2023-2024學(xué)年江西省宜春市九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

1.觀察如圖所示的月餅圖案，下列說法正確的是（）

A.它是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形

B.它是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形

C.它是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形

D.它既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形

2.下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（）

A.尸（尤-1）2B-y=\^2X2-1

C.y—3x2+2x-1D.y=(x+1)2-x2

3.拋物線產(chǎn)，鼠-7尸+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

)

A.(7,-5)B.(-7,-5)C.(7,5)D.(-7,5)

4.如圖，正方形ABC。和正方形所GO的邊長(zhǎng)都是2,正方形EFG。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)

正方形重疊部分的面積是（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）N-4x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）

A.心-4B.a>-3C.心-3且D.a>-3且"1

6.如圖，在△ABC中，ZBAC=l20°,AB+AC=4,將8c繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到

CD,則線段的長(zhǎng)度的最小值是（）

A.473B.3百c.2V3D.M

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

7.一種紀(jì)念品經(jīng)過兩次漲價(jià)，從原來每個(gè)76.8元漲至現(xiàn)在的120元，則平均每次漲價(jià)的百

分率是%.

8.已知XI,尤2是關(guān)于X的一元二次方程N(yùn)+3x+7"=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且+1=1,則機(jī)

X1x2

的值為.

9.已知點(diǎn)A(a,1)與點(diǎn)8(-3,-1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=.

10.已知點(diǎn)A(4,yi),B(近,>2),C(-2,券)都在二次函數(shù)y=(x-2)2-1的圖

象上，則yi、>2、/的大小關(guān)系是.

11.對(duì)于實(shí)數(shù)a,6定義運(yùn)算“※”如下：a^b=ab2+2ab,例如1X2=1X22+2X1X2=8,

則方程供%=-1的解為.

12.已知矩形ABC。中，AD=5,AB=3,現(xiàn)將邊繞它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)另一端點(diǎn)恰

好落在邊BC所在直線的點(diǎn)E處時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度為.

三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)(尤-2)2=4；

(2)x2-3x+l=0.

14.如圖，將Rt^ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到B'C,連接A4',AC

=4.

(1)求A'A的長(zhǎng)；

(2)若Nl=15°,求NW的度數(shù).

A

15.已知拋物線與x軸的交點(diǎn)是A（-1,0）,B（3,0）,經(jīng)過點(diǎn)C（0,3）.

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式;

（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為求的面積.

16.杭州亞運(yùn)會(huì)期間，某商店銷售一批亞運(yùn)會(huì)吉祥物掛件，每個(gè)進(jìn)價(jià)13元，規(guī)定銷售單價(jià)

不低于20元.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為20元時(shí)，每月可售出200個(gè)，銷售單

價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10個(gè)，現(xiàn)商店決定提價(jià)銷售.

（1）漲價(jià)多少時(shí)，利潤(rùn)為1620元；

（2）將亞運(yùn)會(huì)吉祥物掛件銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商店每天銷售亞運(yùn)會(huì)吉祥物掛件獲得

的利潤(rùn)y最大？最大利潤(rùn)是多少元？

17.如圖1四邊形ABC。是正方形；如圖2四邊形ABCD是矩形，△AM。是等腰三角形.請(qǐng)

只用無刻度的直尺按要求畫圖.

（1）在圖1中，畫出正方形ABCD的對(duì)稱中心。；

（2）在圖2中，畫出線段BC的中點(diǎn)N；

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.已知函數(shù)〉=（m+3）x（N+M-Z）是關(guān)于x的二次函數(shù).

（1）求機(jī)的值；

（2）當(dāng)相為何值時(shí)，該函數(shù)圖象的開口向下？

（3）當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，該函數(shù)有最小值？

19.如圖，△ABC中，AB=AC=1,/A4c=45°，斯是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)。.

(1)求證：BE=CF；

(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求8。的長(zhǎng).

E

20.二次函數(shù)y=a/+bx+c(a#0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出不等式辦2+bx+c>0的解集；

(3)若方程依2+桁+°=%有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是

五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)

21.已知關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2日+部+%+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)試求k的取值范圍；

(2)若x：+x；=10，求左的值；

(3)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為xi,及，且滿足|刈+|及|=2,試求4的值.

