絕密★啟用前（新高考卷）數學試卷注意事項.1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改功，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，則（）A.B.C.D.3.已知橢圓的焦距為2，且，則C的離心率為（）A.B.C.D.4.乒乓球被譽為我國的“國球”，一個標準尺寸乒乓球的直徑是，其表面積約為（）A.B.C.D.5.已知函數沒有極值點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知，且，則（）A.B.C.D.7.已知一組樣本數據的方差為10，且.設，則樣本數據的方差為（）8.甲?乙?丙三名同學報名參加數學?物理?化學?生物興趣小組.已知每人參加兩個興趣小組，三人不能同時參加同一個興趣小組，每個興趣小組至少有一人參加，則不同的報名參加方式共有（）A.45種B.81種C.90種D.162種二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最小正周期是B.的值域是C.的圖像關于點對稱D.的圖像關于直線對稱10.已知點分別為雙曲線的左?右焦點，為的右支上一點，則（）A.B.C.D.11.在中，，邊在平面上的射影長分別為3，4，則邊在上的射影長可能為（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則___________，___________.13.記為等差數列的前項和，若，則___________.14.已知且，函數在的最大值為，則在的最小值為___________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）記的內角的對邊分別為，已知.（1）若，求；（2）若，求的面積.16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點，為線段上一點，且.（1）證明：平面；（2）若平面，且，求二面角的正弦值.17.（15分）已知某客運輪渡最大載客質量為，且乘客的體重（單位：）服從正態分布.（1）記為任意兩名乘客中體重超過的人數，求的分布列及數學期望（所有結果均精確到0.001）；（2）設隨機變量相互獨立，且服從正態分布，記，則當時，可認為服從標準正態分布.若保證該輪渡不超載的概率不低于，求最多可運載多少名乘客.附：若隨機變量服從正態分布，則；若服從標準正態分布，則；，，.18.（17分）已知拋物線的焦點為各頂點均在上，且.（1）證明：是的重心；（2）能否是等邊三角形？并說明理由；（3）若均在第一象限，且直線的斜率為，求面積.19.（17分）已知函數.（1）若，求的極值；（2）若，設.證明：（i）；（ii）.絕密★啟用前（新高考卷）數學參考答案1.【答案】D【解析】因為，所以.2.【答案】A【解析】，故.3.【答案】D【解析】根據題意有半焦距，故，且，故的離心率.4.【答案】C【解析】標準乒乓球的半徑，故表面積.5.【答案】B【解析】，若沒有極值點，則方程至多只有一個解，即，故的取值范圍是.6.【答案】A【解析】由，可得，由，可得，故，故當時，.7.【答案】B【解析】設樣本數據的平均數為，則，設樣本數據的平均數為，因為，所以，所以.8.【答案】C【解析】方法1：根據題意可知有2個興趣小組各有2個人報名，有2個興趣小組各有1個人報名，則共有種；若有2個同學所報名的2個興趣小組完全相同，則剩下的1個同學所報名參加的2個興趣小組都只有1個人報名，則有種；若三人中只有一人所報名的2個興趣小組各有2人報名，則另兩人每人各報名一個有2人報名的興趣小組和一個僅有1人報名的興趣小組，則有種，故一共有種.方法2：甲乙完全相同的報名參加方式有種，甲?乙只有一個興趣小組相同的報名參加方式有種，甲?乙完全不同的報名參加方式有種，所以他們不同的報名參加方式共有種.9.【答案】ABD（選對部分得3分）【解析】，故的最小正周期是，值域為正確；因為，故不關于點對稱，錯誤；因為是的極大值點，故關于直線對稱，正確.10.【答案】BCD（選對部分得3分）【解析】當的橫坐標為無窮大時，也為無窮大，故A錯誤；由雙曲線的定義可知，故，故B正確；，故C正確；的一條漸近線的斜率為，大于直線的斜率，所以當在軸上方時，不可能共線，故由三角形三邊關系可知，故D正確.11.【答案】AC（選對部分得3分）【解析】不妨設點在上，因為，且邊在平面上的射影長分別為3，4，所以點到的距離分別為4，3.當在同一側時，在上的射影長為；當在不同側時，在上的射影長為.12.【答案】，（第一空3分，第二空2分）【解析】因為向量，所以，當時，，即，故，所以.13.【答案】49【解析】因為，則，又因為，故，所以.14.【答案】5【解析】方法1：因為，所以的圖像關于點對稱，故若在的最大值為3，則在的最小值為5.方法2：由條件得，當時，，且等號成立，即，，且等號成立，在的最小值為5.15.（13分）【解析】（1）因為，由正弦定理可得：，因為，所以，故.所以.（2）由余弦定理可知，即，故.又，所以.16.（15分）【解析】（1）記為的交點，連接交于點，連接，因為分別為的中點，則為的重心，故.又因為四邊形是正方形，故為的中點，且由于，故，，所以.又因為平面，且平面所以平面.（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，設，則，所以，平面與平面的法向量分別為，則，不妨取，則，所以，所以二面角的正弦值為.17.（15分）【解析】（1）設乘客的體重為，則，其中，因為，即，故，所以，，，所以的分布列為：0120.7080.2670.025方法1：所以.方法2：因為，故.注：考生把寫成，不影響得分.（2）設為第位乘客的體重，則，其中，所以.因為.故有，得，即，故，所以若保證該輪渡不超載的概率不低于，最多可運載64名乘客.18.（17分）【解析】（1）設線段的中點為，由可知，設的中點為，同理可知，所以兩條中線相交于，故是的重心.（2）方法1：根據題意有.設，則，由可得，，且.又由拋物線的幾何性質可知.若是等邊三角形，則由（1）可知.由，得，又因為不重合，故可知，所以.故，這與矛盾.綜上，不可能是等邊三角形.方法2：根據題意有.設，由拋物線的幾何性質可知，.若是等邊三角形，則由（1）可知.所以，故，因此中至少兩個相等，中至少有兩個點重合，這與互不重合矛盾，故不可能是等邊三角形.（3）方法1：設直線的方程為，其中，且因為在第一象限，易知，與的方程聯立有，其中，可知，結合（2）中所設點坐標可知.由（2）可知，且，代入有：，故，整理化簡有，，點到直線的距離，所以.由（1）可知，故.方法2：由條件可設的方程為.把此方程與聯立，化簡得..根據（2）有，.由解得.，直線的方程為..點到直線的距離，所以的面積為.19.（17分）【解析】（1）方法1：當時，，所以，且.設，則，其中，當時，單調遞增，當時，單調遞減，又因為，故當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，單調遞減.故是的極小值點，的極小值為，是的極大值點，的極大值為.方法2：當時，，所以.設，則在單調遞減.由于，，故存在唯一，使得.當時，單調遞增；當時，單調遞減.因為，所以當或時，單