第4章因式分解知識點01：因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.知識點02：提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律.知識點03：公式法1.平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：2.完全平方公式兩個數的平方和加上這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.易錯指導：（1）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點04：十字相乘法和分組分解法十字相乘法利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.知識點05：因式分解的一般步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．（4）結果要徹底，即分解到不能再分解為止．一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?容城縣校級一模）小李在計算20232023﹣20232021時，發現其計算結果能被三個連續整數整除，則這三個整數是（）A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022解：20232023﹣20232021＝20232021×（20232﹣1）＝20232021×（2023﹣1）×（2023+1）＝20232021×2022×2024∴能被2022，2023，2024整除，故選：B．2．（2分）（2023春?羅湖區校級期中）已知a+b＝1，ab＝﹣6，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25，∴a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝﹣6×25＝﹣150，故選：D．3．（2分）（2022秋?如東縣期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25∴a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝﹣6×25＝﹣150，故選：D．4．（2分）（2023春?沈陽期中）對于算式20183﹣2018，下列說法錯誤的是（）A．能被2016整除 B．能被2017整除 C．能被2018整除 D．能被2019整除解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故選：A．5．（2分）（2022春?順德區校級期中）已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a2﹣b2+ac﹣bc＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解：∵a2﹣b2+ac﹣bc＝0，∴（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a+b+c）＝0，∵a、b、c為△ABC的三邊長，∴a+b+c≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形，故選：A．6．（2分）（2022?濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x解：A選項不是因式分解，故不符合題意；B選項計算錯誤，故不符合題意；C選項是因式分解，故符合題意；D選項不是因式分解，故不符合題意；故選：C．7．（2分）（2022春?高新區校級期末）若多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故選A．8．（2分）（2023春?歷下區期中）2n﹣1可以被10和20之間的某個數整除，則這個數可以是（）A．16 B．17 C．18 D．19解：若2n﹣1能被10和20之間的某個數整除，則2n﹣1需滿足能分解成（24﹣1）或（24﹣1）的兩個因數，即15和17時，故答案為：B．9．（2分）（2022秋?泰山區期末）將下列多項式因式分解，結果中不含因式x﹣1的是（）A．x（x﹣3）+（3﹣x） B．x2﹣1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1解：A選項，原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣3）（x﹣1），故該選項不符合題意；B選項，原式＝（x+1）（x﹣1），故該選項不符合題意；C選項，原式＝（x﹣1）2，故該選項不符合題意；D選項，原式＝（x+1）2，故該選項符合題意；故選：D．10．（2分）（2023春?重慶期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?東平縣二模）如圖，長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，則a3b+2a2b2+ab3的值為490．解：∵長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，∴ab＝10，a+b＝7，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝10×72＝490．故答案為：490．12．（2分）（2023春?武侯區校級期中）在“互聯網+”時代，有一種用“因式分解法”生產密碼的方法：將一個多項式因式分解．如：將多項式x3﹣x分解結果為x（x+1）（x﹣1）．當x＝20時，x﹣1＝19，x+1＝21，此時可得到數字密碼201921，或者是192021．將多項式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用題目中所示的方法，當x＝10時可以得到密碼101213，則m＝11，n＝6．