絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設2（z+z）+3（z-z）=4+6i,貝ijz=（）

A.l-2zB.l+2zC.1+zD.1-/

2.已知集合5=卜卜=2〃+1,〃62},T={f'=4〃+l,"eZ},則S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命題〃：*￡R,sinxv1；命題q:VxwR,e*Nl，則下列命題中為真命題的是（）

A.PMB.-PgC.D.

1—Y

4.設函數/（x）=——，則下列函數中為奇函數是（）

1+x

A../"（X-1）-1B./（X—1）+1C./（x+1）-1D..f（x+l）+l

5.在正方體ABC?！?月￡。中，P為的中點，則直線與AQ所成的角為（）

兀f兀一兀_兀

A.-B.-C.—D.一

2346

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分

配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

17T

7.把函數y=/（x）圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的3倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移人個

23

單位長度，得到函數丁=5皿卜一?

的圖像，則/(x)=()

.(XlxX71

A.sin------B.sin—+一

(212212

sin2》-上D.sinI2xH---

C.I12I12

7

8.在區間(0,1)與(1,2)中各隨機取1個數，則兩數之和大于一的概率為()

4

7B喘0卷

A.D

9-1

9.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點E，”,G

在水平線AC上，OE和Q是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”,

GC和硝都稱為“表目距”，GC與咫的差稱為“表目距的差”則海島的高鉗二()

表高X表距主言表高*表距.一表高

A表目距的差一表問

表目距的差

表高X表距c表高X表距一

c表目距的差+表距表目距的差表距

10.設aH0,若x=a為函數/(x)=a(x—a)2(x—。)的極大值點，則()

Aa<bB.a>bC.ab<a2D.ah>a2

尤22

11.設8是橢圓C：F+=1(?>/?>0)上頂點，若C上的任意一點戶都滿足1尸3區3,則C的離心

a瓦

率的取值范、圍是()

D.。，；

A.與B.plc

7-H

12.設Q=21nl.01,Z?=lnl.O2,c=—1.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C:二—丁=1（根＞0）的一條漸近線為Jir+my=（），則C的焦距為.

m

14.已知向量￡=（1,3）,B=（3,4）,若則4=

15.記AAHC的內角4,B,C的對邊分別為a",c,面積為百，3=60。，/=3加，則）=

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選

側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖④圖⑤

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.某廠研制了一種生產高精產品設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和

一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為1和7,樣本方差分別記為S；和S；.

⑴求X,y,S；,S；；

i,則認為

(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果,_元22.

新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).

18.如圖，四棱錐P—A8CZ)的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,〃為3c的中點，且

PBLAM.

⑴求8C；

(2)求二面角A—PM—3的正弦值.

21

19.記S,為數列｛%｝前〃項和，/為數列｛S.｝的前〃項積，已知相+區=2.

⑴證明：數列｛4｝是等差數列；

(2)求｛4｝的通項公式.

20.設函數/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數y=?(x)的極值點.

(1)求4；

x+r(%)

(2)設函數g(x)=―證明:g(x)<L

xf[x｝

21.已知拋物線。：彳2=2外(0>0)的焦點為尸，且尸與圓M:l+(y+4)2=1上點的距離的最小值為

4.

(1)求〃；

(2)若點P在M上，24,是C的兩條切線，A,B是切點，求△尸AB面積的最大值.

(二)選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.

［選修4-4：坐標系與參數方程］(10分)

22.在直角坐標系宜方中，G)C的圓心為。(2,1),半徑為1.

(1)寫出OC的一個參數方程；

(2)過點尸(4,1)作OC的兩條切線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線

的極坐標方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數,f(x)=|x-a|+k+3|.

(1)當。=1時，求不等式/(x)?6的解集；

(2)若〃x)>—。，求a的取值范圍.

絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設2（z+z）+3（z-z）=4+6i,則2=（）

A.1-2/B.l+2zC.1+zD.1-i

【答案】C

【解析】

【分析】設z=a+4,利用共輾復數的定義以及復數的加減法可得出關于。、。的等式，解出這兩個未知

數的值，即可得出復數z.

【詳解】設2=。+初，則胃=。一次，則2（z+z）+3（z-z）=4a+6友=4+6,，

4a=4

所以，〈，解得。=8=1,因此，z=1+/.

