-2024學年南京師大附中高一數學下學期期中考試卷考試時間：120分鐘；滿分：150分2024.4一、單項選擇題1．在中，內角的對邊分別為，已知，，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．3．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合.若角的終邊繞著原點按順時針方向旋轉后經過點，則（

）A． B． C． D．34．若向量，滿足，，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．在中，為邊上一點，，，，則的值為（

）A． B． C． D．6．化簡所得的結果是（

）A． B． C． D．27．如圖，在中，點是邊上一點，點是邊的中點，與交于點，有下列四個說法：

甲：；乙：；丙：；丁：；若其中有且僅有一個說法是錯誤的，則該錯誤的說法為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．在中內角的對邊分別為，設的面積為，若，則下列命題中錯誤的是（

）A．若，且，則有兩解B．若，且為銳角三角形，則的取值范圍為C．若，且，則的外接圓半徑為D．若，則的最大值為二、多項選擇題9．在中，內角，，的對邊分別為，，，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定是等腰直角三角形D．若，，則一定是等邊三角形10．在中，內角，，的對邊分別為.下列條件能推出的是（

）A．B．C．，且D．，設向量，，在上的投影向量為11．在中，內角，，的對邊分別為，，，點，，分別是的重心，垂心，外心.若，則以下說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．在中，點是邊上（不包含端點）的動點，若實數，滿足，則的最小值為.13．如圖，為了測量河對岸，兩點之間的距離，在河岸這邊取點，，測得的長為12千米，在點處測得，，在點處測得，.則，兩點間的距離為千米.（設，，，四點在同一平面內）14．設，為實數，已知，，則的值為.四、解答題15．已知函數.(1)若，求的取值范圍；(2)設為實數，若，求的值.16．在以下三個條件中任選一個補充到下面的橫線上，并給出解答.（注：如果選擇多個條件份分別進行解答，則按第一個解答計分）①；②；③向量，，.在中，內角，，的對邊分別為，，，且___________.(1)求；(2)若，求周長的最大值.17．已知，為單位向量，設向量，.(1)若，求與的夾角；(2)若，設向量，的夾角為，求的最小值.18．在扇形中，圓心角，半徑，點在弧上（不包括端點），設.(1)求四邊形的面積關于的函數解析式；(2)求四邊形的面積的取值范圍；(3)托勒密所著《天文學》第一卷中載有弦表，并且講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圓的內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.先分別在線段，上取點，，使得為等邊三角形，求面積的最小值.19．在中，內角，，的對邊分別為，，，，的面積為.(1)求；(2)若點在內部，滿足，求的值；(3)若所在平面內的點滿足，求的值.1．D【分析】直接利用余弦定理解三角形即可.【詳解】，所以.故選：D.2．C【分析】根據向量坐標進行數量積、共線、垂直和模長計算即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.3．A【分析】設旋轉后的角為，則，再根據三角函數的定義求出，再根據兩角和的正切公式即可得解.【詳解】設旋轉后的角為，則，，所以.故選：A.4．D【分析】根據向量等式關系化簡，求得的值，再求出在上的投影向量即可.【詳解】因為，，，所以，化簡得，所以在上的投影向量是.故選：D.5．C【分析】由正弦定理求得，繼而求出，再根據三角形外角定理，結合兩角和的正弦公式，求得答案.【詳解】如圖示：在中，由正弦定理得：,故,而,故只能是銳角，故，所以，故選：C6．B【分析】先切化弦并整理得，再結合展開整理即可得答案.【詳解】解：.故選：B【點睛】本題考查利用三角恒等變換求函數值，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于先根據切化弦的方法整理得，再根據化簡整理即可求解.7．A【分析】結合三角形重心性質及向量線性運算進行合情推理即可判斷.【詳解】若，則點是的重心，則有，所以甲乙中必有一個是錯誤的，所以丙丁正確，由丁：知，點不是邊的中點，所以甲說法錯誤.故選：A8．D【分析】首先證明題干中的條件等價于，然后逐個選項判斷：對于A，直接解出兩種可能的情況即可判斷A選項正確；對于B，用正弦定理證明，然后求的范圍即可判斷B選項正確；對于C，求出的三邊，然后說明是直角，從而得到，即可判斷C選項正確；對于D，直接給出使得的一個滿足條件的例子，即可說明D選項錯誤.【詳解】若，由，可知，即，從而.若，則.從而條件等價于.對于A，若，且，由余弦定理得，即，解得或.由于當三角形的三邊確定后，三角形唯一確定，故只有兩種可能.經驗證，的以下兩種情況都是可能的：①，，，，，；②，，，，，.故有兩種可能，選項A正確；對于B，若，且為銳角三角形，由于，而為銳角三角形即，，解得，從而的范圍是，故的范圍是，選項B正確；對于C，若，且，則，且，故，從而.而，故，從而，.這意味著，，，所以，從而，故，選項C正確；對于D，若，由于，，故存在使得，，的，此時，，滿足條件.在此情況下，有，故，從而，從而此時，這表明不可能以為最大值，選項D錯誤.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于靈活運用正弦定理和余弦定理，對條件進行適當轉化，以研究需要研究的參數.9．