解：x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，∵當x＝10時得到密碼101213，∴分解結果應為x（x+2）（x+3），即x（x2+5x+6），∴m﹣n＝5，n＝6，∴m＝11．故答案為：11；6．13．（2分）（2023?縉云縣一模）分解因式：x2﹣4x＝x（x﹣4）．解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案為：x（x﹣4）．14．（2分）（2023?五華區校級模擬）分解因式：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．解：原式＝（x﹣3）2．故答案為：（x﹣3）215．（2分）（2023春?雙流區期中）已知：△ABC的三分別邊為a、b、c；且滿足a2+2b2+c2＝2b（a+c），則△ABC的形狀等邊三角形．解：∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0；則a﹣b＝0且b﹣c＝0，解得a＝b，且b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形等邊三角形，故答案為：等邊三角形．16．（2分）（2022春?運城月考）已知a﹣b＝﹣2，ab＝7，則代數式a3b﹣2a2b2+ab3的值為28．解：∵a﹣b＝﹣2，ab＝7，∴a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝7×（﹣2）2＝28，故答案為：28．17．（2分）（2023春?璧山區校級期中）若一個四位正整數滿足：a+c＝b+d，我們就稱該數是“交替數”，則最小的“交替數”是1001；若一個“交替數”m滿足千位數字與百位數字的平方差是16，且十位數字與個位數的和能被4整除．則滿足條件的“交替數”m的最大值為5379．解：a取最小的正整數1，c取最小的整數0，則a+c＝b+d，b＝0，d＝1．∴最小的“交替數”是1001；根據題意知：a2﹣b2＝16，c+d＝4k（k是正整數），a+c＝b+d，∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16＝16×1＝8×2＝4×4，且0≤a≤9，0≤b≤9，∴或或，解得（舍去）或或，∵a+c＝b+d．∴c﹣d＝b﹣a，∴c﹣d＝﹣2或c﹣d＝﹣4，∵c+d＝4k（k是正整數），∴c+d＝4或8或12或16，∴或或或或或或或，解得或或或或或或或（舍去），∴a＝5，b＝3，c＝1，d＝3，即5313；或a＝5，b＝3，c＝3，d＝5，即5335；或a＝5，b＝3，c＝5，d＝7，即5357；或a＝5，b＝3，c＝7，d＝9，即5379；或a＝4，b＝0，c＝0，d＝4，即4004；或a＝4，b＝0，c＝2，d＝6，即4026；或a＝4，b＝0，c＝4，d＝8，即4048；故所有的“交替數”是5313或5335或5357或5379或4004或4026或4048，最大的“交替數”為5379，故答案為：1001，5379．18．（2分）（2023?合川區校級模擬）若一個四位正整數滿足：a+c＝b+d，我們就稱該數是“交替數”，則最小的“交替數”是1001；若一個“交替數”m滿足千位數字與百位數字的平方差是15，且十位數字與個位數的和能被5整除．則滿足條件的“交替數”m的最大值為8778．解：a取最小的正整數1，c取最小的整數0，則a+c＝b+d，b＝0，d＝1．∴最小的“交替數”是1001；根據題意知：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整數），a+c＝b+d．∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，∴或，解得或，∵a+c＝b+d．∴c﹣d＝b﹣a，∴c﹣d＝﹣1或c﹣d＝﹣3，∵c+d＝5k（k是正整數），∴c+d＝5或10或15，∴或或或或或，解得或或（舍去）或（舍去）或或，∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．故所有的“交替數”是8723或4114或8778或4169，最大的“交替數”為8778，故答案為：1001，8778．19．（2分）（2022春?皇姑區校級月考）若xy＝2，y﹣x＝1，則代數式2x2y﹣2xy2的值為﹣4．解：原式＝2xy（x﹣y）＝﹣2xy（y﹣x）∵xy＝2，y﹣x＝1∴原式＝﹣2×2×1＝﹣420．（2分）（2021春?靖遠縣期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，則x3y+x2y2+xy3＝﹣2．解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，∴x3y+x2y2+xy3＝＝＝＝﹣2．故答案為：﹣2．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023春?龍泉驛區期中）《義務教育數學課程標準（2022年版）》關于運算能力的解釋為：運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力．因此，我們面對沒有學過的數學題時，方法可以創新，但在創新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于已學過的方法進行分解．例題：用拆項補項法分解因式x3﹣9x+8．解：添加兩項﹣x2+x2．原式＝x3﹣x2+x2﹣9x+8＝x3﹣x2+x2﹣x﹣8x+8＝x2（x﹣1）+x（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣8）請你結合自己的思考和理解完成下列各題：（1）分解因式：x3+9x﹣10；（2）分解因式：x3﹣2x2﹣5x+6；（3）分解因式：x4+5x3+x2﹣20x﹣20．