專題9.5拋物線（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.考查拋物線的定義、求拋物線方程、最值等問題，凸顯直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2.結合拋物線的幾何性質(zhì)及幾何圖形，求拋物線相關性質(zhì)及其應用，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．3.考查直線與拋物線的位置關系，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學應用的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．（二）拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)圖形標準方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑（三）直線和拋物線的位置關系（1）將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若①Δ＞0直線和拋物線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．（2）直線與拋物線的相交弦設直線交拋物線于點兩點，則==同理可得[來源:Z*xx*k.Com]這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：（四）焦半徑、焦點弦1.通徑過焦點垂直于軸的弦稱為拋物線的通徑，其長為__2p__．2．焦半徑拋物線上一點與焦點F連接的線段叫做焦半徑，設拋物線上任一點A(x0，y0)，則四種標準方程形式下的焦半徑公式為標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半徑|AF||AF|＝__x0＋eq\f(p,2)__|AF|＝__eq\f(p,2)－x0__|AF|＝__y0＋eq\f(p,2)__|AF|＝__eq\f(p,2)－y0__3．焦點弦問題如圖所示：AB是拋物線y2＝2px(p>0)過焦點F的一條弦，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，拋物線的準線為l．(1)以AB為直徑的圓必與準線l__相切__；(2)|AB|＝2(x0＋eq\f(p,2))＝x1＋x2＋__p__；(3)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2．【常考題型剖析】題型一：拋物線定義的應用例1.（2023·全國·高三專題練習（文））已知拋物線C：的焦點為，A是C上一點，|AF|=，則=（

）A．1 B．2 C．4 D．8例2.（2020·全國·高考真題（理））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．9【總結提升】1．涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性．2.拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，注意轉(zhuǎn)化思想的運用．3.利用拋物線定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關．實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化．(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．提醒：利用拋物線定義進行距離轉(zhuǎn)化的同時，要注意平面幾何知識在其中的重大運用．題型二：拋物線的標準方程例3.（2021·全國高二課時練習）已知動圓M經(jīng)過點A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝12y例4.（2023·全國·高三專題練習）過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若，則此拋物線方程為__________．【規(guī)律方法】1.求拋物線標準方程的方法：①直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)p．②待定系數(shù)法：先設出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù)p.當焦點位置不確定時，應分類討論或設拋物線方程為y2＝mx或x2＝my．2．求拋物線方程應注意的問題(1)當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；已知焦點坐標或準線方程可確定拋物線標準方程的形式；已知拋物線過某點不能確定拋物線標準方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖象及開口方向確定．(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題．題型三：拋物線的焦點及準線例5.（2023·全國·高三專題練習）拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．例6.（2020·全國高考真題（文））設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A． B． C． D．例7.（2021·全國高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.【規(guī)律總結】求拋物線的焦點及準線方程的步驟：(1)把拋物線解析式化為標準方程形式；(2)明確拋物線開口方向；(3)求出拋物線標準方程中參數(shù)p的值；(4)寫出拋物線的焦點坐標或準線方程．題型四拋物線對稱性的應用例8.（2021·全國高二課時練習）已知A，B是拋物線兩點，O為坐標原點．若，且的垂心恰是此拋物線的焦點，則直線AB的方程為________．例9.（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，為坐標原點．(1)過作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，的面積為．求拋物線的標準方程；(2)拋物線上有兩點，若為正三角形，求的邊長．【總結提升】1.為了簡化解題過程，有時可根據(jù)拋物線方程的特征利用參數(shù)表示拋物線上動點的坐標，有時還可以利用拋物線的對稱性避免分類討論．2．不能把拋物線看作是雙曲線的一支．雖然兩者都是沿開口方向越來越遠離對稱軸，但拋物線卻越來越接近于對稱軸的平行線．題型五拋物線的焦點弦問題例10.（2020·山東海南省高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．例11.（2018·全國·高考真題（理））已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．【總結提升】解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數(shù)的關系進行求解．題型六拋物線的最值問題例12.（2022·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．例13.（2023·全國·高三專題練習）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．4例14.【多選題】（2022·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，準線為l，為C上一動點，，則下列結論正確的是（

