20212022學年湖南省名校聯考聯合體（長郡中學，長沙市一中等）高一下學期3月聯考數學試題一、單選題1．若，為第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用平方關系即可得解.【詳解】解：因為，為第四象限角，所以.故選：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式展開，即可得出答案.【詳解】.故選：B.3．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由兩角差的正弦公式計算即可.【詳解】.故選：A.4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的加減法法則進行計算.【詳解】由題意得，，所以.故選：D.5．在中，已知，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】利用正弦函數進行邊化角，再利用正弦函數的兩角和公式求解即可【詳解】解：已知，則：，整理得：，則：，所以：.故選：B6．如圖所示的圖形中，每一個小正方形的邊長均為1，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】由題可得，即求.【詳解】由題把圖形看作平面直角坐標系的一部分則，∴.故選：D.7．將函數和直線的所有交點從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，若P點坐標為（0，1），則（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】在同一坐標系中作出和g(x)=x﹣1的圖象，所有交點從左到右依次記為A1，A2，A3，A4，A5根據為的一個對稱點，得到關于對稱，關于對稱，再用中點坐標公式得到求解.【詳解】由題意作出圖象如圖，共得5個交點，根據余弦函數的中心對稱性可知，和，和關于對稱，，，∴.故選：A.8．在中，、、分別為內角、、的對邊，，，點為線段上一點，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，結合余弦定理可求，結合三角形的面積公式可求，再由，結合，均為單位向量，和平行線分線段成比例可得，，結合基本不等式可求．【詳解】，，化簡可得，，，，，且，均為單位向量，過分別作，，垂足分別為，，則，，，，兩式相加可得，由基本不等式可得，，當且僅當時取等號，解可得，則的最大值為．故選B．【點睛】本題綜合考查了余弦定理，平面向量的運算法則，三角形的面積公式，基本不等式的綜合應用，二、多選題9．已知向量，，則（

）A．B．向量在向量上的投影向量是C．D．與向量同向的單位向量是（，）【答案】ACD【分析】根據題意，依次分析選項，即可得出答案.【詳解】對于A，向量，，，則有，故，A正確；對于B，向量，，則，，則向量在向量上的投影向量是，B錯誤；對于C，向量，，，則，C正確；對于D，設要求向量為，且，，則有，解得，則要求向量為，D正確.故選：ACD.10．已知復數（i為虛數單位）在復平面內對應的點為P0，復數z滿足，下列結論正確的是（

）A．P0點的坐標為（2，1）B．復數的共軛復數對應的點與點P0關于虛軸對稱C．復數z對應的點P在一條直線上D．P0與z對應的點P間的距離的最小值為【答案】ACD【分析】對于A，利用復數的幾何意義即可得出在復平面內對應的點.對于B，復數的共軛復數對應的點，即可判斷.對于C，設點，，由復數z滿足，根據幾何意義即可判斷正誤.對于D，與對應的點P間的距離的最小值為點到直線的距離，代入即可判斷.【詳解】復數（i為虛數單位）在復平面內對應的點為，因此A正確；復數的共軛復數對應的點與點關于虛軸不對稱，因此B不正確，設點，，由復數z滿足，結合復數的幾何意義，可知復數對應的點P到點與點的距離相等，則復數對應的點P在線段的垂直平分線上，因此C正確；與對應的點P間的距離的最小值為點到直線的距離，因此D正確.故選：ACD.11．已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖，將該函數的圖象向x軸負方向平移個單位，再把所得曲線上點的橫坐標變為原來2倍(縱坐標不變)，得到函數f(x)的圖象.下列結論正確的是（

）A．當≤x≤時，f(x)的取值范圍是[－1，2]B．f(－)＝C．曲線y＝f(x)的對稱軸是x＝kπ＋(k∈Z)D．若|x1－x2|<，則|f(x1)－f(x2)|<4【答案】AD【分析】根據函數的圖象求出，對于選項A,．的取值范圍是，A正確；對于選項B，計算得，B錯誤；對于選項C，函數的對稱軸是，C錯誤．對于選項D，函數的最小正周期為，D正確．【詳解】由圖可知，，，∴．，由于，∴．∴函數的解析式是．根據題意，．∴當時，的取值范圍是，A正確；，∴B錯誤；函數的對稱軸是，∴C錯誤．∵的最小正周期為，∴D正確．故選：AD12．銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，C．若ab=2bcosC，則（

