PAGEPAGE6數(shù)學(xué)應(yīng)用——試析數(shù)學(xué)建模的理論與實踐隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們在解決各種實際問題時須更加精確化和定量化，尤其是在計算機得到普及和廣泛應(yīng)用的今天，數(shù)學(xué)更加深入得滲透到各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。馬克思說過：“只有充分應(yīng)用了數(shù)學(xué)的科學(xué)才是完美的”。數(shù)學(xué)建模正是從定性和定量的角度去分析和解決實際問題，為人們解決問題提供了一種數(shù)學(xué)方法、一種思維形式，因此越來越受到人們的重視。一個企業(yè)該上什么項目？一個投資商如何投資風(fēng)險最小、收益最大？在戰(zhàn)爭尚未消滅的今天，武器的發(fā)展方向是大而多還是少而精？人口眾多已成為全球性的問題，如何制定一個國家的人口政策？……所有這些問題都需建立數(shù)學(xué)模型加以論證，為投資者提供理論依據(jù)。一、關(guān)于數(shù)學(xué)建模的注解（一）數(shù)學(xué)教育的弊端我國的數(shù)學(xué)教育，一個較為突出的弊端是“忽視數(shù)學(xué)的應(yīng)用”。雖然我們在課上總是聽到老師談到“數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性”，但我們還只是周旋于純數(shù)學(xué)的概念和推理之中，只重理論，不求實用，只管解題，不講思想，其結(jié)果就是課本上的數(shù)學(xué)知識掌握的滾瓜爛熟，考試門門優(yōu)秀，可一遇到實際問題，就丈二和尚摸不著頭腦，不知從何下手，這可能就是所謂的“高分低能”吧。究其原因是沒能跳出應(yīng)試教育的束縛，不少教育工作者認為“正因為數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用性，到處都有用，畢業(yè)以后總有用，學(xué)好理論自然有用，因此不必教應(yīng)用。”“考試不考應(yīng)用，當然不必教應(yīng)用。”……從而使原本生動活潑的數(shù)學(xué)問題變成枯燥乏味的解題程式，使很多人討厭、畏懼數(shù)學(xué)。面對當前數(shù)學(xué)教育的弊端，不少有識之士提出應(yīng)強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的方向。怎樣才能把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于其他學(xué)科和日常生活中呢？數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的一座橋梁。有些人把數(shù)學(xué)建模看得高深莫測，甚至有還人把“數(shù)學(xué)建模”誤認為是“航模、造船”，其實我們早就已經(jīng)接觸過數(shù)學(xué)建模，大家一定都記得我們在小學(xué)階段做過很多應(yīng)用題，實際上那些就是簡單的數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模的確切含義尚無定論，但專家們比較趨于一致的看法是：通過對實際問題的抽象、歸納、簡化，確定變量與參數(shù)，并應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論和方法，建立起合理數(shù)學(xué)模型；然后運用數(shù)學(xué)和相關(guān)學(xué)科的理論、方法與計算機等技術(shù)手段，求解數(shù)學(xué)模型；同時對該模型進行驗證、解釋、討論，并對該模型進行修正、改進和推廣，使之規(guī)范化，并展示其實際應(yīng)用的前景。簡而言之，數(shù)學(xué)建模就是以現(xiàn)實為背景，以數(shù)學(xué)科學(xué)理論為依托，來解決實際問題的過程。事實上，任何數(shù)學(xué)概念、命題、定理、結(jié)構(gòu)都是數(shù)學(xué)模型。17世紀偉大的科學(xué)家牛頓在研究變速運動的過程中發(fā)明了微積分，并以此為工具發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，便是科學(xué)發(fā)展史上成功的數(shù)學(xué)建模范例。（二）數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟數(shù)學(xué)建模的一般方法是理論分析的方法，即根據(jù)客觀事物本身的性質(zhì)，分析因果關(guān)系，在適當?shù)募僭O(shè)下用數(shù)學(xué)工具去描述其數(shù)量特征。它的主要步驟有：第一步，了解問題，明確目的。在建模前要對實際問題的背景有深刻的了解，進行全面的、深入細致的觀察。明確所要解決問題的目的和要求，并按要求收集必要的數(shù)據(jù)。第二步，對問題進行簡化和假設(shè)。一般地，一個問題是復(fù)雜的，涉及的方面較多，不可能考慮到所有的因素，這就要求我們在明確目的、掌握資料的基礎(chǔ)上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，對問題進行適當?shù)暮喕岢鰩讞l合理的假設(shè)。不同的簡化和假設(shè)，有可能得出不同的模型和結(jié)果。第三步，建立模型。在所作簡化和假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)理論和方法建立數(shù)學(xué)模型。在保證精度的前提下應(yīng)盡量用簡單的數(shù)學(xué)方法，以便推廣使用。第四步，對模型進行分析、檢驗和修改。建立模型后，要對模型進行分析，即用解方程、推理、圖解、計算機模擬、定理證明、穩(wěn)定性討論等數(shù)學(xué)的運算和證明得到數(shù)量結(jié)果，將此結(jié)果與實際問題進行比較，以驗證模型的合理性。