22.閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：

小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y=〃iN+0ix+ci(mWO,a\,

b\,Cl是常數(shù))與(〃2W0,42,歷，C2是常數(shù))滿足〃1+〃2=0,b\=bi,

ci+c2=0,則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)y=2N-3x+l的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，

小明是這樣思考的，由函數(shù)y=2N-3x+l可知，41=2,b\=-3,ci=l,根據(jù)〃1+。2=0,

b{=bl,Cl+C2=0,求出〃2,岳，。2就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

請(qǐng)思考小明的方法解決下面問題：

(1)寫出函數(shù)y=N-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

(2)若函數(shù)>=5爐+(777+1)x+〃與y=-5N-"x-3互為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，求(m+n)2023

的值；

(3)已知函數(shù)y=2(x-1)(x+3)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),

與>軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A,B,C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是4,Bi,CI,試證明：經(jīng)過點(diǎn)4,

Bi,G的二次函數(shù)與y=2(x-1)(尤+3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

六、解答題(本大題共12分)

23.如圖，在△A5C中，ZABC=90°,BA=BC.將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到

線段A。，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接。E交AC于點(diǎn)R連接

(1)求證：FB=FD；

(2)點(diǎn)”在邊8c上，且BH=CE,連接AH交8產(chǎn)于點(diǎn)N.

①判斷A8與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②連接CM若A8=2,請(qǐng)直接寫出線段CN長(zhǎng)度的最小值.

3

參考答案

一、選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

1.觀察如圖所示的月餅圖案，下列說法正確的是（）

A.它是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形

B.它是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形

C.它是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形

D.它既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形

【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊,

直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.據(jù)此判斷即可.

解：該圖是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，熟練掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱

圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.

2.下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（）

2

A.尸（X-1）2B.y=&x-l

C.y—3x2+2x-1D.y=（x+1）2-x2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可.

解：A.y=（x-1）2是二次函數(shù)，不符合題意；

B.y=&x2-l是二次函數(shù)，不符合題意；

C.y=3尤2+2x-1是二次函數(shù)，不符合題意；

D.y=（x+1）2-X2=2X+I是一次函數(shù)，符合題意;

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的定義："形如y=〃N+Zzx+c(oWO),y=a(x-/z)2+k

(〃W0),y=a(x-h)2(tzv￡O)的函數(shù)是二次函數(shù).

3.拋物線丫4(乂-7產(chǎn)+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

O

A.(7,-5)B.(-7,-5)C.(7,5)D.(-7,5)

【分析】直接由拋物線解析式可求得答案.

解：：拋物線尸工(x-7)2+5,

3

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：(7,5),

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y

=a(x-/z)2+左中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為x=〃.

4.如圖，正方形ABC。和正方形跖GO的邊長(zhǎng)都是2,正方形ETGO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)

正方形重疊部分的面積是()

AD

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OB=OC,ZOBA=ZOCB=45°,ZBOC=ZEOG=

90°,推出N50N=NM0C,證出△03N之△OCM,即可求解.

解：如圖，設(shè)AB與OE交點(diǎn)N,3C與OG交點(diǎn)

F

???四邊形ABCD和四邊形EFGO都是正方形，

：.OB=OC,ZOBA=ZOCB=45°,ZBOC=ZEOG=90°,

工ZBON=ZMOC.

在△OBN與△OCM中，

，ZOBN=ZOCH

，OB=OC，

ZBON=ZCOM

:AOBN名AOCM(ASA),

??SLOBN=S&OCM,

S四邊形OMBN=SAOBCES正方形ABCDh^X2X2=1-

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，正

確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

5.已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)N-4x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是()

A.-4B.a>-3C.a》-3且aWlD.a>-3J!La^l

【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到a-1W0且A=(-4)2-4(a

-1)X(-1)20,然后求出兩不等式的公共部分即可.

解：根據(jù)題意得a-1W0且A=(-4)2-4(a-1)X(-1)20,

解得0》-3且aWl.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程辦2+以+0=0(aWO)的根與4=62-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.

6.如圖，在△ABC中，ZBAC=120°,AB+AC=4,將8C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到

CD,則線段的長(zhǎng)度的最小值是()

A.4^3B.373C,273D.M

【分析】在AC的上方作/ACM=120。，且使CM^CA,連接AM,DM.設(shè)48=尤，

則AC=4-x=CM,根據(jù)ASA證明△BACgADMC得出DM=BA=x,ZCMD=ABAC

=120°,得出NAM￡)=90°,即可推出結(jié)論.

