專題3.13多項式乘以多項式（知識講解）【學習目標】1.會進行多項式與多項式的乘法計算．2.掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活運用運算律簡化運算.【要點梳理】多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【典型例題】類型一、多項式乘以多項式??直接運算??（x+p）（x+q）運算（解方程）1．【答案】．【分析】先利用多項式乘多項式法則計算，再利用去括號法則去括號后，合并同類項即可得到結果．解：原式．故答案為．【點撥】本題考查多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.舉一反三：【變式1】計算：（x2+3）（2x2﹣5）【答案】2x4+x2﹣15【分析】根據多項式乘多項式的運算法則計算即可.解：（x2+3）（2x2﹣5）=2x4﹣5x2+6x2﹣15

=2x4+x2﹣15【點撥】本題考查了多項式與多項式的乘法運算，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.【變式2】計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用多項式乘以多項式法則計算即可得到；解：（1）；（2）；（3）．【點撥】此題考查整式的乘法法則，熟練掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．2．若，求的值．【答案】．【分析】根據多項式乘以多項式的法則先計算（x+a）（x+b），然后求出a+b=3，ab=-4，再求即可．解：∵

∴

，．∴

．故答案為．【點撥】本題考查多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.舉一反三：【變式1】已知，，均為整數，且，求的所有可能值．【答案】，．【分析】根據多項式乘以多項式的計算法則求出即可得到，，由此進行求解即可．解：∵，∴，，∵a，b，均為整數，∴或或或或或或或，∴，或或，，或或m取的值有±5或±7．【點撥】本題考查的是多項式乘多項式，多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．【變式2】解方程：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）．【答案】x＝－1【分析】先根據多項式乘多項式法則去括號，再移項，合并同類項，化系數為1．解：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）x2－7x＋3x－21＋8＝x2－x＋5x－5x2－7x＋3x－x2＋x－5x＝－5＋21－8－8x＝8x＝－1．【點撥】本題考查的是多項式乘多項式，解答本題的關鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．類型二、多項式乘以多項式??化簡求值 ??求參數??不含（無關）問題3．先化簡，再求值：，其中，．，其中．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）先算多項式乘以多項式，單項式乘以多項式，再合并同類項，最后代值計算即可；（2）先算多項式乘以多項式，再合并同類項，最后代值計算即可．解：（1）原式，；當時，上式；（2）原式，；當時，上式．【點撥】本題考查整式的化簡求值．熟練的掌握多項式乘以多項式，單項式乘以多項式，合并同類項的法則是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】根據多項式的乘法進行化簡，然后將字母的值代入進行計算即可求解．解：原式；當時，原式．【點撥】本題考查了多項式的乘法的化簡求值，正確的去括號是解題的關鍵．【變式2】先化簡再求值：，其中；，其中．【答案】(1)；21 (2)；0【分析】（1）先根據整式混合運算法則進行化簡，然后再代入數據求值即可；（2）先根據整式混合運算法則進行化簡，再將代入數據進行計算即可．（1）解：當時，原式．（2）解：當時，原式．【點撥】本題主要考查了整式化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則，是解題的關鍵．4．若的展開式中不含和項，求：的值．求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）原式利用多項式乘以多項式法則計算得到結果，由結果不含和項，列方程求出與的值即可，（2）把與的值代入求值．解：（1）∵原式展開式中不含項和項，∴解得．（2）當時，原式【點撥】本題考查了多項式乘以多項式，多項式的項的定義，能得出關于的方程是解此題的關鍵．舉一反三：【變式1】（1）試說明代數式的值與s，t的取值有無關系．（2）已知多項式ax﹣b與的乘積展開式中不含x的一次項，且常數項為﹣4，試求的值．【答案】（1）見分析；（2）1【分析】（1）根據多項式乘多項式法則和單項式乘多項式法則對原式進行計算，再合并同類項，可得結果為，即可解答；（2）根據多項式乘多項式法則對原式進行計算，然后合并同類項，再根據題意可得x的一次項系數為0，常數項為﹣4，列式求解得到a和b的值，即可求得的值.解：（1）（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）．故代數式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值與s的取值有關系，與t的取值無關系；（2）∵，又∵展開式中不含x的一次項，且常數項為﹣4，∴，解得：，∴．【點撥】本題考查整式的混合運算和無關型問題，與哪一項無關即是該項的系數為0，熟練掌握多項式乘多項式的法則是解題的關鍵．【變式2】小紅準備完成題目：計算，她發現第一個因式的一次項系數被墨水遮擋住了．她把被遮住的一次項系數猜成3，請你完成計算：；老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含一次項的，”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數是多少？【答案】(1) (2)2【分析】（1）根據多項式乘以多項式的計算法則求解即可；（2）設第一次因式的一次項系數為a，則原題目變為，根據多項式乘以多項式的計算法則計算出結果，再根據結果不含一次項即一次項系數為0進行求解即可．（1）解：；（2）解：設第一次因式的一次項系數為a，則原題目變為，，∵的計算結果不含一次項，∴，∴，∴被遮住的一次項系數是2．【點撥】本題主要考查了多項式乘以多項式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．類型三、多項式乘以多項式??圖形問題 ??規律問題5．聰聰和同學們用2張型卡片、2張型卡片和1張型卡片拼成了如圖所示的長方形．其中型卡片是邊長為的正方形；型卡片是長方形；型卡片是邊長為的正方形．請用含a、b的代數式分別表示出型卡片的長和寬；如果，，請求出他們用5張卡片拼出的這個長方形的面積．【答案】(1)型卡片的長為：，寬為：(2)所拼成的長方形的面積為364【分析】（1）結合圖形進行分析得出型卡片的長和寬即可；（2）根據圖形以及第（1）問求出的型卡片的長和寬即可表示拼出的長方形的面積．解：（1）由題意得：型卡片的長：，寬為：；（2）所拼成的長方形的面積為：，當，時，原式=．【點撥】本題主要考查了多項式乘多項式，解答的關鍵是得出型卡片的長和寬．舉一反三：【變式1】圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積：方法一：_____________；方法二：_____________．若圖2中大正方形邊長為5，小長方形面積為4，請跟據第（1）題的計算求小正方形的邊長及小長方形的長與寬．【答案】(1)， (2)小正方形的邊長為3；小長方形的長為4，寬為1【分析】（1）陰影部分可用“正方形面積=邊長×邊長”表示，也可用大正方形面積減去四個長方形面積表示；（2）根據題意可得：，根據（1）中得到的兩個代數式相等，可求出的值，構建二元一次方程組，即可解答．（1）解：根據題意得：陰影部分的邊長為：，∴陰影部分面積可表示為：，大正方形的邊長為：，∴陰影部分面積可表示為：，故答案為：，．（2）∵大正方形邊長為5，小長方形面積為4，∴，∵，∴，則，聯立得：，解得：，∴小正方形的邊長為3，小長方形的長為4，寬為1．【點撥】本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是根據圖形，找出陰影部分面積的兩種表示方式．【變式2】如圖所示，直角是“陽光小區”內一塊空地，已知米，米，若E為邊的中點，，現打算在陰影部分種植一片草坪，則這片草坪的面積是多少平方米？【答案】【分析】利用的面積減去的面積即可得到陰影部分的面積．解：由題意得：，，則草坪的面積．答：這片草坪的面積是平方米．【點撥】此題考查整式乘法的實際應用，整式的混合運算，正確理解題意列式計算是解題的關鍵．6．請同學觀察、計算、思考完成下列問題：計算：（1）______；（2）______；（3）______；猜想并驗證：（4）______；思考：（5）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根據多項式乘多項式計算即可；（2）根據多項式乘多項式計算即可；（3）根據多項式乘多項式計算即可；（4）根據多項式乘多項式計算即可；（5）將所求式子變形，再計算即可．解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3），故答案為：；（4），故答案為：；（5）．【點撥】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，發現式子結果的特點．舉一反三：【變式1】觀察下列各式：根據以上規律，則___________．你能否由此歸納出一般規律___________．根據以上規律求的值．【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根據給出式子的規律書寫即可；（2）根據給出式子的規律即可得出結果；（3）根據（2）中的規律計算即可；解：（1）∵，，，∴；故答案是：．（2）根據題意得：；故答案是：；（3）∵，∴．【點撥】本題主要考查了多項式乘法的規律題，準確計算是解題的關鍵．【變式2】探究應用：計算______________； ______________．上面的整式乘法計算結果很簡潔，你又發現一個新的乘法公式：______________（請用含a，b的字母表示）．下列各式能用你發現的乘法公式計算的是______．A．

