高級中學名校試卷PAGEPAGE2湖南省“一起考”大聯考2024屆高三下學期模擬考試數學試題（一）一、選擇題1.已知，若為純虛數，則（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗因為，且為純虛數，所以解得，故選：A．2.已知與的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故選：C．3.已知函數的圖象如圖所示，那么該函數可能為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，函數為奇函數，而選項中對應的函數是非奇非偶函數，于是排除選項；當，，排除C；當時，從圖象可知，，而對于選項，，，所以，與圖象不符，排除選項.故選：.4.夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年輕消費者的喜愛，已知該系列奶茶的容器可以看作是一個圓臺與一個圓柱拼接而成，其軸截面如圖所示，其中，，則該容器的容積為（）（不考慮材料厚度）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，圓臺的高，故該容器容積，故選：D.5.直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗直線分別與軸，軸交于，兩點，,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故〖答案〗選A.6.已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后可以得到的圖象，則的一個對稱中心為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，則，令，當時，，故是的一個對稱中心由，故A錯；由，故B錯由，故C錯；故選：D．7.如圖所示，面積為的扇形中，分別在軸上，點在弧上（點與點不重合），分別在點作扇形所在圓的切線，且與交于點，其中與軸交于點，則的最小值為（）A.4 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為扇形的面積為，即，所以，設，則在中，，連接，根據切線的性質知，則在中，，所以，令，則，且，所以原式，當且僅當，即時，等號成立，又，所以時，取得最小值，為，故選：B8.設，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設，設0，所以，所以函數在上單調遞增，所以，即.根據已知得，可設，則，所以函數在上單調遞增，所以，即.綜上，.故選：D.二、選擇題9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A和B，因為，所以，當且僅當時，等號成立，，則，當且僅當時，等號成立，故A錯誤，B正確；對于C，若，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故C錯誤；對于D，若，則，所以，由及，可知，則當，即時，取得最小值，故D正確．故選：BD．10.如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列結論正確的是（）A.直線與所成的角的大小為B.直線平面C.平面平面D.四面體外接球的體積與正方體的體積之比為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：連接，如圖，由正方體的結構特征知，，即為正三角形．又因為分別為的中點，則，因此直線與所成的角即為直線與所成的角，即或其補角，又，所以直線與所成的角的大小為，A正確；對于B：因為，所以平面平面，故直線平面，B正確；對于C：取的中點為，連接，顯然的中點為，則，假設平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，則，與矛盾，C錯誤；對于D：不妨設正方體的棱長為，則正方體的體積為，又因為四面體的三條側棱兩兩垂直，則它的外接球即為以為棱的長方體的外接球，于是球的直徑，體積為，于是，D正確，故選：ABD．11.玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（）A. B.C D.〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意，第一次取得黑球概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯誤；對B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對C，由，得，所以C正確；對D，由，得，所以D正確．故選：BCD．三、填空題12.已知全集，集合，則__________．〖答案〗〖解析〗由已知，又，所以．故〖答案〗為：13.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上一點，且，H是線段上靠近的三等分點，且，則C的離心率為___________.〖答案〗〖解析〗由題意，不妨設點P在第一象限，如圖.因為，則，，.因為，則，可知，則，即，整理得.由得，解得或（舍去），所以C的離心率為.故〖答案〗為：.14.已知數列為公差不為0的等差數列，，且成等比數列，設表示不超過的最大整數，如，記為數列的前項和，則__________．〖答案〗573〖解析〗由數列是等差數列，設其公差為，因為成等比數列，所以，即，解得或（舍去），所以，則．當時，，即，共有個，因為，所以，令，則，兩式相減得，則，所以，故〖答案〗為：573.四、解答題15.