學年天水市一中高二數學下學期第一學段檢測試卷（滿分：150分時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點為（

）A． B． C． D．2．若函數在處的導數等于，則的值為（

）A． B． C． D．3．若在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示，則邊上的中線的長是（

）A． B．2 C． D．34．函數的圖象大致為（

）A．B．

C．

D．

5．函數的單調遞減區間為（

）A． B． C． D．6．如圖1，現有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．7．已知，則大小關系為（

）A． B． C． D．8．若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．e D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知向量，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．10．定義在上的可導函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．-2是函數的極大值點，-1是函數的極小值點B．0是函數的極小值點C．函數的單調遞增區間是D．函數的單調遞減區間是11．已知函數存在個不同的正數，，使得，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5 B．的最大值為4C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，若，則.13．對上可導的函數，若滿足，且，則的解集是．14．已知定義域為的函數，對，若存在，對任意的，有恒成立，則稱為函數的“特異點”.函數在其定義域上的“特異點”個數是個.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，．

(1)求線段的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．16．已知函數，且．(1)求的值；(2)設，求過點的切線方程．17．已知函數．(1)求證：當時，曲線與直線只有一個交點；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實數的取值范圍．18．二十大報告中提出：全面推進鄉村振興，堅持農業農村優先發展.小王大學畢業后決定利用所學專業回鄉自主創業，生產某農副產品.經過市場調研，生產該產品需投入年固定成本4萬元，每生產萬件，需另投入流動成本萬元.已知在年產量不足6萬件時，，在年產量不小于6萬件時，.每件產品售價8元.通過市場分析，小王生產的產品當年能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本）(2)年產量為多少萬件時，小王在這一產品的生產中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？19．若時，函數取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點.已知函數，其中為正實數.(1)若函數有極值點，求的取值范圍；(2)當和的幾何平均數為，算術平均數為.①判斷與和的幾何平均數和算術平均數的大小關系，并加以證明；②當時，證明：.1．B【分析】結合空間直角坐標系中點的對稱性計算即可得.【詳解】設所求點的坐標為，根據關于平面對稱的兩個點的橫縱坐標不變，豎坐標互為相反數，則有，故該點為.故選：B.2．D【分析】根據給定條件，利用導數的定義直接計算作答.【詳解】由已知得．故選：D．3．C【分析】利用中點坐標公式求出中點的坐標，根據空間兩點間的距離公式即可得出中線長.【詳解】由圖可知：，，，由中點坐標公式可得的中點坐標為，根據空間兩點間距離公式得邊上的中線的長為.故選：C4．C【分析】根據題意，求得為偶函數，再利用導數求得函數的單調區間，結合選項，即可求解.【詳解】由函數的定義域為，且，所以函數為偶函數，當時，，則，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.故選：C.5．A【分析】直接求導，再令，解出不等式即可.【詳解】，令，解得，所以的單調遞減區間為，故選：A.6．C【分析】先根據圓錐的體積公式列出等式得出；再根據導數的運算得出；最后令即可求解.【詳解】設注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，則，得.因為，所以當時，，即圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為.故選：C7．D【分析】構造函數，研究其在上的單調性即可得.【詳解】令，則，當時，，故在上單調遞減，故，即.故選：D.8．A【分析】將已知不等式變形為，令，將問題轉化為在上單調遞增，利用導數可求得單調性，由此可得的最大值.【詳解】由可得，由,且,所以，即，令，則在上單調遞增，所以，令，則,當時，，此時在上單調遞增；當時，，此時在上單調遞減；所以，故.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數不同函數值之間大小關系的比較問題，通過構造函數的方式，將問題轉化為函數在區間內單調的問題.9．AC【分析】根據題意，由空間向量的坐標運算，代入計算，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】因為，則，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；故選：AC10．BC【分析】根據導函數的正負，即可判斷原函數單調性和極值，得出正確選項.【詳解】由題意可得，當時，，當時，，所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以0是函數的極小值點，所以B，C正確，A，D錯誤.故選：BC11．BD【分析】作出的圖象，利用的幾何意義是過原點的直線與相交點的斜率，結合圖象進行求解即可.【詳解】的幾何意義為過點，的直線的斜率.如圖所示，易知直線與的圖象最多只有4個交點，故的最大值為4，故A錯誤，B正確.當直線與曲線相切時，取得最大值，設切點為，則該直線的斜率為，又，則，所以，解得，得，所以故C錯誤，D正確.故選：BD.12．【分析】由空間向量數量積垂直的坐標表示列出方程即可求解.【詳解】已知向量，若，則，解得.故答案為：.13．【分析】依據題意構造函數，用導數判斷函數的單調性，再解不等式即可.【詳解】令，，而，易知，故，則在上單調遞增，而，若，則，則.故答案為：14．1【分析】根據題意知“特異點”為的極大值點，所以通過分析的極大值點個數即可得解.【詳解】由題意知“特異點”為的極大值點，因為，所以，當時，，當時，，又，，故不存在.又因為，易知：當時，單調遞增，故不可能有“特異點”，當時，設，則，令，則；，則；所以在上單調遞增，在上單調遞減，故為的極大值點，即為的“特異點”.綜上所述，在其定義域內僅有一個“特異點”.故答案為：1.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是理解“特異點”的意義，發現其為的極大值點，從而得解.15．(1)；(2).【分析】（1）利用向量對應線段位置關系，應用向量加減法幾何意義用，，表示出，再應用向量數量積的運算律求模長即可；（2）應用向量加減幾何意義和數量積的運算律求、，再利用夾角公式求異面直線與所成角的余弦值．【詳解】（1）設，，，則，，，又，則.（2）由，則，則.，故異面直線與所成角的余弦值為．16．(1)(2)【分析】（1）利用導數求解參數即可.（2）先設切點，利用導數表示斜率，建立方程求出參數，再寫切線方程即可.【詳解】（1）定義域為，，而，而已知，可得，解得，故的值為，（2），設切點為，設切線斜率為，而，故切線方程為，將代入方程中，可得，解得(負根舍去)，故切線方程為，17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）當時，對求導，分析函數單調性，確定圖象，可證明曲線與直線只有一個交點.（2）將既存在極大值，又存在極小值，轉換為有兩個變號零點問題，討論零點位置可得實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，函數，求導得：，令，得；令，得；則函數在上遞增，在上遞減，故，所以曲線與直線只有一個交點.（2）函數的定義域為，求導得，設，令，解得，.因為既存在極大值，又存在極小值，即在有兩個變號零點，則，解得且，綜上所述：的取值范圍為.18．(1)(2)當年產量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.【分析】（1）分和討論計算即可；（2）當時，利用導數求出其最值，時，利用基本不等式求出其最值，比較大小即可.【詳解】（1）由題意，當時，，當時，.所以.（2）當時，，令，解得.當，，當，；則在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，當時，，當且僅當，即時取等號.綜上，當年產量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.19．(1)(2)①答案見解析；②證明見解析【分析】（1）求導之后構造函數，利用二次函數的性質，利用對稱軸，判別式，特殊值討論即可；（2）①證明右邊時先將不等式變形為，令，構造函數，求導，用導數分析單調性和極值即可證明；再將左邊變形為，令，同樣構造函數，求導，用導數分析單調性和極值即可證明.②恒成立問題，作差之后利用一問的結論構造函數，求導，分析單調性，再求最大值小于零即可.【詳解】（1）在上有變號零點，即在上有變號零點.①若，即時，只需矛盾，②若，即