解：如圖，在AC的上方作NACM=120。，且使CM=CA,連接AM,DM.

設(shè)AB=x,則AC=4-x=CM,

?1-AM=V3AC=V3(4-x)-

:將BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到CD,

：.ZBCA^ZACD=120,

又???NACD+NOCM=NACM=120°,

???ZACB=ZDCM,

：.ABAC^ADMC(ASA),

：.DM^BA=x,ZCMD=ZBAC=120°.

ZAMD=90°,

：.AD2=AM2+DM2=3(4-x)2+x2=4(x-3)2+12^12,

V0<x<4,

???A0的最小值為KjQ.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

7.一種紀(jì)念品經(jīng)過兩次漲價(jià)，從原來每個(gè)76.8元漲至現(xiàn)在的120元，則平均每次漲價(jià)的百

分率是25%.

【分析】設(shè)平均每次漲價(jià)的百分率是x,根據(jù)增長(zhǎng)率問題建立方程求出其解可以得出答案.

解：設(shè)平均每次漲價(jià)的百分率是x,由題意，得，

76.8(1+x)2=120,

解得：xi=0.25,xi=-2.25(不符合題意，舍去)，

...x=0.25=25%,

故答案為：25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了增長(zhǎng)率問題在實(shí)際問題中的運(yùn)用及列一元二次方程解實(shí)際問題的能

力.

8.已知xi,尤2是關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)+3x+機(jī)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且+1=1,則機(jī)

X1x2

的值為-3.

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到打+及=-3,xi-X2=m,結(jié)合

11x1+x

-_9-=1，即可求解.

X1x2xlx2

解：,.,尤1,X2是關(guān)于X的一元二次方程x2+3x+%=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

xi+x2=~3,x^xi=m,

..11xl+x21

----4----=-------=1>

XiX2X[X2

解得：m=-3,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解

答本題的關(guān)鍵.

9.已知點(diǎn)A(a,1)與點(diǎn)2(-3,T)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=3.

【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出”的值，進(jìn)而得出答案.

解：?.,點(diǎn)A(a,1)與點(diǎn)8(-3,-1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.".a—3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

10.己知點(diǎn)A(4,yi),B(a，>2),C(-2,”)都在二次函數(shù)y=(x-2)2-1的圖

象上，則yi、>2、丫3的大小關(guān)系是y3>yi>y2.

【分析】分別計(jì)算出自變量為4,迎和-2時(shí)的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值得大小即可.

解：把A(4,yi),B(A/2-”)，C(-2,2)分別代入>=(x-2)2-1得：

yi—(x-2)2-1=3,,2=(x-2)2-1=5-4y/=(尤-2)2-1=15,

V5-4/2<3<15,

所以

故答案為y3>yi>y2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：明確二次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式.

11.對(duì)于實(shí)數(shù)。，6定義運(yùn)算“※”如下：a^b=ab2+2ab,例如1X2=1X22+2X1X2=8,

則方程-1的解為-1.

【分析】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)〃※6=。按+2",由1※1

=-1,可得：x2+2x=-1,據(jù)此求出x的值為多少即可.

解：:〃※6=ab2+2ab,

由1※%=-1,得：x2+2x=-1,即N+2X+1=0,

（X+1）2=0,

解得：x=-19

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握新定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

12.已知矩形A3C。中，AD=5,AB=3,現(xiàn)將邊A。繞它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)另一端點(diǎn)恰

好落在邊2C所在直線的點(diǎn)E處時(shí)，線段。E的長(zhǎng)度為\/~行或3\府或5.

【分析】分兩種情形：繞A旋轉(zhuǎn)或繞D旋轉(zhuǎn)，利用勾股定理求解即可.

解:如圖，

：.AB=CD=3,AD=BC=5,/ABC=/DCB=9Q°,

當(dāng)AD繞A旋轉(zhuǎn),A￡)=AEI=AE2=5時(shí)，3昂=2瓦=

：.CEi=l,CE2=9,

22D￡22

?'-DEI=^CD+CE,=Vio-2=-JCD+CE2=3VIo>

當(dāng)A。繞。旋轉(zhuǎn)時(shí)，DE3=DEA=5,

綜上所述，滿足條件的。E的值為J記或3J記或5,

故答案為：百5或30[或5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)(x-2)2=4；

(2)x2-3x+l=0.