解：（1）x3+9x﹣10＝x3﹣x+10x﹣10＝x（x2﹣1）+10（x﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）+10（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+10）；（2）x3﹣2x2﹣5x+6＝x3﹣2x2+x﹣6x+6＝x（x2﹣2x+1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）2﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2﹣x﹣6）＝（x﹣1）（x﹣3）（x+2）；（3）x4+5x3+x2﹣20x﹣20＝x4+2x3+3x3+6x2﹣5x2﹣10x﹣10x﹣20＝x3（x+2）+3x2（x+2）﹣5x（x+2）﹣10（x+2）＝（x+2）（x3+3x2﹣5x﹣10）．22．（8分）（2023春?龍崗區校級期中）我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）②拆項法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分組分解法4x2+4x﹣y2+1；②用拆項法x4﹣3x2+1；（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周長．解：（1）①4x2+4x﹣y2+1＝4x2+4x+1﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+1+y）（2x+1﹣y）；②x4﹣3x2+1＝x4﹣2x2+1﹣x2＝（x2﹣1）2﹣x2＝（x﹣1）2（x+1）2﹣x2＝[（x﹣1）（x+1）﹣x][（x﹣1）（x+1）+x]．（2）∵a、b、c為△ABC的三條邊，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，∴a2+4b2﹣4ab+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣2b）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，∴，∴，∴△ABC的周長為6+3+5＝14．23．（8分）（2022春?郫都區校級月考）我們知道，分解因式與整式乘法是互逆的運算．在分解因式的練習中我們也會遇到下面的問題，請你根據情況解答：（1）已知a，b，c是△ABC的三邊且滿足a2+2b2＝2b（a+c）﹣c2.判斷△ABC的形狀；（2）兩位同學將一個二次三項式分解因式時，其中一位同學因看錯了一次項系數而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同學因看錯了常數項而分解成3（x+2）（x﹣3）．請你求出原來的多項式并將原式分解因式．解：（1）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形；（2）設原多項式為ax2+bx+c（其中a、b、c均為常數，且abc≠0）．∵3（x﹣1）（x+2）＝3（x2+x﹣2）＝3x2+3x﹣6，∴a＝3，c＝﹣6；又∵3（x+2）（x﹣3）＝3（x2﹣x﹣6）＝3x2﹣3x﹣18，∴b＝﹣3．∴原多項式為3x2﹣3x﹣6，將它分解因式，得3x2﹣3x﹣6＝3（x2﹣x﹣2）＝3（x﹣2）（x+1）．24．（8分）（2022春?市中區校級期中）【數學實驗探索活動】實驗材料現有若干塊如圖①所示的正方形和長方形硬紙片．實驗目的：用若干塊這樣的正方形和長方形硬紙片拼成一個新的長方形，通過不同的方法計算面積，得到相應的等式，從而探求出多項式乘法或分解因式的新途徑．例如，選取正方形、長方形硬紙片共6塊，拼出一個如圖②的長方形，計算它的面積寫出相應的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．探索問題：（1）小明想用拼圖的方法解釋多項式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要兩種正方形紙片3張，長方形紙片3張；（2）選取正方形、長方形硬紙片共8塊可以拼出一個如圖③的長方形，計算圖③的面積，并寫出相應的等式；（3）試借助拼圖的方法，把二次三項式2a2+5b+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在虛線方框內．解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要兩種正方形紙片3張，長方形紙片3張；故答案為：3，3；（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（3）如圖④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b），25．（8分）（2023春?市北區校級期中）計算：（1）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2；（2）因式分解：（x+1）（x﹣3）+4；（3）解不等式組并寫出它的整數解；（4）解關于x的不等式并將解集用數軸表示出來．解：（1）4（x+y）2﹣16（x﹣y）2，＝（2x+2y）2﹣（4x﹣4y）2，＝[（2x+2y）+（4x﹣4y）][（2x+2y）﹣（4x﹣4y）]，＝（6x﹣2y）（6y﹣2x）＝4（3x﹣y）（3y﹣x）；（2）（x+1）（x﹣3）+4＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；（3），由①得，x≤4，由②得，x＞0，此不等式組的解集為0＜x≤4，故它的整數解為：1，2，3，4；（4）去分母得：6﹣2（2x﹣1）≤3（1+x），去括號得：6﹣4x+2≤3+3x，移項得：﹣4x﹣3x≤3﹣6﹣2，合并同類項得：﹣7x≤﹣5，系數化成1得：x≥，在數軸上表示為：．26．（10分）（2023春?義烏市校級期中）用幾個小的長方形、正方形拼成一個大的正方形，然后利用兩種不同的方法計算這個大的正方形的面積，可以得到一個等式．例如：計算圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是（a+b）2；如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）如圖2，由幾個面積不等的小正方形和幾個小長方形拼成一個邊長為（a+b+c）的正方形，從中