在中，內角的對邊分別為,且．（1）證明：是銳角三角形；（2）若，求的面積．（1）證明：因為，所以由正弦定理得，整理得．則，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以是銳角三角形．（2）解：因為，所以，所以．在中，由正弦定理得，即，所以，所以的面積為．16.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCE和四邊形CDEF是全等的直角梯形，且這兩個梯形所在的平面相互垂直，其中．（1）證明：平面BCD；（2）求平面BCD和平面ABF的夾角的余弦值．（1）證明：因為平面平面CDEF，平面平面，又，即，且平面ABCE，所以平面CDEF，又平面CDEF，故，又，即，且，平面BCD，所以平面BCD；（2）解：取EF的中點G，連接CG，如圖．由，得，故四邊形CDEG為平行四邊形，則，又，所以．由（1）知平面CDEF，所以，則直線CG，CD，CB兩兩垂直，以為原點所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，由勾股定理得，由全等關系知，故，從而，設平面ABF的法向量為，故，令，則，故．由（1）知平面BCD，故平面BCD的法向量為，設平面BCD和平面ABF的夾角為，故．17.已知函數，.（1）若的極大值為1，求實數a的值；（2）若，求證：.（1）解：的定義域為，.當時，，在上單調遞增，函數無極值；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取得極大值，極大值為，解得.經驗證符合題意，故實數a的值為.（2）證明：當時，，故要證，即證.令，則，.令，，則，所以在上單調遞增，又因為，，所以，使得，即，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.又因為，即，所以，所以，即，故得證.18.某市教育局為了調查學生熱愛數學是否與學生的年級有關，從全市隨機抽取了50位高二學生和位高三學生進行調查，每位學生對“是否熱愛數學”提出“熱愛”或“不熱愛”的觀點，得到如下數據：觀點高二高三熱愛3020不熱愛20（1）以該50名高二學生熱愛數學的頻率作為全市高二學生熱愛數學的概率，從全市的高二學生中隨機抽取3名學生，記為這3名學生中熱愛數學的學生人數，求的分布列和期望；（2）若根據小概率值的獨立性檢驗，認為熱愛數學與學生的年級有關，求實數的最小值．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由題意可知，高二學生熱愛數學概率為，熱愛數學的學生人數，則，，，，故的分布列為：0123的期望為．（2）因為根據小概率值的獨立性檢驗，認為熱愛數學與學生的年級有關，所以，令，則，所以，因為的對稱軸為，且當時，，所以在上恒大于0，所以在上單調遞增，而，所以實數的最小值為57．19.已知雙曲線E：（，）一個頂點為，直線l過點交雙曲線右支于M，N兩點，記，，的面積分別為S，，.當l與x軸垂直時，的值為.（1）求雙曲線E的標準方程；（2）若l交y軸于點P，，，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若，當時，求實數m的取值范圍.（1）解：由題意得，，則當l與x軸垂直時，不妨設，由，得，將代入方程，得，解得，所以雙曲線E的方程為．（2）證明：設，，，由與，得，即，，將代入E的方程得：，整理得：①，同理由可得②．由①②知，，是方程的兩個不等實根．由韋達定理知，所以為定值．（3）解：又，即，整理得：，又，不妨設，則，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由雙勾函數在上單調遞增，得，所以m的取值范圍為．湖南省“一起考”大聯考2024屆高三下學期模擬考試數學試題（一）一、選擇題1.已知，若為純虛數，則（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗因為，且為純虛數，所以解得，故選：A．2.已知與的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故選：C．3.已知函數的圖象如圖所示，那么該函數可能為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，函數為奇函數，而選項中對應的函數是非奇非偶函數，于是排除選項；當，，排除C；當時，從圖象可知，，而對于選項，，，所以，與圖象不符，排除選項.故選：.4.夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年輕消費者的喜愛，已知該系列奶茶的容器可以看作是一個圓臺與一個圓柱拼接而成，其軸截面如圖所示，其中，，則該容器的容積為（）（不考慮材料厚度）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，圓臺的高，故該容器容積，故選：D.5.直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗直線分別與軸，軸交于，兩點，,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故〖答案〗選A.6.已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后可以得到的圖象，則的一個對稱中心為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，則，令，當時，，故是的一個對稱中心由，故A錯；由，故B錯由，故C錯；故選：D．7.