【分析】(1)利用直接開方法解方程即可；

(2)利用配方法解方程即可.

解：(1)(x-2)2=4,

x-2=±2,

解得：?=4,X2=0；

(2)x2-3x+l=0,

Q2Q2

X2-3X+(y)=(y)-1，

(第)2①

3.V5

v--=+---，

2-2

解得.后-3一史一

用午用.X]-0>X2-口?

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接開方法.

14.如圖，將Rt^ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到B'C,連接A4',AC

=4.

(1)求A'A的長(zhǎng)；

(2)若/1=15°,求/W的度數(shù).

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=CA'=4,ZACA'=90°,利用勾股定理即可

求出A'A；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△CAA'是等腰直角三角形，且/1=15°,求出/CB'A',

ZCB'A'=ZCAB,即可解決問題.

解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=CA'=4,ZACA'=90°,

?'-A7A=7AC2+AZC2=4^;

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC^CA'=4,ZACA1=90°,

：.ZCA'A=45°,

VZ1=15",

：.ZCA'B'=45°-15°=30°,

：.ZCAB=ZCA'B1=30°,

/.ZA'AB=45a+30°=75°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌

握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)算.

15.己知拋物線與x軸的交點(diǎn)是A(-1,0),B(3,0),經(jīng)過點(diǎn)C(0,3).

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為求的面積.

【分析】(1)由于已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x-3),

然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可；

(2)把(1)中的解析式配成頂點(diǎn)式得到〃點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式

的面積.

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),

把。(0,3)代入得：(-1)X3〃=3,

解得a=-1.

???拋物線解析式為y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3；

(2)-N+2%+3=-(x-1)2+4,

：.M(1,4),

VAB=4,

?1'S/kABM^X4X4=8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，函數(shù)圖象的對(duì)稱性是解題關(guān)鍵.

16.杭州亞運(yùn)會(huì)期間，某商店銷售一批亞運(yùn)會(huì)吉祥物掛件，每個(gè)進(jìn)價(jià)13元，規(guī)定銷售單價(jià)

不低于20元.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為20元時(shí)，每月可售出200個(gè)，銷售單

價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10個(gè)，現(xiàn)商店決定提價(jià)銷售.

（1）漲價(jià)多少時(shí)，利潤(rùn)為1620元；

（2）將亞運(yùn)會(huì)吉祥物掛件銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商店每天銷售亞運(yùn)會(huì)吉祥物掛件獲得

的利潤(rùn)y最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【分析】（1）設(shè)上漲x元，則每個(gè)紀(jì)念品利潤(rùn)為（20+x-13）元，銷售量為（200-10x）

個(gè)，根據(jù)“總利潤(rùn)=每個(gè)紀(jì)念品利潤(rùn)X銷售量”列出關(guān)于尤的方程，解之可得；

（2）依據(jù)（1）中的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

求解可得.

解：（1）設(shè)上漲x元，則每個(gè)紀(jì)念品利潤(rùn)為（20+尤-13）元，銷售量為（200-10%）個(gè),

由題意得：（20+X-13）（200-10x）=1620,

整理得：N-13x+22=0,即（x-2）（%-11）=0,

解得：尤1=11,無2=2,

答：漲價(jià)11元或2元時(shí)，利潤(rùn)為1620元；

（2）由（1）知當(dāng)上漲x元，則每個(gè)紀(jì)念品利潤(rùn)為（20+x-13）元，銷售量為（200-10、）

個(gè)，

貝I]y=（20+x-13）（200-10無）,gp-10x2+130x+1400,

2

'**y=-10x^+130x+1400=-10（x—

?,?當(dāng)x=~與時(shí),y有最大值,最大值為，’6：°,

；2。喏號(hào)

售單價(jià)定為:元時(shí)，商店每天銷售亞運(yùn)會(huì)吉祥物掛件獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是

3645元

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意

思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式再求解.

17.如圖1四邊形A8C。是正方形；如圖2四邊形ABC。是矩形，是等腰三角形.請(qǐng)

只用無刻度的直尺按要求畫圖.

