第2章受壓構件的穩定

2.1軸心受壓構件的穩定

軸心壓桿就其自身的截面形狀和尺寸而言，有較長細的桿，也有較中短的桿,

這可用長細比4=/。”來表達。對于長細比大的長細壓桿，可以認為是在彈性范圍

內失穩；對于長細比小的中短桿件，則可能是在彈塑性范圍內失穩。因此，應該

分別按彈性范圍和彈塑性范圍來分析理想軸心壓桿的臨界荷載。

2.1.1理想軸心壓桿的彈性穩定

用理想軸心壓桿的歐拉荷載4除以桿件的截面積A,可得軸心壓桿歐拉臨界

應力%,=絲=3X=坐，式中i為回轉半徑，i由此可計算出應力值

22

A(Z0/z)2VA

為材料比例極限5時的長細比左，并以此作為長細桿和中短桿的分界；壓桿的長

細比大于乙時稱為長細桿或大柔度桿，長細比小于4時稱為中短桿或小柔度桿。

對于理想軸心壓桿來說，長細桿是在彈性范圍內工作的，所以壓桿的穩定分

析為彈性穩定問題。通過彈性壓桿的靜力平衡條件,可以建立理想軸心壓桿的平衡

微分方程式，解平衡微分方程則可求得軸心壓桿的臨界荷載。下面來看幾個邊界

條件不同的理想軸心壓桿的彈性穩定分析。

1)一端固定一端錢接的壓桿I、

(1)用靜力法求解|p

如圖2—1所示一端固定一端較接的等截面軸心受1g__Q

壓彈性直桿，設其已處于新的曲線平衡形式，則取任'V

意截面的彎矩為

M^-Py+QQ-x)'T?

式中Q為上端支座反力。由/=-七獷'，壓桿撓曲線x7

的平衡微分方程為：/力-y

EIy"^-Py+Q(l-x)圖2一1一端固定一端較接壓桿

即/+—y=-^-(/-x)(2.1)

EIEI

令42=￡,則有

EI

y"+心y=k2-x)(2.2)

此微分方程的通解為

y-Acoskx+Bsinkx+—(l-x)(2.3)

式中A、B為積分常數，Q/P也是未知的。已知邊界條件為

當x=o時，＞=0和y=o；

當％=/日寸，y=0和y"=0.

將邊界條件代入式(2.3),可得關于A、B、Q/P的齊次方程組

A+?=0

P

Bk-Q=O(2.4)

P

AcosZ/+3sinZ/=0

對于新的彎曲平衡形式應要求A、B、Q/P不全為零，于是齊次方程組(2.4)

的系數行列式應為零，即

10I

0k-1=0

cosklsink/0

展開并整理得穩定方程為

tgkl=kl(2.5)

此穩定方程為超越方程，可用試算法并結合圖解法求解，得4=4.493,故

如果以兩端較接軸心壓桿為標準的計算長度，則

4.493?￡7//449327t2ElTV2EI

22222

I%2/4.493-(0.699)/?(0.7/)

(2)用能量法求解

23

設壓桿的撓曲線函數為y=tz,x(/-x)+a2x(/-x)

求得結構的勢能為

?241223

n=-EZ(4ZV+8/%出+一戶婚)——P(—l5af+—lbaa+—Z7^)(2.6)

2521510x235

由式(1.18)可知，—=0和-=0o將式(2.6)代入并經整理可得

拉Z]da2

21

23

(4EI-—lP)a]+(4ZEZ--/P)a2=0

(2.7)

(4￡/__L/2p)^+(^/E/_A/3p)fl2=0

由于4、出不全為零，故方程（2.7）的系數行列式應為零，即

21

4E/——l-P41EI——13P

1510_n

1243-

4E/一一l-P-IEI-—PP

10535

展開并整理得

尸―128.P+224(X*)2=o(2.8)

20.92E/

解此方程取最小根，可得臨界荷載為:匕=2

與精確解Pcr=2°」*相比較，大3.6%。

2）兩端固定的壓桿

如圖2—2所示兩端固定等截面軸心受壓彈性直

桿，設其已處于新的曲線平衡形式，壓桿撓曲線的平

衡微分方程為

EIy"+Py=M()(2.9)

式中為失穩變形后壓桿固定端處產生的彎矩，是

未知數。

22

令左2=f,則y"+ky=k^-(2.10)

