二次根式的性質與運算練習題溫故而知新：1.二次根式的概念定義：一般地，我們把形如___（a≥0）的式子叫做二次根式，符號“”稱為二次根號.2.二次根式的性質（1）（a≥0）是一個非負數；（2）（）2＝a（a≥0）；（3）.3.二次根式的乘法___________(a≥0，b≥0).4.二次根式的除法___________(a≥0，b>0).5.積的算術平方根的性質=_____________(a≥0，b≥0).6.商的算術平方根的性質___________(a≥0，b>0).7.最簡二次根式（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式.8.二次根式的加減二次根式加減時,可以先將二次根式化為最簡二次根式,再將被開方數相同的二次根式進行合并.例1（2013·婁底）使式子有意義的x取值范圍是()A.x≥-，且x≠1B.x≠1C.x≥-D.x>-，且x≠1解析：根據二次根式有意義的條件可得2x+1≥0，解得x≥-；由分式有意義的條件可知x-1≠0，即x≠1；綜上可知x≥-，且x≠1.答案：A小結：在求解有關字母范圍問題時，一般要注意以下兩個方面：（1）二次根式的被開方數是非負數；（2）分式的分母不為0.舉一反三：1.（2012·南充）在函數y=中，自變量x的取值范圍是()A.x≠B.C.D.解析：由二次根式有意義的條件可知1-2x≥0，解得；由分式有意義的條件可知≠0，即x≠；所以x的取值范圍是.例2（2012·全國競賽）如果實數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，那么代數式可以化簡為()A.2c-aB.2a-2bC.-aD.a解析：觀察數軸可知b<a<0<c，；a+b<0，c-a>0，b+c<0；=-a+（a+b）+（c-a）-（b+c）=-a.答案：C小結：解本題的關鍵是從數軸上獲取信息，從而確定a，a+b，c-a，b+c的符號.例3已知xy>0，化簡二次根式x的正確結果為()A.B.C.-D.-解析：由xy>0可知x>0且y>0或x<0且y<0；由二次根式有意義的條件可知，又x2>0，所以-y>0，即y<0，所以x<0且y<0；方法一：x=x·=x·=x·=；方法二：x=-（-x）·=-·=-=.答案：D舉一反三：4.已知x<1，則化簡的結果是（）A.x-1B.x+1C.-x-1D.1-x解析：===1-x.5.若整數m滿足條件且，則m的值是_________.解析：由得m+1≥0，m≥-1，所以-1≤<1；又因為m是整數，所以m的值是-1或0.6.把（a-2）根號外的因式移到根號內后，其結果是______________.解析：由二次根式有意義的條件可知>0，即2-a>0，所以（a-2）=-（2-a）=-·=-=-.例4若，則x-y的值為（）A.-1B.1C.2D.3解析：根據二次根式有意義的條件可得x-1≥0且1-x≥0，解得x=1；所以=0-0=0，所以（1+y）2=0，y=-1；x-y=1-（-1）=2.答案：C小結：非負數有如下幾個性質:(1)有限個非負數的和為非負數；(2)非負數與正數之和為正數；(3)有限個非負數的和為0,則每個非負數都為0.例5已知實數a滿足，則a-20142的值為_______.解析：根據二次根式有意義的條件可得a-2015≥0，解得a≥2015；所以可化為，整理得；兩邊同時平方，整理可得a-20142=2015.答案：2015小結：在解決含二次根式與絕對值的問題時，要謹記：（1）二次根式的被開方數為非負數；（2）一個正數的絕對值等于它的本身，一個負數的絕對值等于它的相反數.另外在解題時還要注意整體思想的靈活運用.例6已知非零實數a，b滿足，則a+b等于（）A.-1B.0C.1D.2解析：由得≥0，所以=2a-4，所以，即；由幾個非負數的和為0則這幾個數都為0可知且，所以b+2=0，b=-2；（a-3）b2=0，a=3；a+b=3+（-2）=1.答案：C小結：本題有一定的技巧性，解題關鍵在于要能夠想到將所給等式進行簡單變形后，我們可以得到條件2a-4≥0，將等式化簡為我們常見的幾個非負數之和為零的形式，進而可分別求出a，b的值，進一步得到正確答案.常見的非負數有三種形式：、a2、（a≥0）.例7已知△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b+=10a+-22，則△ABC為（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：將a2+b+=10a+-22的右邊移到左邊整理得（a-5）2+（-1）2+=0；由幾個非負數的和為0則這幾個數都為0可知，-1=0，=0，解得a=5，b=5，c=5；所以a=b=c，故△ABC為等邊三角形.答案：B小結：解本題的關鍵在于利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2對所給等式進行變形，變形后再根據幾個非負數的和為0則這幾個非負數均為0分別求出a，b，c的值，進而判斷出三角形的形狀.舉一反三：2.若，則xy的值為()A.8B.2C.5D.-6解析：根據可得x-2y=0，y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以xy=8.3.若a，b為實數，且滿足，則b-a的值為（）A.2B.0C.-2D.以上都不對解析：由可得a-2=0，-b2=0，所以a=2，b=0，所以