線性代數年月真題

0219820131

1、【單選題】設_A、_B為同階方陣，則必有

|_A_+_B_|=|A|+|_B_|

_AB_=_BA_

A:

(_AB_)T=_A_T_B_T

B:

|_AB_|=|_BA_|

C:

答D:案：D

解析：只有D選項為矩陣的性質|_AB_|=|_BA_|=|A||B|.

2、【單選題】設_n階方陣_A、_B、_C滿足_ABC=_E，則必有

_ACB_=E

_CBA_=_E_

A:

_BCA_=_E_

B:

_BAC_=_E_

C:

答D:案：C

解析：因為ABC=E，可以得到矩陣AB與矩陣C互為逆矩陣，所以CAB=E矩陣A與矩陣BC

互為逆矩陣，所以BCA=E。

3、【單選題】設_A為三階方陣，且|_A|=2，則|-2_A|=

-16

-4

A:

4

B:

16

C:

答D:案：A

解析：

由矩陣的性質

4、【單選題】若同階方陣_A與_B等價，則必有

|_A_|=|_B_|

_A_與_B_相似

A:

B:

_R_(_A_)=_R_(_B_)

C:

答D:案：C

解析：因為等價矩陣有相同的等價標準型，故秩相等。

5、【單選題】設α1=(1，0，0)、α2=(2，0,0)、α3=(1，1，0)，則

α1，、α2、α3線性無關

α3可由α1、α2線性表示

A:

α1可由α2、α3線性表示

B:

α1、α2、α3的秩等于3

C:

答D:案：C

解析：

由，秩為2.可知線性相關；

的秩為2；不能由線性表示；為一個極大無關組。所以

可以由線性表示，且．

6、【單選題】設向量空間_V={(_x1，_x2，_x3)|_x1+_x2+_x3=0}，則_V的維數是

0

1

A:

2

B:

3

C:

答D:案：C

解析：向量空間V是方程_x_1+_x_2+_x_3=0的解空間，V的維數即為方程的基礎解

系的個數。因為未知數n=3,系數矩陣的秩r=1。所以解空間維數為n-r=2.

7、【單選題】若3階方陣_A與對角陣_=相似，則下列說法錯誤的是

|_A_|=0

|_A_+_E_|=0

A:

_A_有三個線性無關特征向量

B:

_R_(_A_)=2

C:

答D:案：B

解析：

A選項：A與對角陣相似，A的特征值為2、0、3，所以

B選項：A的特征值為2、0、3，則A+E的特征值分別為3、1、

4，所以|A+E|=12.此選項錯誤。C選項：A與對角陣相似，則A有3個線性無關的特征向

量。D選項：R(A)=R()=2.

8、【單選題】齊次方程_x1+_x2-_x3=0的基礎解系所含向量個數是

0

1

A:

2

B:

3

C:

答D:案：C

解析：

齊次線性方程組的系數矩陣的秩為r=１,方程未知數個數n=3所以基礎解系所含解向量的

個數為。

9、【單選題】若α=（1，1，_t）與β=(1，1，1)正交，則_t=

-2

-1

A:

0

B:

C:

1

答D:案：A

解析：

由

10、【單選題】對稱矩陣A=是

負定矩陣

正定矩陣

A:

半正定矩陣

B:

不定矩陣

C:

答D:案：B

解析：

由,可得A的特征值為

A的特征值皆為正,所以A為正定矩陣.

11、【問答題】設_A、_B均為三階可逆方陣，且|_A|=2，則|-2B-1_A2

_B|=__________．

答案：

解析：

12、【問答題】四階行列式中項α21α32α13α44的符號為_____________．

答案：正號

解析：

由因為2314的逆序數為偶數,所以的符號為正.

13、【問答題】設_A=,則_A-1=________________.

答案：

解析：

若,則所以

14、【問答題】設_A=，且_R(_A)=2，則_t=_____________．

答案：

解析：

由R(A)=2，得

15、【問答題】設三階方陣_A=[α1,α2,α3]，其中_αi為_A的3維列向量，且|

_A|=3，若B=[α1,α1+α2,α1+α2+α3]，則|_B|=_________．

答案：3.

解析：

由行列式的性質

16、【問答題】三元方程組的結構解是________．

答案：

解析：

系數矩陣得等價方程組令自由未知

量,得方程組的通解為

17、【問答題】設_A=,則_A的特征值是____________.

答案：

解析：

由,可得A的特征值

為

18、【問答題】若三階矩陣_A的特征值分別為1,2,3，則|_A+2_E|=____________．

答案：60

解析：

A的特征值分別為1，2，3,所以A+2E的特征值分別為3，4，5由特征值的性質，

19、【問答題】若_A=與_B=相似，則_x=__________．

答案：0.

解析：

因為A與B相似，由相似矩陣的性質，，即

。

20、【問答題】二次型_f(_x1，_x2，_x3)=(_x1-_x2+_x3)2對應的對稱矩陣是

_________.

答案：

解析：

二次型

所以其對應的對稱矩陣為

21、【問答題】計算四階行列式.

答案：

22、【問答題】設_A=，_B是三階方陣，且滿足_AB-A2=_B-_E，

求_B．

答案：

由

又因為。所以矩陣A-E是可逆矩陣則

23、【問答題】求向量組

的一個最大無

關組，并把其余向量表示為這個最大無關組的線性組合．

答案：

所

以可以做為向量組的一個極大無關組。，

。（本題也可以選擇作為極大無關組）

24、【問答題】設四元方程組，問_t取何值時該方程組

有解？并在有解時求其結構解．

答案：

先把增廣矩陣化簡：

當時，第三個方程是矛盾方程，無解。當時，增廣矩陣繼續化簡

得到同解方程組

令，求出特解原方程的導

出組的同解方程組為分別令，求得導出組的基礎

解系為于是可以求出通解，k,l

為任意實數。

25、【問答題】已知_A=的一個特征向量是=（1，1，-1）_T(1)

求_a，_b；(2)求_A的全部特征值及特征向量．

答案：

（1）由特征值、特征向量的定義設為A的特征值，則有即

得

（2）

得到A的特征值為當時

求得特征向量為屬

于特征值的所有特征向量為，k為任意非零常數。

26、【問答題】求正交變換_X=_PY，化二次型f(_xl,_x2,_x3)=-2_x1_x2+2_x1

_x3+2_x2_x3為標準形．

答案：

二次型的矩陣

所

以的特征值為。時，

所以與等價的方

程組為其正交基礎解系為標準化為

時，

所以與

等價的方程組為其正交基礎解系為標

準化為令，則