-P

方程式(2.10)的通解為：y=AsinZ:x+Bcoskx+-^-

x=0,y=y'=0

根據邊界條件

x=/,y=y'=0

可得B+”

A%=0

M

AsinZ/+Bcoskl+―-=0

P

同樣應要求A、B、不全為零，于是上面齊次方程組的系數行列式應為零,

即

011

k00=0

sinklcoskl1

可得穩定方程cos%/=1(2.11)

解此超越方程可得k=2兀/I

則臨界荷載p”型L

位移函數為y=%(i_cos2竺)

EII

換算為標準計算長度，臨界荷載為匕,=互巴

(0.5/)2

3)一端固定一端自由的壓桿

如圖2—3所示一端固定一端自由等截面軸心受壓

彈性直桿，設其已處于新的曲線平衡形式，壓桿撓曲

線的平衡微分方程為圖2—3一端固定一端自由壓桿

Ely"+Py=P§(2.12)

式中日為失穩變形后壓桿自由端處產生的位移，是未知數。

P

令％2=工，則y"+k2y=k23(2.13)

EI

方程式(2.13)的通解為

y=Asinkx+3cosZx+S

根據邊界條件x=0yV—:M=0

x=l,y=o

可得B+5=O,6=—3

Ak^O,A=O

AsinA7+6cosA7+3=3,Bcoskl=0,B0

則穩定方程為cos%/=0(2.14)

解此超越方程可得kl=兀/2

則臨界荷載

位移函數為y=6(1-cos多

換算為標準計算長度，臨界荷載為p/2EI

“(2/)2

由上面的討論可知，在理想軸心壓桿的彈性穩定問題中，盡管邊界條件不同,

但臨界荷載均可表達為

兀2El7T2EI

(2.15)

F0(⑷2

式中稱為軸心壓桿的計算長度。/為壓桿的構造長度；〃為壓桿的長度系

數，與壓桿的邊界條件有關。各種端支承條件下，彈性軸心受壓桿件的長度系數〃

見表2—1。

計算長度/o的幾何意義是：軸心壓桿失穩后，撓度曲線上的兩個相鄰反彎點之

間的距離。其物理意義為：各種端支承下的軸心壓桿，其臨界荷載與一兩端錢接

支承的軸心壓桿的臨界荷載相等時，兩端較接軸心壓桿的長度。

如前所述，在臨界狀態下彈性軸心壓桿橫截面上的應力稱為臨界應力，用。”

表示，即(2.16)

式中：A—長細比，2=/0/z；i—回轉半徑，z=V777o

理想軸心壓桿的臨界荷載P/稱為歐拉荷載，其應力也稱為歐拉應力b"歐拉

應力的計算公式（2.16）,只有在桿件的材料為線彈性時才適用。設材料的比例極

限為巴,，則式（2.16）的適用范圍是

當軸心壓桿的長細比九24時，稱為長細桿，只有長細壓桿才能應用歐拉公式。

如軸心壓桿采用Q235鋼，則其E和%,的平均值可分別取為E=2.06XlO'MPa和巴,

=200MPa,此時4=100o

4）任意端支承條件下的穩定微分方程

從以上討論可知，軸心受壓桿件的臨界荷載與壓桿兩端的支承條件有關。對

于任意邊界條件，也可采用下列方法建立穩定微分方程。

如圖2—5所示兩端較接軸心壓桿，桿件的位移有：截面形心的縱向和水平方

向的線位移，及截面的角位移。假設只考慮水平位移y和截面轉角0；微段的變

形中只考慮彎曲變形，則

(2.23)

dxdx

Q+dQ

取微段/如圖2—5b),由于在失穩時荷載P的方向保持不變，因此微段〃，的

截面上剪力和軸力的合力應等于P,并沿豎直方向作用。

截面上的軸力N=PcoseXP,N+dN=Pcos(6+d6)aP,故可知軸力的增

量初=0；對于剪力來說，Q=Psine*Pe,Q+dQ^Psin(0+dd)?P{0+d0),

考慮幾何關系式(2.23),于是有

dQ=PdO=Pd^~y(2.24)

dx-

因為。=也，1。=婦3(2.25)

dxdx~

故可得雪=P”(2.26)

dx~dx

考慮到物理關系知=-￡勿"，代入式(2.26),得到軸心壓桿任意端支承條件

下的穩定微分方程

《(E/R+P雪=0(2.27)

dx2dx2dx2

p

當軸心壓桿為等截面時，其抗彎剛度EI為常數，可提到括號外，令心=二,

E1

方程(2.27)可寫成夕+左2雪=o(2.28)

dxdx

方程(2.28)是一個常系數四階線性齊次微分方程，方程的通解是

y=GsinZx+C2coskx+C3x+C4(2.29)