6b=6

故選：C.

2,已知集合5=［卜=2〃+1,〃62},T={4f=4〃+l,〃eZ},則S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】

【分析】分析可得T=S,由此可得出結論.

【詳解】任取fwT,則f=4"+l=2?（2〃）+l,其中〃eZ,所以，t^S,故T=

因此，SC\T=T.

故選：C.

3.已知命題p：玉eR,sinx<1；命題,e1'1>j,則下列命題中為真命題的是()

A.P^qB.C.PAfD.->(pvq)

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函數的有界性確定命題?的真假性，由指數函數的知識確定命題夕的真假性，由此確定正

確選項.

【詳解】由于—iWsinxWl,所以命題「為真命題；

由于國之。，所以所以命題q為真命題；

所以〃八4為真命題，—p八q、〃八r、」(pvq)為假命題.

故選：A.

4.設函數/(x)=±W,則下列函數中為奇函數的是()

1+x

A.f(x—1)—1B./(x-1)+1C../(x+1)-1D.f(x+1)+1

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出選項的函數解析式，再利用奇函數的定義即可.

1_r9

【詳解】由題意可得/*)=——=-1+——，

1+X1+X

2

對于A,y(x-i)-i=一一2不是奇函數；

X

2

對于B,7(X—1)+1=一是奇函數；

X

2

對于c,y(x+i)-i=------2,定義域不關于原點對稱，不是奇函數；

x+2

2

對于D,/(X+1)+1=-,定義域不關于原點對稱，不是奇函數.

故選：B

【點睛】本題主要考查奇函數定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.

5.在正方體-中，尸為BQi的中點，則直線形與A2所成的角為（）

兀兀兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】平移直線A2至BG，將直線P8與AA所成的角轉化為PB與BG所成的角，解三角形即可.

【詳解】

如圖，連接6G，PG，P8,因為

所以NPBG或其補角為直線PB與AD］所成的角，

因為8用_L平面所以8g，PG，又PC1上BQi，BBiCBQi，

所以PG_L平面PBB、,所以pqj.PB,

設正方體棱長為2,則=20,P&=g,

sinZPBC,=所以

故選:D

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分

配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】

【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法

原理求得.

【詳解】根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中

任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位

置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有41種，根據乘法原理，完成這件事，共有

C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數的分配情況，然后利用先選后排

思想求解.

7.把函數y=/(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的5倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移§個

單位長度，得到函數》=$抽(％-￡］的圖像，則/*)=()

【答案】B

【解析】

71

【分析】解法一：從函數y=/(x)的圖象出發，按照已知的變換順序，逐次變換，得至勤=/2X------

.（萬）

即得了2%——?=sinx----,再利用換元思想求得y=fM的解析表達式;

<4,

解法二：從函數y=sin(x

出發，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到y=/(x)的解析表

達式.

【詳解】解法一：函數y=/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的;倍，縱坐標不變，得到y=/(2x)

的圖象，再把所得曲線向右平移?個單位長度，應當得到y=/的圖象，

根據已知得到了函數y=sin(無一北的圖象，所以/2卜一三=sin"）,

zt兀71t7C

令,!HiJx=-+—,x-------1-----

Wf234212

所以/(f)=sin(5+^),所以/(x)=sin[：+5

解法二：由已知的函數y=sin[x-7)逆向變換，

第一步：向左平移2個單位長度，得到y=sinx+g-g=sinx+三的圖象，

313I12)

第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y=sin[]+3]的圖象,

即為y=/(x)的圖象，所以/(力=$也心+總.

故選：B.

【點睛】本題考查三角函數的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎題，可以正向變換，也可以逆向變換求解，

關鍵是要注意每一步變換，對應的解析式中都是x的變換，圖象向左平移。個單位，對應x替換成x+a,

圖象向右平移“個單位，對應x替換成x-牢記“左加右減”口訣；圖象上每個點的橫坐標仰長或縮短到原

X

來的k倍，對應解析式中X替換成一.