一般地，一個模型要經(jīng)過反復(fù)地修改才能成功。第五步，模型的應(yīng)用。用已建立的模型分析、解釋已有的現(xiàn)象，并預(yù)測未來的發(fā)展趨勢，以便給人們的決策提供參考。歸納起來，數(shù)學(xué)建模的主要步驟可以用下面的框圖來說明：問題假設(shè)建模分析應(yīng)用檢驗、修改圖1（三）數(shù)學(xué)建模的作用學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，這就要求我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時不斷提高自己應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、興趣和能力。而這方面正是當前數(shù)學(xué)教育的薄弱環(huán)節(jié)，所以在數(shù)學(xué)教育中開展數(shù)學(xué)建模活動是相當有益的，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：1．數(shù)學(xué)建模可以在很大程度上解決現(xiàn)存的“學(xué)何以致用”的問題知識是能力的載體，只有把所學(xué)的知識理論用于其他學(xué)科和日常生活中的現(xiàn)實問題，才能稱為具備了某方面的能力，否則只能稱之為“紙上談兵”。而數(shù)學(xué)建模正是數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用能力共同提高的最佳結(jié)合點，通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和實踐，我們擁有的不僅是數(shù)學(xué)知識，還擁有了數(shù)學(xué)思想和解決實際問題的能力。2．數(shù)學(xué)建模可以使數(shù)學(xué)教育生動化數(shù)學(xué)建模可以使學(xué)生更好地理解教材的概念、定理、思想和方法，既清楚“來龍”，也了解“去脈”，而不單單是嚴格的證明、抽象的邏輯思維以及數(shù)學(xué)公式的套用。數(shù)學(xué)建模可以使學(xué)生真正體會到“數(shù)學(xué)源于顯示，寓于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實”的事實，幫助學(xué)生認識數(shù)學(xué)及科學(xué)技術(shù)的發(fā)展道路。數(shù)學(xué)建模充分調(diào)動和刺激了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，形成學(xué)習(xí)——應(yīng)用——再學(xué)習(xí)——再應(yīng)用的良性循環(huán)，教學(xué)過程也趨于生動化。3．數(shù)學(xué)建模可以嘗試數(shù)學(xué)教學(xué)改革數(shù)學(xué)建模的教學(xué)已突破純粹由教師講、學(xué)生聽、做習(xí)題的模式。教師要變主導(dǎo)為引導(dǎo)，在整個過程中充當組織者、質(zhì)疑者、評價者的角色，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，有效提高了解決問題的能力，這符合我國當前教育改革的方向。數(shù)學(xué)建模的典型范例數(shù)學(xué)是高度抽象和嚴密的，它的結(jié)論和方法可以用在許多方面，如物理、生物、化學(xué)、經(jīng)濟、人口、醫(yī)學(xué)等，隨著人類社會的進步、科學(xué)技術(shù)水平的提高以及數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，數(shù)學(xué)在各個學(xué)科中的應(yīng)用顯得越來越重要了。應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實際問題時，第一步：剩余匹；第二步：剩余匹；第三步：剩余匹；第四步：剩余匹。即到第四步，所有的馬都分了，沒有剩余了。對于老大來說，分得的馬匹數(shù)為：匹我們觀察一下在這個式子中，，所以這個式子可以寫成：匹，這正好與解法1中的算式相符，同理老二、老三的情況也如此。這樣，對于教師來講，就可以用這種方法來解釋解法1的合理性。對比一下三種解法，解法1很巧妙，技巧性很強，但不容易自圓其說，對于小學(xué)、初中學(xué)生是很適用的；解法2理論基礎(chǔ)明確，起點較高，對于大學(xué)生、高中生比較適用；解法3立足與于高觀點，運用中等數(shù)學(xué)來解決問題，這就需要有較高的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。從這個問題，我們可以看出，不同數(shù)學(xué)知識層次的人都能應(yīng)用數(shù)學(xué)來解決實際問題，只是建立的模型有些差別。換句話說，只要具備基本數(shù)學(xué)知識的人都能應(yīng)用數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)能夠也應(yīng)該被應(yīng)用到實際生活中去。例3教室的墻壁上掛著一塊黑板，學(xué)生距離墻壁多遠，能夠看得最清楚？這個問題學(xué)生在實際中經(jīng)常遇到，憑我們的實際經(jīng)驗，看黑板上、下邊緣的視角越大，看得就會越清楚，當我們坐得離黑板越遠，看黑板上、下邊緣的視角就會越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？我們先建立一個非常簡單的模型：A黑板aA黑板aBbDC圖2.3-1先對問題進行如下假設(shè)：1．假設(shè)這是一個普通的教室（不是階梯教室），黑板的上、下邊緣在學(xué)生水平視線的上方a米和b處。2．看黑板的清楚程度只與視角的大小有關(guān)。設(shè)學(xué)生D距黑板米，視黑板上、下邊緣的的仰角分別為。由假設(shè)知：所以，當且僅當時，最大，從而視角最大。