式中的積分常數可由兩端支承的邊界條件確定。

常用的桿端支承邊界條件有：

(1)簡支端時，丁=0和〈=0；

(2)固定端時，＞=0和；/=0；

(3)自由端時，y"=0和y”+/y，=o；

根據軸心壓桿的上下端支承情況，可得四個邊界條件，將其代入式(2.29)

可建立四個線性齊次方程，并組成一個方程組，用矩陣表示為

“120'

%3。14

0

。23424>或[A]{C}={0}(2.30)

a0

32。33。34

為2〃43“440

式(2.30)中的系數矩陣［A］是一個四階方陣，其元素均隨邊界條件而定。為

了得到式(2.30)中積分常數G的非零解，就要求系數矩陣［不相應的行列式等于

零，即

網=0(2.31)

方程(2.31)是一個以k為唯一未知量的特征方程或穩定方程，解此超越方

程從而可得心值。在無限個分根中取最小根，利用式k2=P/EI即可求的軸心壓

桿的臨界荷載巴,。把片的最小根代入式(2.29)中，可以得到軸心壓桿的彈性撓

曲線方程，式中的積分常數G則由線性齊次方程式(2.30)解出。

由此可知，求解理想軸心壓桿的臨界荷載，在數學上是一個求解特征值的問

題，滿足網=0的k值稱為特征值；與k值相應的撓曲線函數y(x)稱作特征向量或

特征函數。需注意的是：軸心壓桿的彈性撓曲線方程只能給出撓曲線的形狀，而

不能決定其變形的幅度。

具體解題時，可以從確定邊界條件開始，利用式(2.29)和式(2.31)求解,

無需每次都要先建立微分方程，然后求解。下面利用任意端支承條件軸心壓桿穩

定微分方程，求解一端固定一端較接軸心壓桿的臨界荷載。

如圖2—1中所示，一端固定一端錢接軸心壓桿兩端的邊界條件分別為

當％=0時，y=0和y'=0；

當工=/時，y=0和y"=0°

將邊界條件代入式(2.29)可得

C2+C4=0

kCx+C3=0

C)sink/+C2cosk/+/。3+C4=0

Gsink/+C2cosA/=0

利用第i、2式消去第三式中的c：，、a可得

(sinkl-kl)C]+(cos/r/-l)C2=0

和sinkg+cosHQ=0

因為c、c2,c3>a有非零解，由上列兩式的系數行列式等于零，可得穩定方程

tgkl=kl

解此方程，求得kl的最小值kl=4.493

由此求得軸心壓桿的臨界荷載

20.19E/兀°EI

PC.=HE1=

-(0.7/)2

2.1.2理想軸心壓桿的非彈性失穩

1)非彈性失穩問題

由于假定軸心受壓桿件的材料服從虎克定律，因此，要求壓桿的臨界應力低

于材料的比例極限o從歐拉應力公式名,.=病￡/匯可知，它僅適用于巴，〈巴，的

長細壓桿，因為在長細壓桿材料的彈性模量E是常量。而臨界應力在比例極限％與

屈服極限％之間的中短壓桿，它們的彈性模量應該是E,,且不是常量，此時必須

考慮材料的非彈性性能。

對于短柱，即X特別小的軸心壓桿，其與臨界應力相對應的值必然是屈服極限

%。而中短軸心壓桿的臨界應力處在比例極限生，到屈服極限明的范圍內，所以中

短壓桿的穩定分析屬非彈性穩定問題。

2）切線模量理論

假設理想軸心壓桿失穩時為小變形，

仍用y"代表曲率，且壓桿橫截面變形后仍

為平面。隨著軸向荷載的增加，如圖2—6

所示，當壓桿中應力達到冬以后，應力一

應變曲線將不是直線，其斜率為變量，記

作歐=3。E,稱為切線模量，其值隨著

ds

應力的變化而變化，已經不再是常量。圖2—6切線模量理論

切線模量理論就是假定當軸心壓桿的臨界應力q,超過了巴，時，其彈性模量E

應以相應于該的切線模量E,來代替。于是，壓桿截面上的內力矩應用-耳代

替-E",從而導出非彈性狀態的臨界荷載，如在兩端較接的軸心壓桿中

(2.32)