B．C．

D．(4)直接用公式計算：______．【答案】(1)； (2) (3)C【分析】（1）按多項式的乘法法則進行展開后，合并同類項即可得；（2）根據（1）中的計算進行總結即可；（3）根據（2）中總結的公式特點進行判斷即可；（4）利用（2）中的公式進行計算即可．（1）解：；；故答案為：；；（2）解：根據（1）得：，∴發現一個新的乘法公式：；故答案為：；（3）解：A、，不符合（2）中公式，故本選項不符合題意；B、，不符合（2）中公式，故本選項不符合題意；C．，符合（2）中公式，故本選項符合題意；D．，不符合（2）中公式，故本選項不符合題意；故選：C；（4）解：．【點撥】本題考查了多項式乘多項式及探索規律題，熟練掌握多項式乘多項式法則是解題的關鍵．多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．類型四、多項式乘以多項式混合運算??圖形問題??規律問題7．計算：（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據單項式乘多項式的運算法則進行計算即可；（2）根據多項式乘多項式的運算法則進行計算即可．解：（1）；（2）．【點撥】本題考查了單項式乘多項式以及多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】計算：； (2)．【答案】(1)； (2)．【分析】（1）根據單項式乘多項式法則進行計算；（2）根據多項式乘多項式法則展開，再合并同類項即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【點撥】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【變式2】計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）連續兩次應用平方差公式計算即可；（2）先用平方差，再用完全平分公式展開計算即可；解：（1）原式．（2），，，，．【點撥】本題主要考查了整式乘法的公式運用，準確計算是解題的關鍵．8．先化簡，再求值：，其中，.【答案】，．【分析】原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式，以及多項式乘以多項式法則計算，去括號合并后利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結果，把與的值代入計算即可求出值．解：，當，時，原式．【點撥】此題考查了整式的混合運算化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：，其中，．【答案】；【分析】根據整式的運算法則化簡，再代入x，y即可求解．解：將，代