K

7

8.在區間(0,1)與(1,2)中各隨機取1個數，則兩數之和大于一的概率為()

4

72392

A.-B.—C.—D.一

932329

【答案】B

【解析】

【分析】設從區間(0,1),。,2)中隨機取出的數分別為x,y,則實驗的所有結果構成區域為

。={(3)|0<x<l,l<y<2},設事件A表示兩數之和大于則構成的區域為

A="x,y)[0<x<l,l<y<2,x+yt1,分別求出。,A對應的區域面積，根據幾何概型的的概率公式即

可解出.

y

、2

7

B（oq）

【詳解】如圖所示:1

X

設從區間（0,1）,（1,2）中隨機取出的數分別為x,y,則實驗的所有結果構成區域為

Q=｛（x,y）|o<x<l,l<y<2｝,其面積為$=1x1=1.

設事件A表示兩數之和大于（，則構成的區域的A=｛（x,y）0<x<l,l<y<2,x+y）：｝,即圖中的陰影

13劣23S23

部分，其面積為集=1一一x-x-=—,所以P（A）=d=n

24432Sn32

故選：B.

【點睛】本題主要考查利用線性規劃解決兒何概型中的面積問題，解題關鍵是準確求出事件Q,A對應的區

域面積，即可順利解出.

9.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點E，H,G

在水平線AC上，OE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”,

GC和EH都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）

表高x表距D表高x表距主一

表目距的差+表目距的差一表圖

表高x表距「表高x表距―

,表目距的差表距

表目距的差

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出.

【詳解】如圖所示：

DFFHFGCG

由平面相似可知，——=——，一■=一■，而DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEH_CG_CG-EH_CG-EH

,而CH=CE-EH=CG-EH+EG,

AC-AH~~CH

表高x表距

即AB=CG—EH+EGXDE=EGXDE.DE+表高.

CG-EHCG-EH一表目距的差

故選：A.

【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉化即可解出.

10.設GHO,若x為函數〃x)=a(x-a)2(x—"的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】

【分析】結合對“進行分類討論，畫出/(x)圖象，由此確定正確選項.

【詳解】若a=。，則/(x)=a(x—a)3為單調函數，無極值點，不符合題意，故標b.

依題意，x=“為函數〃x)=a(x—々口》—Z?)的極大值點，

當”0時，由龍>人，/(%)<(),畫出“X)的圖象如下圖所示:

由圖可知b<a,a<0,故a匕〉

當a>0時，由時，/(%)>0,畫出/(力的圖象如下圖所示:

由圖可知h>a,a>0，故a/?〉".

綜上所述，加?>/成立.

故選：D

【點睛】本小題主要考查三次函數的圖象與性質，利用數形結合的數學思想方法可以快速解答.

22

11.設8是橢圓C:]+與=l(a>b>0)的上頂點，若C上的任意一點戶都滿足1尸3區3,則C的離心

ab

率的取值范圍是(

AM11D.*

A.—，1B.c

L7z-H.

【答案】c

【解析】

【分析】設由3((),。)，根據兩點間的距離公式表示出|P8|,分類討論求出|尸用的最大值，再

構建齊次不等式，解出即可.

22

222

【詳解】設。(%,%)，由8(0,力)，因為其+磐=1，a=b+c,所以

a~b~

(2\?2(.3\2,4

-=_+22

|P§|2=片+(%-好=4］一/+(y0^)"7Ty()~+—+a+b,

IhJh\cJc

>3

因為—b<y0"，當一彳w—b，即時，|盟:=4)2,^\PB\nm=2h,符合題意，由從2/可

得a222c2,即0<e?也；

2

當一耳>一人，即/<。2時，|PB|2=2+/+/，即4?+/+/<4〃，化簡得，(/—/)2。，顯

然該不等式不成立.

故選：C.

【點睛】本題解題關鍵是如何求出|「耳的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要根據定義域討論

函數的單調性從而確定最值.

12.設a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/LO4-1.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對。力的大小作出判定，對于〃與c,b與c的大小關系，

將0.01換成X,分別構造函數/(x)=21n(l+x)-Jl+4x+Lg(x)=ln(l+2x)-，1+4X+1,利用導數分

析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合40)=0,g(0)=0即可得出。與c,0與c的大小關系.

【詳解】?=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=^,

所以

下面比較c與。力的大小關系.