由于式（2.32）中E,是一個變量，具體應用時應把式（8.32）寫成

P-EJ

(2.33)

A22

并據此畫出曲線。必須注意，繪制。”）,-/1曲線時，由于要利用材料的

應力一應變曲線來確定日,因此，所得曲線只能適用于某一種特定的材料。

在軸心壓桿中直接應用切線模量公式是困難的，因此，常用熟知的拋物線公

式來模擬說明切線模量理論。設拋物線有下列形狀

acr=a-b^（2.34）

式（2.34）中。和b是常數，由軸心壓桿的實際條件確定。顯然當；1=0時，％,=q；

時，于是可以確定常數。和b。考慮到。=兀管2E，則式（2.34）為

這就是軸心壓桿非彈性失穩的拋物線公式，只要知道材料的E、％和q即可得到

非彈性階段的柱子曲線。

3）雙模量理論（折算模量理論）

雙模量理論認為當軸心受壓桿件彎

曲失穩時，壓桿外凸一側纖維的應力是

降低的，相當于卸載，故彈性模量應取

E,如圖27所示；而在壓桿內凹一側纖

維的應力是增加的，此時彈性模量應是

Evo由于E和E,是不相等的，所以壓桿

截面的中性軸將不與形心軸相重合，這

與軸心壓桿彈性失穩和切線模量理論的

結論不同。圖2—7雙模量理論

折算模量的表達式如下

人

E_EI\+E(2.36)

式中：I一為整個壓桿截面對形心軸的慣性矩；L和L分別為壓桿中性軸以右和以

左的截面對中性軸的慣性矩。

在折算模量E,中包含了E和E”這樣臨界荷載為

2

7TErl

P,2

臨界應力為

（4）=竽

這個理論就稱為雙模量理論。E,.的大小不僅與壓桿材料的應力一應變曲線有

關，還與壓桿的截面形狀有關。

對于矩形截面折算模量為E一4附

’（在+厄丫

對于理想工字形截面折算模量為

由于E>E,>E,,故區>匕>夕。雙模量理論曾一度被認為更為完善，但實

驗證明切線模量理論所得臨界荷載P,更接近實驗結果；“香雷理論”也證明了后者

的可靠性。

2.2初始缺陷對臨界荷載的影響

工程實際中的壓桿，總存在著初彎曲、初偏心或殘余應力等初始缺陷，因而

理想軸心受壓桿件在工程實際中是不存在的。

2.2.1初彎曲的影響

如圖2—8所示，兩端較接壓桿的形心軸在加載之前就已經彎曲，假設其初

彎曲的形狀為

X)"s.i.nh71X

若加教后附加撓度為y,則荷載產生的彎曲應

變應由曲率y"變化引起，而不是由總曲率+

引起。由靜力平衡條件，x截面處的內力矩等于外

力矩，得

-EIy"=P(y+yo)

由%=/oSin9和抬=5，則

IEI

22

y"+ky^-kf^m—(2.37)

方程(2.37)的齊次通解為

yc=Asinkx+Bco&kx(2.38)圖2—8初彎曲軸壓桿

特解為=Csin—+￡)cos—(2.39)

將式(2.39)代入式(2.37),合并同類項，可得

-2~|r2~|

222

C(k-^-)+kf0siny+D(kcos亍=0

對于一切x值，僅當正弦項和余弦項前的系數都為零時，上式才能滿足。因此

D=0或左2=72〃2

和C=fo=fo=_f^_=

(-)2-l土—1--11-7

kipn

式中〃=P/七,PE為歐拉荷載。如果取左2=萬2〃2,則y的解將局限為

P“=dEll,不是所要研究的，因此必須D=0,由此可得

4.1jnfo?

y=y+y=AsinZx+Bncoskx-\-——sin—(2.40)

1-7I

A和B由邊界條件確定。

當x=0時，y=0,可得B=0；

當》=/時，y=O,可得AsinZ/=O,應取A=0o

〃上.我

則y=W/oSin7(2.41)

壓桿總的撓度為

“71、c.71X1.71X

…=(1+虧)"7=虧r舊7

從而壓桿中點（x=//2處）的總撓度為

八匕/。=4(2.42)

