DM·DF∵DE是圓O的切線，DF是圓O的割線，∴DE2=DM·DF，∴DE·BC=DM·AC+DM·AB

……10分21.（本題滿分14分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的值．參考答案：（Ⅰ）解：

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使在上遞增，必須如使在上遞增，必須，即由上得出，當(dāng)時(shí)，在上均為增函數(shù)

……………6分（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解設(shè)

（）隨變化如下表極小值由于在上，只有一個(gè)極小值，的最小值為，當(dāng)時(shí)，方程有唯一解.

……………12分略22.如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,

AA=2,

E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn).

（1）

設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE//平面FCC；（2）

證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

參考答案：證明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點(diǎn)F1，連接A1D，C1F1，CF1，因?yàn)锳B=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1//A1D，又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因?yàn)槠矫鍲CC，平面FCC，所以直線EE/