關于函數的周期性與圖象對稱性1．函數的周期性對于函數f(x)，如果存在一個不為0的常數T，使得當x取定義域內的

時，有

都成立，那么就把函數y＝f(x)叫周期函數，如果在所有的周期中存在著一個最小的正數，把這個最小的正數叫

．若T是函數y＝f(x)的一個周期，則nT(n∈Z)也是f(x)的

．任意一個值f(x＋T)＝f(x)最小正周期周期注意：定義域兩頭都是無界

第2頁,共13頁，2024年2月25日，星期天若函數

滿足如下關系，證明這些函數是否是周期函數，研究它們的周期.探討：第3頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【例1】求函數圖像的對稱中心.

小結：一般地，函數的對稱中心為:__________.

2.函數圖像的中心對稱：

若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)的圖象關于點

對稱

第4頁,共13頁，2024年2月25日，星期天3.函數圖像的軸對稱：若f(a+x)=f(a-x)，則f(x)的圖象關于直線

對稱?！纠?】已知是函數的對稱軸,求a的值.

【練習1】若函數y=log2|ax-1|的圖象關于直線x=2對稱,求非零實數a的值.

【練習2】已知對一切x都有f(x)=f(2-x)且方程f(x)=0有2011個不同的根，求這2011個根的和.

第5頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【例3】設f(x)是定義在R上的奇函數，對任意x∈R，恒有f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數；(2)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)．第6頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【證明】

(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數．(2)由f(x)是周期為4的周期函數，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2004)＋f(2005)＋f(2006)＋f(2007)．第7頁,共13頁，2024年2月25日，星期天又x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，且f(3)＝f(－1)．∵f(x)是奇函數，∴f(3)＝－f(1)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，又f(2008)＝f(0)＝0，f(2009)＝f(1)＝1，f(2010)＝f(2)＝0.因此f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝1.第8頁,共13頁，2024年2月25日，星期天4.對稱性與周期性的關系

①一般地:若x=a,x=b(a≠b)是函數f(x)的兩條對稱軸,則f(x)為周期函數且2|a-b|為它的一個周期.②一般地:若(a,0),(b,0)(a≠b)是函數f(x)的兩個對稱中心,則f(x)為周期函數且2|a-b|為它的一個周期.

③一般地:若x=a和(b,0)(a≠b)分別是函數f(x)的一條對稱軸和一個對稱中心,則f(x)為周期函數且4|a-b|為它的一個周期.

(結論不需記，以三角函數y=sinx為模型加以理解)第9頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【例4】已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2008)＋f(2009)的值為(

)A．－2B．－1

C．1D．2第10頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【解】∵f(x)是偶函數，∴f(－2008)＝f(2008)，當x≥0時，f(x＋2)＝f(x)，∴函數f(x)的周期為2，則f(2009)＝f(1)．又x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)因此f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.【答案】

C思維啟迪緊緊抓住題目的條件關系——奇偶性與周期性，這是解題的關鍵，并注意體會本題中轉化化歸思想的運用。

點撥當x∈[0,2)時，f(x)已知，欲求f(－2008)＋f(2009)的值，只需轉化到已知的區間[0,2)上，利用函數的周期性和奇偶性，問題可解．第11頁,共13頁，2024年2月25日，星期天【練習】設奇函數f(x)的定義域為R且f(x+2)=f(-x),當x∈[4,6]時