1一尸/外

上式表明了荷載P與位移S之間的關系。圖2—9是表示這種關系的P—b曲線,

從圖2—9中可以看到初彎曲降低了軸心壓桿的承

載力。

初彎曲軸壓桿的特性是：一旦施加荷載，壓桿

即產生彎曲，在P—5曲線圖中，曲線的起始點不

在原點。初彎曲越大，壓桿中點的撓度S也越大,

承載能力的降低也越顯著。由于材料不是無限彈性

的，圖中曲線只在3<//10時才有效，而且有初彎

曲的軸壓桿的承載力總是小于歐拉應力R。圖2—9初彎曲P—S曲線

2.2.2初偏心的影響

現在討論具有初始偏心的兩端錢接壓桿，如圖2—10所示，在壓桿任意截面

處，使抵抗力矩-E/y"和相應的外力矩Py相等，可得

-Ely"=Py

令火之則y"+k2y=O(2.43)

EI

其通解為y=AsinBcosloc(2.44)

由壓桿邊界條件：》=干//2時，y=e0

可得A=0,B=0

cos/://2

故y------coskx=esec—coskx

-cosH/2n°2

在壓桿中點x=0處

kl產廠、

Wax=e°secy=%sec(^l—)

由上式可得壓桿中點的最大撓度為

…卜嗎6T(2.45)

圖2—10初偏心軸壓桿

上式表明了荷載P與位移5之間的關系。

圖2—11是表示這種關系的P—3曲線，從圖

2-11中可以看到初偏心降低了軸心壓桿的

承載力。這與初彎曲情況相近，圖中曲線②的

初偏心00大于曲線①的初偏心0

圖2—11初偏心P—6曲線

2.2.3殘余應力的影響

鋼質桿件在制造和加工過程中，由于局部的塑性變形、不均勻冷卻和冷加工

等的影響，在未受到荷載作用之前，桿件截面上已殘留有自相平衡的應力，這種

應力稱為殘余應力。r。殘余應力可以通過實際測量獲得，熱軋型鋼中殘余應力的

分布主要取決于截面的幾何形狀和各部分尺寸的比例。圖2—12示出了工字形截

面翼緣的殘余應力。

殘余應力的存在對壓桿的臨界荷載有影響，當壓桿失穩時的平均應力

P/A=cr小于有效比例極限與，時，壓桿為彈性狀態，其臨界應力與無殘余應力時

的相同。而當平均應力。大于有效比例極限與，時，壓桿截面將出現塑性區，此時

壓桿能抵抗彎曲變形的只是桿件截面彈性區的材料。以圖2-12中工字形截面壓

圖2—12工字形截面翼緣的殘余應力

桿為例，由于翼緣出現了塑性區，截面的有效慣性矩將只是截面彈性區的慣性矩

Ie,此時壓桿的臨界荷載為

(2.46)

臨界應力為(2.47)

式中：4//一為壓桿臨界荷載的折減系數，

下面討論工字形截面軸壓桿件殘余應力對壓桿臨界荷載的影響，首先計算折

減系數。當壓桿失穩時，假設壓桿

Ie_2"比2/2_2_

繞強軸(X軸)彎曲時7-2hth2/2~~\~T(2.48)

繞弱軸(y軸)彎曲時42^71243

==3=r(2.49)

/2b3t"2A

式中：A一為壓桿截面積；A,一為壓桿彈性部分的截面積。于是壓桿的臨界應力為

繞強軸彎曲時

前=空「3

繞弱軸彎曲時

由于z<l,上面計算表明當軸壓桿件發生繞弱軸彎曲失穩時，殘余應力對壓

桿臨界應力的影響更大。工是名,.的函數，T與b”之間的關系為

區(1—'

(2.50)

5

將式(8.50)代入式(8.48)和式(8.49),則

2

繞強軸彎曲時-詈)(2.51a)

3

2

繞弱軸彎曲時專子)(2.51b)