從結(jié)果我們可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太遠或太近，都會影響我們的視覺，這符合我們的實際情況。yAyABDxO圖2.3-2模型2：設(shè)教室是一間階梯教室，如圖2.3-2所示。為了簡化計算我們將階梯面看成一個斜面，與水平面成角，以黑板所在直線為軸，以水平線為軸，建立坐標系（見圖2.3-2）。則直線OE的方程（除原點）為：若學(xué)生D距黑板的水平距離為，則D在坐標系中的坐標為，則：所以設(shè)，要使最大，只要最小就可以了。對求導(dǎo)得：當時，，則隨的增大而增大；當時，，則隨的增大而減小，由因為是連續(xù)的，所以當時，取最小值，也就是時，學(xué)生的視角最大。通過這兩個模型，我們便可以解釋為什么學(xué)生總愿意坐在中間幾排。模型1和模型2所應(yīng)用的基本知識都是相同的，只是因為假設(shè)的教室的環(huán)境不同，建立的模型有些細微差別，所以結(jié)果不同，但這兩個結(jié)果都是基本符合實際的。在解題過程中，我們只考慮了一個因素，那就是視角，其實我們還可以考慮更多的因素，比如：前面學(xué)生對后面學(xué)生的遮擋，學(xué)生看黑板的舒適度（視線與水平面成多少度角最舒服），等。我們考慮的因素越多，所的結(jié)果就會越合理。但有時如果考慮的因素過多、過細的話，解題過程就會相當繁瑣，有時甚至得不到結(jié)果。所以“簡化假設(shè)”時就需要我們冷靜的分析，在眾多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的選擇。因此在建立模型時既要符合實際，又要力求計算簡便。三、數(shù)學(xué)建模的教育功能隨著數(shù)學(xué)建模的研究的發(fā)展進步，以及計算機的普及，數(shù)學(xué)建模應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育中的一個必不可少的內(nèi)容。大約在70年代末80年代初，英國劍橋大學(xué)就為研究生開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，并開設(shè)了牛津大學(xué)與工業(yè)界研究活動。差不多同時，在歐洲、美國等工業(yè)發(fā)達的國家開始把數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容正式列入研究生、大學(xué)生乃至中學(xué)生的教學(xué)計劃中去。80年代初這門課引入我國一些高等院校，發(fā)展非常迅速，反應(yīng)良好。由于數(shù)學(xué)建模問題一般來源于工程技術(shù)或管理科學(xué)中的實際問題，更由于數(shù)學(xué)建模的過程都是理工滲透、文理滲透、學(xué)科交叉的結(jié)合，因此從某個角度看，數(shù)學(xué)建模對學(xué)校來說，反映了其整體實力和教學(xué)質(zhì)量；對教師來說，反映了他的教學(xué)水平和科研能力；對學(xué)生來說，則是將知識學(xué)習(xí)、能力培養(yǎng)、素質(zhì)提高集于一體。事實上，數(shù)學(xué)建模在相當程度上模擬了大學(xué)畢業(yè)后的工作環(huán)境，對大學(xué)生的教育、培養(yǎng)、訓(xùn)練是全方位、多層次的，其作用許多別的課程無法比擬的，其效果也是許多教學(xué)環(huán)節(jié)無法替代的。并且，數(shù)學(xué)建模已對數(shù)學(xué)的教學(xué)改革產(chǎn)生的實質(zhì)性影響：其一，目前數(shù)學(xué)建模活動已經(jīng)發(fā)展成為規(guī)模相當大的數(shù)學(xué)教學(xué)改革試驗，廣泛地進入了全國大、中學(xué)校的課堂，學(xué)校為了適應(yīng)教育改革要面向21世紀的趨勢，適時地對數(shù)學(xué)的課程設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法進行了調(diào)整和改革。其二，將數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)后，既能使數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在書本上接觸一些實際問題，形成了理論聯(lián)系實際的思想，培養(yǎng)初步的分析、解決實際問題的能力，也能使學(xué)生學(xué)會怎樣用數(shù)學(xué)去解決實際中存在的問題，從而自覺培養(yǎng)運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的能力。其三，許多教師在所開設(shè)的各類數(shù)學(xué)課程中，對本課程的內(nèi)容和方法進行了某些必要的調(diào)整和改革，在教學(xué)過程中力圖滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法，講授一些典型的數(shù)學(xué)建模實際問題，引起了學(xué)生的濃厚興趣，取得了良好的教學(xué)效果。其四，接受數(shù)學(xué)建模教學(xué)與培訓(xùn)的學(xué)生，大都不同程度地學(xué)習(xí)了諸如圖論、數(shù)理統(tǒng)計、最優(yōu)化方法、計算方法、模糊數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)軟件包的使用等一些近代數(shù)學(xué)的基本理論與方法，涉獵了數(shù)學(xué)的一些新領(lǐng)域，拓寬了數(shù)學(xué)的知識面。其五，由于數(shù)學(xué)建模是在較高的數(shù)學(xué)平臺上進行的，因此通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競賽活動，可以綜合測試、檢驗學(xué)生主動運用數(shù)學(xué)工具分析、解決實際問題的意識和能力，及時發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)及改革中一些行之有效的做法和進一