2023年高考數學強基計劃模擬題（十九）

（滿分100分，測試時間：60分鐘）

選擇題（每題10分）

1.設有復數31=-〈+噂3儂2=COS|TT+兇山|兀，令3=31,32，則復數3+32+

ZZ。D

co3H-----Fco2011=.（）

A.o）B.a）2C.co3D.a）4

2.A48c為等邊三角形，邊長為3,P為平面外一點,P滿足|P*=3,|PB|=4,|PC|=5,

則UpT8c為.（）

A.711B.V10C.yD.y

3.一個盒子里裝有紅、白、藍、綠四種顏色的玻璃球，每種顏色的玻璃球至少有一個.

從中隨機拿出4個玻璃球，這4個球都是紅色的概率為P1，恰好有3個紅色和1個白色的

概率為P2,恰好有2個紅色、1個白色和1個藍色的概率為P3,四種顏色各1個的概率為P4,

若恰好有P1=P2=P3=P4,則這個盒子里玻璃球的個數的最小值等于.（）

A.17B.19C.21D.以上選項都不正確

4.已知多項式/一2x3+（m+2）x2-（4m+2）x+4m+1>0恒成立，則m的取值范

圍為.（）

A.[0,+8）B.（―8,0]C.[i,l]D.g+8）

5.如圖所示，已知正方體4BCD-4B1GD1的棱長為4,點H在棱44]上，且=1.

在側面BCJB]內作邊長為1的正方形EFGG，P是側面BCG/內一動點，且點P到平面

CDD1G的距離等于線段P尸的長.當點P運動時，的最小值是.（）

6.已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點P（2,0）的直線交拋物線于4B兩點，直線AF,

8F分別與拋物線交于點C,D.設直線ZB,CD的斜率分別為自，k2,則此等于.（）

A.1B.|C.1D.2

二、解答題（每小題20分）

7、已知a是給定一正實數，考慮滿足下列條件的數列：xo=O>xn=xn^+a,或&=

—xn_i-a,n=1,2,--?,2008.試求表達式|巧+%24----FX2008l的最小值.

8、稱自然數m覆蓋2987;如果數字2,9,8,7依次序2,9,8,7出現在m的十進制表

示數碼中，用k（n）表示覆蓋2987的由非零數碼構成的n位數的個數.求磔n）除以8所得的

余數.

答案

1.A【解析】根據題意有⑦=COS6TT+|汗)+isin67T+,兀)=85||幾+心訪|!兀.

因此315=1,于是

21?2011d)(l-a)2011)3(1-0)134x15+1)

+ZU11

3十H--------F6)=------------=———-----------------=0)?

1—0)1—(1)

2.A【解析】aPBC為直角三角形，外心為PC的中點，取PC的中點為M.由于MB|=|/C|=

\AP\=3,因此4點在平面PBC的射影就是點M,則AM就是高手，所以體積為VTL

3.C【解析】不妨設紅、白、藍、綠四種顏色的玻璃球個數分別為小,n2,n3,叫?由題意

可以得到C4nl=C^n2=Cnjn2n3=2713n4,所以n1=2H4+1,%=3n3+2,nx=

4n2+3,故小+的+%+%=2s7j23.注意到%,電，啊,%均為整數，所以七的最小值

為11,Hj+n2+n3+n4=>21.

22

4.A【解析】配方得到廣。-1)2+7n(x-2)+(x-I)>0.取x=1代入，得到m20,為

必要條件;反之，若mNO,則原式20.

5.B【解析】在SB】上取點K,使得出/|=1,則HK1面BCG/,連接PK,^\\HP\2=\HK\2+

\PK\2=16+|PK『.

在平面BCGBi上，以CG所在直線為x軸，以GF所在直線為y軸.由題意可知，P點軌跡為拋

物線，其方程為/=2y-l,K點坐標為(0,4).設P(x,y),則M=2y-1(其中xe[―3,1],

"[-另]).

故|PK/=/+(y_4)2=2y-1+y2-8y+16=y2-6y+15.

當y=36[-另]時，|PK扁n=6.故|HP|3n=16+6=22.本題考查正方體和拋物線的綜

合應用.

6.B【解析】設直線4B的方程為y=k1(x-2),聯立匕2：/：，一？)，得心/一4y—8kl=0.

設%)，5(x2,y2),直線AC的方程為丫=居0-1),聯立/=合(”一1"得

2

1(y=4x,

—~—V2—y--=0

77

4(%1-1)打一1'

則以"=-4,故無=?同理知=我故

k-yD-yc_4_4_2k

Q-XD-XC-yD+yc--43+及）一的,

"2

可得"=；.本題考查直線與拋物線相交問題.

化22

7.【答案】設xn=yn?a（n=1,2,???,2008）,則尢=0,yn+1=yn+1或%一1（九=0,L…，

2007）,總有吟=儲_1+2%1T+1,所以2%1T=喏一斤一1一1.于是2（為+為+…+

72008）=y2009~yi~2008.

顯見%EZ,由|、20091="2008+11，yf=1?可知為009為奇數,且僅1+…+丫2008I=

||yfoo9-20091.

因為最接近2009的奇數方數是452,所以M+…+'200812：1452-20091=8,故

a

|%1+,,,+%2008（—8a.又當=X3=???—X1963=a,冷=%4=""=久1964=~2a,%1965=>

/966=2a,…，％2009=45a時，%+…+可取到8a，從而表達式的最小值為8a.

8.【答案】設的表示函數中2第一次出現的位數（從左至右數），a2表示上面的2后面出現的第

一個9的位數，表示上面的9后面出現的第一個8的位數，a4表示上面的8后面出現的第一

個7的位數.則這樣的一個覆蓋數為（當n>4時）8。「1-8a2-J-1.8a3-a「l.8%-a3T,*-人，

于是所有的n位覆蓋數（非零數碼）為

ai1

Xl<a1<a2<a3<a4<n8--8叱。「1.8a.8幺又3T.州一叫

在上述求和符號中，僅當%—1=0=a2—l=a3-a2—l=a4-a3—1,即%=1,

a2-ai-1a3-a2-1a4-a3-1

a2=2,a3=3,a