根據式(2.51)即可用試算法確定計入殘余應力影響時軸壓桿的臨界應力。

通過上面的分析可知，殘余應力將降低壓桿的剛度，其原因是由于殘余應力

的存在，壓桿的部分翼緣提前屈服，使壓桿截面只有彈性部分能夠繼續承載。殘

余應力也將降低承載力，壓桿的承載力降低多少取決于/?//比值的大小。殘余應

力的影響與桿件的截面形狀、彈塑性區各部尺寸的比值、殘余應力模式及峰值、

失穩的方向等有關，長細比較小的鋼質壓桿應該考慮殘余應力的影響。

2.3軸心壓桿的扭轉失穩

上面所討論的都是軸心壓桿的彎曲失穩問題，即當軸心壓桿失穩后只出現彎

曲變形。一般對于雙軸對稱界面的軸心壓桿，失穩時可能繞截面的兩個對稱軸發

生彎曲屈曲，但是有些抗扭剛度和抗翹曲剛度較弱的軸心壓桿，除了有可能發生

繞對稱軸x或y的彎曲失穩外，還有可能發生繞截面縱軸z轉動的扭轉失穩。

對于單軸對稱截面的軸心壓桿，除了可能發生繞截面的非對稱軸x發生彎曲

失穩外，還可能在繞截面的對稱軸y彎曲的同時，又繞通過截面剪心s的縱軸扭

轉而發生彎扭失穩。對于截面不具有對稱軸的軸心壓桿，因為截面的形心和剪心

不重合，則只可能發生彎扭失穩。因此，在分析軸心壓桿的穩定問題時，除了要

研究其彎曲失穩之外，還必須考慮壓桿有無發生扭轉失穩和彎扭失穩的可能性。

2.3.1截面的剪力中心

截面的形心c與剪心s是桿件截面上

的兩個點。剪心即剪力中心，它是內力剪三卷3

I

力在截面上通過的點，即主扇性極點。一-1二

剪心的位置與截面的對稱軸有關，截

面有對稱軸時，剪切內力通過對稱軸，因

此截面的剪心必然在對稱軸上。雙軸對稱圖2-12

截面的桿件，剪心在兩對稱軸的交點上，并與形心重合。單軸對稱截面的桿件,

剪心在對稱軸上，但具體的坐標需另外求得。對于有幾個狹長的矩形截面組成，

而且其中心線交于一點的截面，如角形、T形和十字形截面，其剪力中心必通過此

交點。軸心壓桿截面剪心的位置如圖2—12所示。

根據剪力流理論，桿件截面的剪應力公式為

(2.47)

式中：Q一截面剪力；L—截面對彎曲主軸

的慣性矩;出-所求剪力處的截面凈矩;

(a)(b)

t-所求剪力處的構件壁厚，在翼緣中用t,在腹板中用t,。

現在以槽形截面為例，如圖2—13所示，計算確定剪力中心S在x軸上的位

置。首先從自由邊計算，任一距自由邊距離r的截面處的剪應力為

7=a=2.2圖2—13

IxtIx2

r*,Qht,Qth2h

P=rtdr---------rdr=------------

JoIx2J。4/v

⑵48）

再計算腹板中的剪應力，可得腹板中剪應力的合力就是Q。由截面上力矩平衡

可得

Ph=Qax

將截面對x軸的慣性矩=2+24!代入式（2.48）,并由/=P〃/Q可得

3必2

%

twh+6th

因此可知，槽形截面的剪力中心S在腹板外側距腹板中心線處處。

剪力中心具有以下性質：

（1）如果壓桿彎曲時的外力剪力不通過截面的剪心，則壓桿在彎曲的同時還

伴隨著產生扭轉；

（2）截面的扭轉是繞剪心S發生而不是繞形心C發生。

2.3.2自由扭轉與約束扭轉

1）自由扭轉構件變形時截面翹曲可以自由產生，而又不受任何約束的扭

轉稱為自由扭轉。自由扭轉不產生正應力，只產生剪應變和剪應力。

利用彈性力學中已導出的自由扭矩加人與扭率，之間的關系式，可知

MLGIk孚=GIk（P'

az

(2.49)