ABD【分析】A選項根據大邊對大角結合正弦定理分析，B選項利用正弦函數的單調性可判斷，C選項利用余弦定理統一成邊化簡后可判斷，D選項利用余弦定理進行判斷.【詳解】A選項，根據大角對大邊，，根據正弦定理可得，其中為三角形外接圓半徑，于是，正確；B選項，若為銳角三角形，則，所以，則，正確；C選項，因為，即，整理可得，所以或，故為等腰三角形或直角三角形，錯誤；D選項，由于，，由余弦定理可得，可得，解得，所以，故是等邊三角形，正確.故選：ABD10．BC【分析】利用余弦定理化角為邊，再根據余弦定理即可判斷A；利用正弦定理化邊為角，再結合二倍角的正弦公式即可判斷B；根據已知結合數量積的運算律及向量的夾角公式即可判斷C；根據投影向量的定義結合數量積的運算律即可判斷D.【詳解】對于A，因為，由余弦定理得，化簡得，所以，又，所以，故A不能推出；對于B，因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，故B能推出；對于C，由，得，兩邊平方得，即，所以，所以，又，所以，故C能推出；對于D，因為在上的投影向量為，所以，，，即，化簡得，此式恒成立，與角無關，故D不能推出.故選：BC.11．ABC【分析】設由，可求，進而可求得，，進而由正弦定理可判斷A；不妨取，由三角形外心的性質可得可判斷C；設外心O到邊BC的距離為，由歐拉線定理可得HA=2，進而可得，進而可求，判斷B；由題意可得設BC邊上的中線長為，由平行四邊形的性質可得，可求得，可判斷D.【詳解】設由解得即可求得所以，故A正確；不妨取，由外心性質可知，C中面積比等價于故C正確；設外心O到邊BC的距離為，由三角形中的歐拉線定理知三角形的外心、垂心和重心在一條直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離之半(根據重心為中線的三等分點可證),又O在BC邊的垂直平分線上，進而可得HA=2，所以，所以，所以，結合C選項，可得，故B正確；設BC邊上的中線長為，設AC邊上的中線長為，設AB邊上的中線長為，由重心的性質可得，設三角形ABC中，D為BC邊上的中點，A，B，C所對邊為，延長BC邊上的中線至M，使DM=AD，連接MC，MB，可得四邊形ABMC是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得，所以可得BC邊上的中線長為，結合中線長公式可得，所以，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】方法點晴：三角形四心的應用，歐拉線定理是解決本題的關鍵，考查轉化思想與運算求解能力，綜合性強，大量的知識是對課本知識的引申拓展，難度較大。12．##【分析】根據三點共線可得，進而通過向量運算得到，與已知聯系，可得；而，進而利用均值不等式求得最小值.【詳解】因為點是邊上（不包含端點），所以,即,即,所以,又已知，所以，，所以，又由得，；，當，時取等號.故答案為：.13．【分析】在中求得的值，中利用正弦定理求得的值，中利用由余弦定理求得的值.【詳解】在中，，所以；在中，，由正弦定理得，，即，所以，在中，由余弦定理，所以，即、兩點間的距離為.故答案為：14．##【分析】將兩式平方相加并利用平方關系和兩角和的正弦化簡得，再將兩式平方相減結合化簡得，即可得解.【詳解】由，，得，，相加得，即，所以，相減得，又，，所以，所以，所以，解得.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）先根據三角恒等變換化簡函數，再根據自變量取值范圍，整體換元后利用正弦函數的性質求值域；（2）由可得，根據誘導公式及二倍角余弦公式計算即可.【詳解】（1），因為，所以，所以，即，故的取值范圍為；（2）由可得，所以，所以.16．(1)(2)【分析】（1）選①：用正弦定理化簡求解即可；選②：用兩角和差正弦公式化簡求解；選③：用向量垂直的坐標表示和余弦定理求解即可；（2）先利用余弦定理求得，然后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】（1）若選①：，由正弦定理得，又，所以，又，所以，即，又，所以；若選②：因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以；若選③：因為向量，，，所以，化簡得，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，即周長的最大值為.17．(1)(2)【分析】（1）由數量積的運算律結合數量積的夾角公式即可求解；（2）由向量模長和數量積的運算律得，然后換元法利用函數性質求解最值即可；【詳解】（1）因為，為單位向量，所以，因為，所以，又，所以，，所以，設與的夾角為，則，因為，所以.（2）因為，所以，即，又，所以，所以，令，則，，因為，所以，所以，即的最小值為.18．(1)，(2)(3)【分析】（1）利用三角形面積公式及兩角和差的正弦公式化簡即可；（2）由（1）知：，，利用正弦函數的性質求解；（3）由托勒密定理知：，在中，由余弦定理利用基本不等式求得，利用正三角形面積公式求解即可.【詳解】（1），；（2）因為，所以，所以，所以，即四邊形的面積的取值范圍為.（3）因為，由托勒密定理知：，化簡得，在中，由余弦定理得：，當且僅當時取到最小值，所以，當且僅當時取等號.19．(1)或；(2)(3)【分析】（1）利用兩角和差余弦公式和弦切互化求解即可；（2）先利用面積得，設，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，從而化簡求值即可；（3）按照點與點在直線的異側和同側討論，利用正弦定理求得，化簡，再將角代入式子求解即可.【詳解】（1）因為，，所以由得，因為有意義，所以，所以，因為，所以或；（2）因為點在內部，所以