（1）在圖1中，畫出正方形A8CD的對(duì)稱中心O；

（2）在圖2中，畫出線段BC的中點(diǎn)N；

【分析】（1）依據(jù)正方形的對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)進(jìn)行作圖；

（2）利用矩形的對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，等腰三角形的軸對(duì)稱圖形，即可得到點(diǎn)N.

解：（1）如圖所示，連接AC,交于點(diǎn)。即為所求；

（2）如圖所示，連接AC,8。交于點(diǎn)O,連接并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了作圖與應(yīng)用作圖，關(guān)鍵是掌握正方形、矩形的性質(zhì)和中心對(duì)稱

圖形的性質(zhì).首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性

質(zhì)和基本作圖的方法作圖.

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.已知函數(shù)、=（m+3）x（m2+'-2）是關(guān)于x的二次函數(shù).

（1）求"Z的值；

（2）當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，該函數(shù)圖象的開口向下？

（3）當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，該函數(shù)有最小值？

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義求出機(jī)的值即可解決問題.

（2）運(yùn)用當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，拋物線開口向下；

（3）運(yùn)用當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于。時(shí)，拋物線開口向上，圖象有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值.

解：（1）,函數(shù)y=（〃z+3）x（m2+3m-2）是關(guān)于尤的二次函數(shù)，

m2+3m-2=2,m+37^0,

解得：mi=-4,m2=1；

（2）,??函數(shù)圖象的開口向下，

m+3<0,

.,.m<-3,

工當(dāng)用=-4時(shí)，該函數(shù)圖象的開口向下；

（3）??,當(dāng)加+3>0時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，

.*.m>-3,

又,：m=-4或1,

???當(dāng)相=1時(shí)，y=4N有最小值，最小值為0.

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了二次函數(shù)的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；牢固掌握定義及其性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，AABCA8=AC=1,ZBAC=45°，跖是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)得到的，連接5E、。尸相交于點(diǎn)。.

（1）求證：BE=CF；

（2）當(dāng)四邊形AC0E為菱形時(shí)，求3。的長(zhǎng).

E

【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AF=AC,ZEAF=ZBAC,貝尸+/BA尸

^ZBAC+ZBAF,即利用AB=AC可得AE=AE于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，

△AEB可由△AFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=CF；

（2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1,AC〃DE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/

AEB=NABE,根據(jù)平行線得性質(zhì)得/ABE=/8AC=45°,所以/AEB=/A8E=45°,

于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以3E=J5AC=&，于是利用

求解.

【解答】（1）證明：:△AEP是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

：.AE=AB,AF=AC,ZEAF=ABAC,

：.ZEAF+ZBAF^ZBAC+ZBAF,即/EAB=ZFAC,

?：AB=AC,

：.AE^AF,

：.△AEB可由LAFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,

：.BE=CF；

（2）解：：四邊形ACOE為菱形，AB=AC=1,

.,.OE=AE=AC=AB=1,AC//DE,

：.ZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

：.ZAEB=ZABE=45°,

AABE為等腰直角三角形，

:.BE=?AC=M，

：.BD=BE-DE=yf2-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所

連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了菱形的性質(zhì).

20.二次函數(shù)y=aN+6尤+cQW0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）直接寫出不等式以2+bx+c>0的解集x<l或x>3；

（3）若方程0+6x+c=上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是-2.

【分析】（1）把拋物線解析式設(shè)為頂點(diǎn)式求解即可；

（2）根據(jù)不等式的解集即為二次函數(shù)圖象在x軸上方時(shí)自變量的取值范圍求解即可；

（3）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即二次函數(shù)>=狽2+法+。（“HO）與直線y=上有兩

個(gè)不同的交點(diǎn)進(jìn)行求解即可.

解：（1）由題意得，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,（3,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,

-2),

???可設(shè)二次函數(shù)解析式為(x-2)2-2,

把(1,0)代入解析式得：0=〃(1-2)2-2,

解得。=2,

.??二次函數(shù)解析式為y=2(x-2)2-2=2x2-8x+6；

(2)由函數(shù)圖象可知不等式QN+Z?X+C>0的解集為xVl或x〉3,

故答案為：x<l或x>3；

(3)由函數(shù)圖象可知方程a^bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即為二次函數(shù)y=

a^+bx+c(〃W0)與直線>=上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

：.k>-2,

故答案為：k>-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圖象法解一元二次不等式，一

元二次方程與二次函數(shù)綜合等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)

21.已知關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2日+R+左+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)試求左的取值范圍；

(2)若x；+x；=10，求左的值；

(3)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為XI,X2,且滿足|刈+|尤2|=2,試求4的值.