式中：G—材料的剪切彈性模量；(p—截面的扭轉角；人一抗扭慣性矩。

在式(2.49)中的G/,稱為截面的自由扭轉剛度。對于高度為b,厚度為t的

狹長矩形截面的抗扭慣性矩，可近似地取為

I=—bt3

k*3

對于有幾個狹長矩形截面板件組成的開口薄壁構件截面，如角形、T形、槽形

和工字形等截面，構件總的抗扭剛度可近似地取各板件抗扭剛度之和，即

4=范33

i=]J/=1

式中：。，和，，分別表示第i塊板件的高度和厚度，而n表示組成截面的板件的序號。

自由扭轉使構件截面只產生剪應力，它在截面的厚度范圍內形成封閉的剪力

流。此剪力流的方向與壁厚的中心線平行，而且大小相等，方向相反，成對地形

成扭矩。剪應力在壁厚中心線處為零，在壁厚的外表面最大，沿壁厚按線性變化,

板件的最大剪應力為Tk=Mkt/k

2)約束扭轉

非圓截面構件扭轉時，由于截面受

到約束而不能自由翹曲時稱為約束扭

轉。槽形和工字形等開口薄壁截面桿

件，作為壓桿僅受縱向荷載作用時，失

穩時可能出現扭轉變形，由于約束扭轉

桿件中翹曲受到約束，從而產生翹曲扭

矩，翹曲正應力和剪應力。

現以工字形截面構件來說明約束圖2-14

扭轉的內力，如圖2-14所示，截面上的內力必須和外力相平衡，而構件上的外

力只有扭矩。把由約束扭轉產生的剪力。/所組成的扭矩稱為翹曲扭矩，

=Qfh,則內力扭矩為M:=Mk+M(0,即

m

M:=GIx(p'-EIm(p

(2.50)

式中：It~為截面的翹曲慣性矩，或扇性慣性矩。

式(2.50)就是約束扭轉平衡微分方程。解此方程可求得扭角夕及其對z的導

數('、"和",分別代入式(2.49)和式(2.50),即可求得內力矩丁人和”3,

進而可求出翹曲正應力名,和翹曲剪應力九。

3)截面扇形幾何特性

在扇性坐標系中有：扇性坐標G=

扇性靜距創公

扇性慣性積&=￡'coytds\1^,=￡'coxtds

扇性慣性距〃=不儲以s=\a)2dA

式中：CO—為截面上各點的扇性坐標；Si是截面中心線的總長，t是截面的厚度。

對于不同形狀的截面有不同的翹曲慣性矩，如

J=b3112t=、仔

工字形截面01244/(，

/_b3h2t2ht+3bt

槽形截面w

°-126bt+htw

而由兩個狹長矩形相交組成的角形、T形和十字形等截面，/°=0。

4)雙力矩紇

約束扭轉的構件，上下翼緣的彎矩大小相同，但方向相反，形成一種雙力

矩紇,，B“=一時，。雙力矩也可以視為以主扇性坐標。為力臂所組成的力矩，

B,=[cr.-cotdso

“Jo?

m

翹曲扭轉力矩與雙力矩Bl0有如下關系：M(a=dBm/dz=-EIa(po

2.3.3軸心壓桿的扭轉失穩

扭轉失穩是指軸心壓桿失穩后，壓桿的

軸線仍是直線，但是桿件發生了扭轉變形。

對于兩端簡支的軸心壓桿，桿件扭轉時全截

面形成的非均勻扭矩為

\p2dA(p'(2.51)

受力纖維因扭轉而傾斜時，諸分力繞截

面的剪心而形成的扭矩稱為華格納效應，

-fp2dA則稱為華格納效應系數。

AJA

對于雙軸對稱截面

=+/v圖2-15

而￥=&+/、,)“，是截面對剪心的極回轉半徑。式(2.51)可寫為

%=Pi押

(2.52)

由式(2.50)約束扭轉平衡微分方程“2=G/"'-?3。”可得

E/"+(*G/.)d=O

(2.53)

令％2=(Pi：—G4)/E/0,則式(2.53)可寫作

(p"'+k2(p'=O

(2.54)

式(2.54)的通解為

(P-Cxsinkz+C2coskz+C3

(2.55)

根據壓桿端部的邊界條件z=0沖=0"=0

可得+。3=0及Gsin%/=0；由紇,=—E//"(0)=0,可知C2=0,故Ca

=0。因為GWO,所以只有sink/=O,4/=4,2肛3肛一5不,其中最小值為4=萬。

222

由k=(Pi^-GIk)/El(0=7r/l,可得扭轉臨界荷載

(2.56)

對于軸心壓桿，當截面的形心與剪心重合時，如雙軸對稱的工字形截面，或

點對稱的Z字形截面，壓桿有可能發生彎曲失穩，也可能發生扭轉失穩。

從上面的討論可知，構件扭轉時產生的扭矩與截面的應力分布、截面的幾何

性質人和〃有關，這些取決于截面的形狀和尺寸。不同截面的人和〃的差別，將

反映出構件抗扭能力的差別。對于受壓構件，他們也將反映出扭轉失穩和彎扭失

穩性能的差別。構件抵抗扭轉的能力，可以用扭轉剛度參數K來衡量，將式(2.56)