如圖所示，面積為的扇形中，分別在軸上，點在弧上（點與點不重合），分別在點作扇形所在圓的切線，且與交于點，其中與軸交于點，則的最小值為（）A.4 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為扇形的面積為，即，所以，設，則在中，，連接，根據切線的性質知，則在中，，所以，令，則，且，所以原式，當且僅當，即時，等號成立，又，所以時，取得最小值，為，故選：B8.設，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設，設0，所以，所以函數在上單調遞增，所以，即.根據已知得，可設，則，所以函數在上單調遞增，所以，即.綜上，.故選：D.二、選擇題9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A和B，因為，所以，當且僅當時，等號成立，，則，當且僅當時，等號成立，故A錯誤，B正確；對于C，若，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故C錯誤；對于D，若，則，所以，由及，可知，則當，即時，取得最小值，故D正確．故選：BD．10.如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列結論正確的是（）A.直線與所成的角的大小為B.直線平面C.平面平面D.四面體外接球的體積與正方體的體積之比為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：連接，如圖，由正方體的結構特征知，，即為正三角形．又因為分別為的中點，則，因此直線與所成的角即為直線與所成的角，即或其補角，又，所以直線與所成的角的大小為，A正確；對于B：因為，所以平面平面，故直線平面，B正確；對于C：取的中點為，連接，顯然的中點為，則，假設平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，則，與矛盾，C錯誤；對于D：不妨設正方體的棱長為，則正方體的體積為，又因為四面體的三條側棱兩兩垂直，則它的外接球即為以為棱的長方體的外接球，于是球的直徑，體積為，于是，D正確，故選：ABD．11.玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（）A. B.C D.〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意，第一次取得黑球概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯誤；對B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對C，由，得，所以C正確；對D，由，得，所以D正確．故選：BCD．三、填空題12.已知全集，集合，則__________．〖答案〗〖解析〗由已知，又，所以．故〖答案〗為：13.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上一點，且，H是線段上靠近的三等分點，且，則C的離心率為___________.〖答案〗〖解析〗由題意，不妨設點P在第一象限，如圖.因為，則，，.因為，則，可知，則，即，整理得.由得，解得或（舍去），所以C的離心率為.故〖答案〗為：.14.已知數列為公差不為0的等差數列，，且成等比數列，設表示不超過的最大整數，如，記為數列的前項和，則__________．〖答案〗573〖解析〗由數列是等差數列，設其公差為，因為成等比數列，所以，即，解得或（舍去），所以，則．當時，，即，共有個，因為，所以，令，則，兩式相減得，則，所以，故〖答案〗為：573.四、解答題15.在中，內角的對邊分別為,且．（1）證明：是銳角三角形；（2）若，求的面積．（1）證明：因為，所以由正弦定理得，整理得．則，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以是銳角三角形．（2）解：因為，所以，所以．在中，由正弦定理得，即，所以，所以的面積為．16.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCE和四邊形CDEF是全等的直角梯形，且這兩個梯形所在的平面相互垂直，其中．（1）證明：平面BCD；（2）求平面BCD和平面ABF的夾角的余弦值．（1）證明：因為平面平面CDEF，平面平面，又，即，且平面ABCE，所以平面CDEF，又平面CDEF，故，又，即，且，平面BCD，所以平面BCD；（2）解：取EF的中點G，連接CG，如圖．由，得，故四邊形CDEG為平行四邊形，則，又，所以．由（1）知平面CDEF，所以，則直線CG，CD，CB兩兩垂直，以為原點所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，由勾股定理得，由全等關系知，故，從而，設平面ABF的法向量為，故，令，則，故．由（1）知平面BCD，故平面BCD的法向量為，設平面BCD和平面ABF的夾角為，故．17.已知函數，.（1）若的極大值為1，求實數a的值；（2）若，求證：.（1）解：的定義域為，.當時，，在上單調遞增，函數無極值；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取得極大值，極大值為，解得.經驗證符合題意，故實數a的值為.（2）證明：當時，，故要證，即證.令，則，.令，，則，所以在上單調遞增，又因為，，所以，使得，即，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.又因為，即，所以，所以，即，故得證.18.某市教育局為了調查學生熱