）A．當時，拋物線C在點P處的切線方程為 B．當時，的值為6C．的最小值為3 D．的最大值為【規(guī)律方法】1.求拋物線最值的常見題型是求拋物線上一點到定點距離的最值、求拋物線上一點到定直線距離的最值，解有關拋物線的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與準線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數(shù)式，用目標函數(shù)最值的求法解決．2.常見題型及處理方法：(1)求拋物線上一點到定直線的最小距離．可以利用點到直線的距離公式表示出所求的距離，再利用函數(shù)求最值的方法求解，亦可轉(zhuǎn)化為拋物線的切線與定直線平行時兩直線間的距離問題．(2)求拋物線上一點到定點的最值問題．可以利用兩點間的距離公式表示出所求距離，再利用函數(shù)求最值的方法求解，要注意拋物線上點的設法及變量的取值范圍．(3)方法：設P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上一點，則x0＝eq\f(y\o\al(2,0),2p)，即P(eq\f(y\o\al(2,0),2p)，y0)．由兩點間距離公式，點到直線的距離公式表示出所求距離，再用函數(shù)求最值的方法求解．(4)此類問題應注意拋物線幾何性質(zhì)的應用，尤其范圍的應用．如：y2＝2px(p>0)，則x≥0，y2≥0．題型七：與拋物線有關的綜合問題例15.（2022·天津·高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．例16.（2019·北京·高考真題（文））設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．例17.（2021·浙江·高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.例18.（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點，橢圓的頂點分別為，，，，其中點為拋物線的焦點，如圖所示.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點的直線與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.【總結提升】拋物線的綜合問題常常涉及方程、幾何性質(zhì)，以及與直線、圓、橢圓、雙曲線、向量等知識交匯考查綜合運用數(shù)學知識的能力．(1)當與向量知識結合時，注意運用向量的坐標運算，將向量間的關系，轉(zhuǎn)化為點的坐標問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關系，將所求問題與條件建立聯(lián)系求解．(2)當與直線、圓、圓錐曲線有關時，常常聯(lián)立方程組，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系構造相關數(shù)量關系求解．

專題9.5拋物線（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.考查拋物線的定義、求拋物線方程、最值等問題，凸顯直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2.結合拋物線的幾何性質(zhì)及幾何圖形，求拋物線相關性質(zhì)及其應用，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．3.考查直線與拋物線的位置關系，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學應用的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．（二）拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)圖形標準方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑（三）直線和拋物線的位置關系（1）將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若①Δ＞0直線和拋物線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．（2）直線與拋物線的相交弦設直線交拋物線于點兩點，則==同理可得[來源:Z*xx*k.Com]這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：（四）焦半徑、焦點弦1.通徑過焦點垂直于軸的弦稱為拋物線的通徑，其長為__2p__．2．焦半徑拋物線上一點與焦點F連接的線段叫做焦半徑，設拋物線上任一點A(x0，y0)，則四種標準方程形式下的焦半徑公式為標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半徑|AF||AF|＝__x0＋eq\f(p,2)__|AF|＝__eq\f(p,2)－x0__|AF|＝__y0＋eq\f(p,2)__|AF|＝__eq\f(p,2)－y0__3．焦點弦問題如圖所示：AB是拋物線y2＝2px(p>0)過焦點F的一條弦，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，拋物線的準線為l．(1)以AB為直徑的圓必與準線l__相切__；(2)|AB|＝2(x0＋eq\f(p,2))＝x1＋x2＋__p__；(3)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2．【常考題型剖析】題型一：拋物線定義的應用例1.（2023·全國·高三專題練習（文））已知拋物線C：的焦點為，A是C上一點，|AF|=，則=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義可得答案.【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知，解之得．故選：A．例2.（2020·全國·高考真題（理））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【總結提升】1．涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性．2.拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，注意轉(zhuǎn)化思想的運用．3.利用拋物線定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關．實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化．(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．提醒：利用拋物線定義進行距離轉(zhuǎn)化的同時，要注意平面幾何知識在其中的重大運用．題型二：拋物線的標準方程例3.（2021·全國高二課時練習）已知動圓M經(jīng)過點A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝12y【答案】A【分析】設出點M的坐標，由題意可知|MA|＝|MN|，進而根據(jù)拋物線的定義即可得到答案.【詳解】設動點M(x，y)，圓M與直線l：x＝－3的切點為N，則|MA|＝|MN|，即動點M到定點A和定直線l：x＝－3的距離相等.∴點M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點，以直線l：x＝－3為準線，故動圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x.故選：A.例4.（2023·全國·高三專題練習）過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若，則此拋物線方程為__________．【答案】【分析】作準線于，準線于，設，由拋物線定義得，結合求得，進而求出，即可求得拋物線方程.【詳解】如圖，作準線于，準線于，設，由拋物線定義得，，故，在直角三角形中，因為，，所以，從而得，設準線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.故答案為：.【規(guī)律方法】1.求拋物線標準方程的方法：①直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)p．②待定系數(shù)法：先設出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù)p.當焦點位置不確定時，應分類討論或設拋物線方程為y2＝mx或x2＝my．2．求拋物線方程應注意的問題(1)當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；已知焦點坐標或準線方程可確定拋物線標準方程的形式；已知拋物線過某點不能確定拋物線標準方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖象及開口方向確定．