寫成

pG。4兀E1”、GI卜4K2、

(2.57)

衛4,K值越大，說明構件抗翹曲扭轉的能力越高。

式中扭轉剛度參數K

G"

由式(2.56)可以看出，如果軸心受壓構件截面的翹曲慣性矩〃很小，如角

形、T形和十字形等截面的〃心0,則這些軸心受壓構件的乜與構件的長度無關。

由Z:2=(PzJ-GZJ/￡/,?=^2//2,式(2.56)還可以寫成

11一兀2EI316-

2=K(Z92E/°+G4)=K

"ozo

1一1戶I

寫成通式為p=尸4+GJ_2(/2'

(0*

10%

(2.58)

式中%=7likl,稱為扭轉計算長度系數；而為扭轉計算長度，取決于受

壓構件兩端的約束條件，且只影響構件的翹曲剛度而與抗扭剛度無關。

在軸心受壓構件中由于扭轉失穩決定構件臨界荷載的情況很少，通常在解出

扭轉臨界荷載P"后，還應把它與構件的彈性彎曲臨界荷載2或P,作比較，取其中

最小值作為構件的臨界荷載。

2.4軸心壓桿的彎扭失穩

彎扭失穩就是指軸心受壓桿件失穩時，桿件既有彎曲變形同時也有扭轉變

形。對于具有單軸對稱截面的軸心受壓構件，除可能發生繞非對稱軸的彎曲失穩

外，還可能發生繞對稱軸彎曲的同時繞縱軸扭轉的彎扭失穩。對于無對稱軸截面

的軸心壓桿則只可能發生彎扭失穩。

2.4.1單軸對稱軸心壓桿的彎扭失穩

首先建立普遍使用的單軸對稱截面軸心受壓構件在微小彎扭變形時的平衡方

程。如圖2—16所示單軸對稱工字形截面軸心受壓構件，截面繞對稱軸有彎曲變

形，繞縱軸有扭轉變形。由圖2—16可知平面內的彎矩平衡條件為

-EI/"=-EIyu"=P(u+a、(p),即

Eluy"+Pu+PyaTw=0

(2.59)

圖2-16

這時截面的非均勻扭矩應為此=&d+&”，式中幻=(/,+/v)/A+〃,

明為截面剪切中心坐標。則扭矩的平衡方程

EIm<p"'+(尸后—GI”+Pa”=0

(2.60)

對式(2.59)微分二次，對式(2.60)微分一次后可得

,v

Elvu+Pu"+PaY(p"^O

El"+(尸1；_GIk)(P〃+Pa"=O/

(2.61)

式(2.61)是耦聯的高階微分方程，適用于任意邊界條件的單軸對稱截面軸心受

壓構件。聯立求解式(2.61)方程組，可求解軸心壓桿的臨界荷載￡,。

下面以兩端簡支的單軸對稱截面軸心受壓桿件為例，求出臨界荷載的計算公

式。構件的邊界條件為M(O)="(/)=M〃(O)=〃"(/)=O,

o(o)=°(/)=。"(0)=(p"(i)=oo

滿足這些邊界條件的變形函數為〃=Gsin干，°=。25山等，當n=l時

可得到臨界荷載的最小值。將〃=Gsin等和夕=C2sin等代入式(2.61),并令

仁=器和2=4(64+華4,這樣可得

-&6+(2")居=。

(4-P)G-P%G=O

G和1由非零解的條件為其系數行列式為零，即構件的穩定方程為

—Pa,(2—P)4

二0n

PyP-PCly

或(A-p)(2—尸)一(％/，o)2尸=0

(2.62)

解式(2.62)可得兩個根，其中較小的為彎扭臨界荷載，即

/二"+1-，(4+—)2-4松盤.

乙K

(2.63)

式中:4=1一(%"。)2。

實際中繞非對稱軸的彎曲失穩與繞對稱軸的彎扭失穩都是可能的，軸心壓桿

發生彈性彎扭失穩的條件是［⑷應小于繞截面非對稱軸的彎曲臨界荷載

P,=/￡7,〃2