222

記〃x)=21n(l+x)-Jl+4x+lJiV(())=0,/(x)=

]+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x)-=2x-x2=x(2-x)

所以當0<v<2時,l+4x—(1+x)>0,即A/1+4x>(1+x),/(x)>0,

所以在［0,2］上單調遞增，

所以/(0.01)>/(O)=0即21nl.01>VT5?-1,即。>c;

2(Jl+4x-l-2x)

令g(x)=ln(l+2x)—A/TT^+1,則g(O)=O,g［x)22

l+2xJl+4x(l+x)Jl+4x

由于l+4x—(l+2x)~=Tx?,在x>0時,l+4x—(l+2x)~<0,

所以g'(x)<0,即函數g(x)在［0,+oo)上單調遞減,所以g(O.Ol)<g(O)=O,即lnL02<JE5?-1,即所c;

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，

利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C:二—產=1(m>())的一條漸近線為6x+/2=0,則C的焦距為

m

【答案】4

【解析】

【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出。力的關系，再結合雙曲線中從對應關系，聯立求解"？，再由

關系式求得C,即可求解

【詳解】由漸近線方程、Qx+my=()化簡得)，=-正X,即2=同時平方得耳=三，又雙曲線中

matnam~

31

/=〃?力2=1,故弓=上，解得,"=3,%=0(舍去)，c2=/+b2=3+i=4nc=2,故焦距2c=4

tnm

故答案為：4

【點睛】本題為基礎題，考查由漸近線求解雙曲線中參數，焦距，正確計算并聯立關系式求解是關鍵

14.已知向量￡=(1,3)石=(3,4),若(2—/1垃_1以則4=.

【答案】|3

【解析】

【分析】根據平面向量數量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因為￡一加=（1,3）-/1（3,4）=（1-3/1,3-4/1）,所以由倒一時可得，

3（1—32）+4（3—42）=（）,解得4=1.

3

故答案為：—.

【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數量積的坐標表示，設￡=（芯,,）石=（々,%）,

aA_b<=>a-b=0<=>x^x2+%%=（），注意與平面向量平行的坐標表示區分.

15.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為c,面積為6，3=60。，儲+02=3〃。，則人=

【答案】20

【解析】

【分析】由三角形面積公式可得QC=4,再結合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，S=>acsinB=更~ac=6，

A/1OC24

所以ac=4,a2+c?=12,

所以。2=a2+c2-2accosB=12-2x4x；=8,解得b=2及（負值舍去）.

故答案為：20.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選

側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

【答案】③④

【解析】

【分析】由題意結合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

【詳解】選擇側視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABCD-A與G9中，AB=BC=2,BB]=1,

分別為棱B居,BC的中點，

則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐E—A。尸.

故答案為：③④.

【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關

系.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和

一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為嚏和J,樣本方差分別記為和.

⑴求"S：,S；；

i,則認為

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果,_元22.

新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

【答案】（1）工=10,5=10.3,S：=0.036,￡=0.04；（2）新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備沒

有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)根據平均數和方差的計算方法，計算出平均數和方差.

(2)根據題目所給判斷依據，結合(1)的結論進行判斷.

……-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

［詳解］(］)x=----------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=--------------------------------------------------------=10.3,

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22,、…

--------------------------------------------------=0.04.

10

（2）依題意，y-x=0.3=2x0.15=2,0.152=2V0.025，=270.038,

U走延,所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備沒有顯著提高.

-Vio

18.如圖，四棱錐P—A3CD的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M為的中點，且

PB1AM.

(1)求BC；

（2）求二面角A—QM—3的正弦值.

【答案】（1）72；（2）—

14

【解析】

【分析】（1）以點。為坐標原點，D4、DC、OP所在直線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標系，設

BC=2a,由已知條件得出麗.而=0,求出。的值，即可得出8C的長；

（2）求出平面的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.

