全等三角形

知識(shí)點(diǎn)1全等三角形的概念與性質(zhì)概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊①

相等

?，對(duì)應(yīng)角②

相等

?；（2）全等三角形的周長(zhǎng)③

相等

?，面積④

相等

?；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等相等相等相等相等【提分小練】1.如圖，已知△ABC≌△DCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列結(jié)論中正確的是（

A

）A.∠D＝60°B.∠DBC＝50°C.∠ACD＝60°D.BE＝10第1題圖A知識(shí)點(diǎn)2判定方法SSS（邊邊邊）?

?三條邊⑤

分別對(duì)應(yīng)相等

?的兩個(gè)三角形全等SAS（邊角邊）?

?兩邊和它們的⑥

夾角

?對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等ASA（角邊角）?

?兩角和它們的⑦

夾邊

?對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等AAS（角角邊）?

?兩角和其中一個(gè)角的⑧

對(duì)邊

?對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等HL（斜邊、直角邊）?

?直角三角形中斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等分別對(duì)應(yīng)相等夾角夾邊對(duì)邊

【提分小練】2.如圖，AD和CB相交于點(diǎn)E，BE＝DE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ABE≌△CDE，下列不正確的是（

C

）A.∠B＝∠DB.∠A＝∠CC.AB＝CDD.AE＝CE第2題圖C3.如圖，已知∠B＝∠DEF，BC＝EF，補(bǔ)充一個(gè)條件使△ABC≌△DEF.第3題圖（1）若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件

AB＝DE

?；（2）若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件

∠ACB＝∠F（或AC∥DF）

?；（3）若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件

∠A＝∠D

?；（4）若∠B＝∠DEF＝90°，要以“HL”為依據(jù)，還缺條件

AC＝DF

?.AB＝DE∠ACB＝∠F（或AC∥DF）∠A＝∠DAC＝DF4.如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為

55°

?.第4題圖55°

命題點(diǎn)

全等三角形的性質(zhì)與判定1.如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△DEF的是（

A

）A.∠A＝∠DB.AC＝DFC.AB＝EDD.BF＝ECA考點(diǎn)訓(xùn)練2.下列各圖中a，b，c為三角形的邊長(zhǎng)，則甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△ABC全等的是（

B

）A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙B3.如圖，AB交CD于點(diǎn)O，在△AOC與△BOD中，有下列三個(gè)條件：①OC＝OD；②AC＝BD；③∠A＝∠B.請(qǐng)你在上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)為條件，另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來(lái)的結(jié)論，并證明你的結(jié)論（只要求寫出一種正確的選法）.（1）你選的條件為

①③（或②③）

?，結(jié)論為

②（或①）

?；（填序號(hào)）①③（或②③）②（或①）（2）證明你的結(jié)論.

4.如圖，點(diǎn)C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD.求證：△ABC≌△CDE.

5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰直角三角形ADE，其中∠DAE＝90°，連接CE.（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）若∠BAD＝22.5°時(shí)，求BD的長(zhǎng).

1.如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)量零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'，BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（

A

）A.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等B.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例D.兩點(diǎn)之間線段最短第1題圖A鞏固訓(xùn)練2.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（

D

）A.∠A＝∠DB.∠AFB＝∠DECC.AB＝DCD.AF＝DE第2題圖D3.如圖，BC，AE是銳角三角形ABF的高，相交于點(diǎn)D.若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，則BD的長(zhǎng)為（

B

）A.2B.3C.4D.5第3題圖B4.如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，添加一個(gè)條件

CB＝CE（答案不唯一）

?，可使△ABC≌△DEC.第4題圖CB＝CE（答案不唯一）5.（2023·畢節(jié)期末）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上.若BC＝8，CE＝5，則CF的長(zhǎng)為

3

?.第5題圖3

第6題圖

7.如圖，C是BD的中點(diǎn)，AB＝ED，AC＝EC.求證：△ABC≌△EDC.

8.如圖，在△ABC和△ADE中，延長(zhǎng)BC，交DE于點(diǎn)F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求證：AB＝AD.

9.如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E.（1）求證：△ABE≌△ACD；

（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長(zhǎng).

10.（2023·重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC上一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)為

3

?.第10題圖311.如圖，AB＝18cm，CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B，且AC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)

6

?s后，△CAP與△PQB全等.第11題圖612.兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：BD＝CE.圖1（1）證明：∵△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE.（2）解決問(wèn)題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中邊DE上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.圖2（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM.理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BE