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式A20,即可得出關(guān)于上的一元一次不等

式，解之即可得出左的取值范圍；

=

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得出XI+X2=2左，x?X2k^+k+l>結(jié)合xj+x，=10可得出關(guān)

于左的方程，解之即可得出上的值；

=2

(3)由(2)可知：x\+x2=2k,xjx2k+k+l>根據(jù)k^+k+h(k,)*〉0，可

得xiX2>0,即由|刈+|刈=2,可得x；+2lx/?|+xg=4，進(jìn)而可得X；+2X[X2+X；=4,

則有(Xi+X2)2=4,即(2k)2=4,問題得解.

解：(1)???關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2fcv+R+Z+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

A=/?2-4ac=(-2k)2-4X1X(N+Z+l)20,

解得：k&-1；

(2))?方程]2-2"+R+好1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為XI,%2,

2

：.X\+X2=2k,X!X2=k+k+b

,**x?+xg=10，

「?x；+xg=(xi+乂2)2-2X]乂2二10，

???(2k)2-2(N+%+1)=10,

整理得：F-k-6=0,

解得：k=3或者k=-2,

;根據(jù)(1)有kW-1,

即k=-2；

(3)由(2)可知：xi+x2=2k,x?x2=k^+k+l>

7k2+k+l=(k+^-)4>0'

/.XlX2>0,

V|XI|+|X2|=2,

???(Ixi|+|x2I)2二4,

「?x；+2[x]乂2I+x：=4，

VxiX2>0,

.2+2=

***X]+2xjx2X24，

?1?(xj+x2)2=4，

(2k)2=4,

k—±1,

:根據(jù)(1)有％W-1,

即k=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌

握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用完全平方公式的變形是解題的

關(guān)鍵.

22.閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：

小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y=aix2+bix+ci(aiWO,ai,

bl,Cl是常數(shù))與丁=〃”2+歷計(jì)02(zWO,ai,歷，C2是常數(shù))滿足〃1+〃2=0,bl=b2,

C1+C2=O,則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)>=2%2-3%+1的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，

小明是這樣思考的，由函數(shù)y=2N-3x+l可知，〃i=2,歷=-3,ci=l,根據(jù)m+〃2=0,

bl=bl,Cl+C2=0,求出〃2,岳，C2就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

請(qǐng)思考小明的方法解決下面問題：

(1)寫出函數(shù)y=N-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

(2)若函數(shù)y=5N+(m+1)x+n與y=-5x2-nx-3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，求(m+n)2023

的值；

(3)已知函數(shù)y=2(x-1)(x+3)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)5的右側(cè))，

與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)A,B,。關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是4,Bi,Ci,試證明：經(jīng)過點(diǎn)4,

Bi,G的二次函數(shù)與y=2(x-1)G+3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

【分析】(1)由二次函數(shù)的解析式可得出“1,切，C1的值，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義可

求出〃2,求。2的值，此問得解；

(2)由函數(shù)y=5N+(徵+1)%+〃與y=-5N-九％-3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可求出相，n

的值，將其代入(m+n)2。23即可求出結(jié)論；

(3)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)可

求出點(diǎn)4,Bi,。的坐標(biāo)，由點(diǎn)4,Bi,G的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可求出過點(diǎn)4,Bi,

C1的二次函數(shù)解析式，由兩函數(shù)的解析式可找出bl.Cl,〃2,fc,C2的值，再由41+42

=0,b\=bi,ci+c2=0,可證出經(jīng)過點(diǎn)4,Bi,G的二次函數(shù)與函數(shù)y=2(x-1)(x+3)

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

【解答】(1)解：由函數(shù)y=N-4x+3知，QI=1,bi=-4,ci=3,

V<71+(22=0,bi=bz,C1+C2—0,

?\a2=-1,bi=-4,C2=-3,

函數(shù)y=%2-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是y=-x2-4x-3；

(2)解：根據(jù)題意得：jm+1=-n,

ln