(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題．題型三：拋物線的焦點及準線例5.（2023·全國·高三專題練習）拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標準方程以及焦點坐標求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為故選：C例6.（2020·全國高考真題（文））設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B.例7.（2021·全國高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【規(guī)律總結】求拋物線的焦點及準線方程的步驟：(1)把拋物線解析式化為標準方程形式；(2)明確拋物線開口方向；(3)求出拋物線標準方程中參數(shù)p的值；(4)寫出拋物線的焦點坐標或準線方程．題型四拋物線對稱性的應用例8.（2021·全國高二課時練習）已知A，B是拋物線兩點，O為坐標原點．若，且的垂心恰是此拋物線的焦點，則直線AB的方程為________．【答案】【分析】由拋物線的性質(zhì)知關于軸對稱,設出坐標，利用三角形垂心的性質(zhì)，結合斜率之積為，求出坐標即可求解.【詳解】由拋物線的性質(zhì)知關于軸對稱,設，則，焦點為.由題意知，，所以，即.因為，所以，即，所以直線AB的方程為.故答案為：例9.（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，為坐標原點．(1)過作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，的面積為．求拋物線的標準方程；(2)拋物線上有兩點，若為正三角形，求的邊長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用可構造方程求得，由此可得拋物線方程；（2）根據(jù)對稱性可知軸，設，代入拋物線方程可得，利用可構造方程求得，由此可得，即為所求邊長.（1）由拋物線方程知：，為拋物線的通徑，則，，解得：，拋物線的標準方程為：.（2）為正三角形，，由拋物線對稱性可知：軸，設，則，解得：，，，，解得：，，即的邊長為.【總結提升】1.為了簡化解題過程，有時可根據(jù)拋物線方程的特征利用參數(shù)表示拋物線上動點的坐標，有時還可以利用拋物線的對稱性避免分類討論．2．不能把拋物線看作是雙曲線的一支．雖然兩者都是沿開口方向越來越遠離對稱軸，但拋物線卻越來越接近于對稱軸的平行線．題型五拋物線的焦點弦問題例10.（2020·山東海南省高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得所以解法二：設，則,過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示.故答案為：例11.（2018·全國·高考真題（理））已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．【答案】2【分析】利用點差法得到AB的斜率，結合拋物線定義可得結果.【詳解】詳解：設則所以所以取AB中點,分別過點A,B作準線的垂線，垂足分別為因為,，因為M’為AB中點，所以MM’平行于x軸因為M(-1,1)所以，則即故答案為2.【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質(zhì)，設，利用點差法得到，取AB中點,分別過點A,B作準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的性質(zhì)得到，進而得到斜率．【總結提升】解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數(shù)的關系進行求解．題型六拋物線的最值問題例12.（2022·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，此時最小，再根據(jù)點到直線距離公式即可求解.【詳解】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，如下圖所示，此時最小，為點到直線的距離.，則．故選：B．例13.（2023·全國·高三專題練習）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)以及，聯(lián)立可得，進而可用對勾函數(shù)的性質(zhì)求的最值，進而可求.【詳解】解法1：拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，則∵，由拋物線定義可知，∴，又因為，所以即，由①②可得：所以.∵，當時，，當時，，∴，則弦AB的中點到C的準線的距離，d最大值是.∴弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是，故選：B.解法2：弦AB的中點到C的準線的距離，根據(jù)結論，，，故選：B.例14.【多選題】（2022·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，準線為l，為C上一動點，，則下列結論正確的是（

）A．當時，拋物線C在點P處的切線方程為 B．當時，的值為6C．的最小值為3 D．的最大值為【答案】BCD【分析】A選項，求導，求出在的導函數(shù)值，即切線斜率，進而用點斜式求出切線方程；B選項，由焦半徑求出的值；C選項，利用拋物線定義得到，當三點共線時和最小，求出最小值；D選項，作出輔助線，找到.【詳解】當時，，又，所以，所以拋物線C在點P處的切線方程為，整理得：，A錯誤；當時，，故，B正確；如圖，過點P作PB⊥準線于點B，則由拋物線定義可知：，則，當A、P、B三點共線時，和最小，最小值為1+2=3，C正確；由題意得：，連接AF并延長，交拋物線于點P，此點即為取最大值的點，此時，其他位置的點，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，故的最大值為，D正確.故選：BCD【規(guī)律方法】1.求拋物線最值的常見題型是求拋物線上一點到定點距離的最值、求拋物線上一點到定直線距離的最值，解有關拋物線的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與準線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數(shù)式，用目標函數(shù)最值的求法解決．2.常見題型及處理方法：(1)求拋物線上一點到定直線的最小距離．可以利用點到直線的距離公式表示出所求的距離，再利用函數(shù)求最值的方法求解，亦可轉(zhuǎn)化為拋物線的切線與定直線平行時兩直線間的距離問題．(2)求拋物線上一點到定點的最值問題．可以利用兩點間的距離公式表示出所求距離，再利用函數(shù)求最值的方法求解，要注意拋物線上點的設法及變量的取值范圍．(3)方法：設P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上一點，則x0＝eq\f(y\o\al(2,0),2p)，即P(eq\f(y\o\al(2,0),2p)，y0)．由兩點間距離公式，點到直線的距離公式表示出所求距離，再用函數(shù)求最值的方法求解．(4)此類問題應注意拋物線幾何性質(zhì)的應用，尤其范圍的應用．如：y2＝2px(p>0)，則x≥0，y2≥0．題型七：與拋物線有關的綜合問題例15.（2022·天津·高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，不妨設點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：C.例16.（2019·北京·高考真題（文））設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點坐標，即圓心，焦點到準線距離即半徑，進而求得結果.【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1,0），準線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.例17.（2021·浙江·高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.（2）方法一：設，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.（