【詳解】（1）平面ABC。，四邊形ABC。為矩形，不妨以點。為坐標原點，DA.QC、DP所

在直線分別為X、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

設3c=2a,則0（0,0,0）、尸（0,0,1）、3（2”,1,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

則而=（2a,l,-1）,W=

■.PBLAM，則麗?病=—2/+1=0,解得。=J，故BC=2a=也;

2

（2）設平面PAW的法向量為加=（%,昨4）,則畫？=一當,1,0,AP=（-0,O,。，

—72

/TI?AM=----X,4-Vi=0I——?/二《

由121取%=J5,可得.=（j2J2）,

fh?AP--A/2XJ+ZJ=0

設平面PBAf的法向量為〃=（為0），3河=（一手,0,0,BP=（-V2,-l,lj,

7

V2

nBM--=0可得7=(0/,1),

由V2一取為=1

萬?BP=-V2X2-y2+z2=0

----------m-n335/14

cos<m,n>=pq-pf=-j=-f==-n-

局."v7x>/214

sin<詔,1>=Jl—cos?〈加5>=畫,

所以,

14

因此，二面角A—9—B的正弦值為叵.

14

【點睛】思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：

（1）建立合適的空間直角坐標系，寫出二面角對應的兩個半平面中對應的點的坐標；

（2）設出法向量，根據法向量垂直于平面內兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為

坐標平面，直接取法向量即可）；

（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，

從而得到二面角的余弦值.

21

19.記S,為數列｛%｝的前〃項和，2為數列｛S.｝的前〃項積，已知相+區=2.

（1）證明：數列｛包｝是等差數列；

（2）求｛4｝的通項公式.

[3,

—,n=1

2

【答案】（1）證明見解析；（2）an=1]

----1----i\，〃N2

〃（〃+1）

【解析】

21cc2"3

【分析】（1）由已知—+—=2得S“=丁、，且2聲0,取〃=1,得4=：,由題意得

七22b”T2

2bl2仇2h.2bh、

另七'…胡士■="，消積得到項的遞推關系互受？=管+｝，進而證明數列也（”｝是等差數列；

[3?

—=1

2

（2）由（1）可得々的表達式，由此得到5〃的表達式,然后利用和與項的關系求得見=｛1.

----7----2

〃（"+1）

2?2b

【詳解】（l）由已知晨+區=2得s,,=才、，且〃產。，b產3,

3

取另=1,由岳="得

由于〃，為數列｛S,,｝的前”項積,

2b,2b,2h,

所以-----------=-.....n..-b

八2瓦一12b2T2hn-1

所以2——的-----為

%,

2b「I2瓦一12bz-

2"+1_b“+i

所以

2%-1『

由于〃,用H0

21!其中nGN*

所以/kf即…=

M+I2

O|

所以數列｛2｝是以4=：為首項，以d=；為公差等差數列；

22

（2）由（1）可得，數列｛2｝是以4=白為首項，以d為公差的等差數列,

22

〃

b.=3F(772—I)X_I=1ld,

〃21722

S_2d_2+〃

”2b"71+〃’

3

當〃=1時，4=5]

2

2+〃1+〃1

當〃22時,a-S"_]，顯然對于不成立,

n1+〃n?(/?+1)?=1

3?

—,n=I

2

n，〃N2

〃-(J九+l)

【點睛】本題考查等差數列的證明，考查數列的前〃項和與項的關系，數列的前〃項積與項的關系，其中由

2%2%=勿"是關鍵一

備念T一券也得到走=〃川，進而得到

2%一12%-1a

步；要熟練掌握前"項和，積與數列的項的關系，消和（積）得到項（或項的遞推關系），或者消項得到和

（積）的遞推關系是常用的重要的思想方法.

20.設函數/（x）=ln（a-x）,已知x=0是函數y=獷（力的極值點.

（1）求〃;

X+f(X)

(2)設函數g(x)=.;、.證明:g(x)<l.

xf(x)

【答案】1;證明見詳解

【解析】

【分析】（1）由題意求出y',由極值點處導數為0即可求解出參數

%+ln(l—x)

（2）由（1）得g（x）%<1且%。0,分類討論xw（0,1）和x€（9,0）,可等價轉化為要

xln(l-x)

證g（x）<l,即證x+ln（l-在x?0,l）和X?YO,0）上恒成立,結合導數和換元法即可

求解

IY

【詳解】（1）由/（x）=ln（Q-x）n/“）=----,y=^（x）ny=ln（a-x）+-----,

x-ClX-Cl

又x=0是函數y=4（x）的極值點，所以y'（0）=lna=0,解得〃=1；

x+/(x)x+ln(l-x)

(2)由⑴得/(x)=ln(l-x),g(x)京rwhf且田，