）A．C=2B B．B的取值范圍是C．B=2C D．的取值范圍是【答案】AB【分析】由三角形的正弦定理和兩角和的正弦公式，結合正弦函數的性質化簡可得，可判斷；再由銳角三角形的定義可判斷；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，結合余弦函數的性質可判斷．【詳解】解：由，可得，即，即有，因為三角形為銳角三角形，所以，即，故正確，錯誤；由，，且，解得，故正確；而，，故錯誤．故選：．三、填空題13．已知復數，則________．【答案】1【分析】先結合三角函數值化簡復數，進而求出復數的模【詳解】∵∴.故答案為：114．已知向量，，若，則m=________．【答案】4【分析】直接由向量共線的坐標運算求得結果.【詳解】由，得，解得.故答案為：4.15．已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，點O為△ABC的外心，若，則有序實數對為________．【答案】【分析】首先根據向量數量積的定義及余弦定理求出，再根據外心的性質得到、，再根據向量數量積的運算律得到方程組，解得即可；【詳解】解：，∵O為的外心，∴，，由可得：，解得，所以為.故答案為：16．已知函數（，），，對恒有，且在區間（，）上有且只有一個使，則的最大值為________．【答案】【分析】根據，可得為函數的最值，再根據，求得，再根據函數在區間（，）上有且只有一個使，分析討論，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，，，則，，其中，，故k與同為奇數或同為偶數，在區間上有且只有一個最大值，且要求最大，則包含的周期應該最多，∴，得，即，∴，當時，，為奇數，，此時，當或時，都成立，舍去；當時，，為偶數，，此時，當或時，都成立，舍去；當時，，為奇數，，此時，當且僅當時，成立.綜上所述，的最大值為.四、解答題17．已知復數，i為虛數單位．（1）當z是純虛數時，求m的值；（2）當時，求．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）根據復數有分類求解；（2）由復數的除法法則計算．【詳解】（1）由題意，解得；（2）由題意．18．已知，，．(1)求的值；(2)求與的夾角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量數量積運算法則得到，進而求出模長；（2）結合第一問，利用向量夾角坐標公式進行求解.【詳解】(1)∵，，，∴，解得:..故；(2)設與的夾角，則，又∵，∴19．設函數．(1)設，求函數的最大值和最小值；(2)設函數為偶函數，求的值，并求函數的單調增區間．【答案】(1)，；(2)，【分析】(1)化簡f(x)解析式，利用正弦函數的圖像特性即可求其最大值和最小值；(2)根據正弦型函數為偶函數可知，，據此即可求出，再根據正弦函數單調性即可求g(x)的單調增區間.【詳解】(1)，∵，，∴，∴函數的最大值為，最小值為．(2)，∵該函數為偶函數，∴，得，又∵，∴k取0，，∴，令，解得，從而得到其增區間為．20．如圖所示，遙感衛星發現海面上有三個小島，小島B位于小島A北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發到小島C，求游船航行的方向.【答案】(1)海里(2)游船應該沿北偏東的方向航行.【分析】(1)三邊一角，由余弦定理可以求小島A到小島C的距離；(2)兩邊兩角，由正弦定理可以求角.【詳解】(1)解：(1)在中，，根據余弦定理得：..所以小島A到小島C的最短距離是海里.(2)解：(2)根據正弦定理得：解得在中，為銳角.由得游船應該沿北偏東的方向航行答:小島A到小島C的最短距離是海里;游船應該沿北偏東的方向航行.21．從①cos2A+cosA=0；②sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，③bsinA+cosB=，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答(注：若選擇多個條件，按第一個解答計分).在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若_______________.(1)求角A的大小；(2)若D是BC的中點，AD=1，求△ABC面積的最大值.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選條件①時，利用余弦的二倍角公式轉化原式為2cos2A+cosA－1=0，求解即可選條件②時，利用正弦定理轉化原式為，結合余弦定理即得解；選條件③時，利用正弦定理轉化原式為sinBsinA+sinAcosB=sinC，再利用sinC=sin(A+B)，求解即可（2）在△ACD和△BCD中分別使用余弦定理可得，，再結合cos∠ADC=－cos∠BDC，，利用均值不等式即得解【詳解】(1)選條件①時，cos2A+cosA=0；得2cos2A+cosA－1=0，解得cosA=或cosA=－1.∵0<A<，∴cosA=－1舍去，cosA=∴A=選條件②時，sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，根據正弦定理：得，由余弦定理得：

∵0<A<，A=

選條件③時，bsinA+cosB=，利用正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=sinC=sin(A+B)，

化簡得sinBsinA=cosAsinB.

∵0<B<π，∴sinB≠0，∴.tanA=，

∵0<A<，A=(2)在△ABC中，由余弦定理知，，

①在△ACD中，由余弦定理知，，在△BCD中，由余弦定理知，∵∠ADC+∠BDC=∴cos∠ADC=－cos∠BDC即化簡得，，②

由①②，得，∴，當且僅當b=c時，等號成立，

∴△ABC面積

∴△ABC面積的最大值為.22．已知向量，（其中），記，且滿足．(1)求函數的解析式；(2)若關于x的方程在上有三個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先用三角恒等變換化簡，由得到是函數的一個周期，利用最小正周期列出不等式，求出，結合題干中得到；（2）在第一問求解的解析式基礎上，求出在的值域，通過換元法得到二次函數根的分布問題，數形結合得到關