天津市河西區環湖中學2024屆數學九上期末達標檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖，在RtAABC中，NC=90°,BC=4,AC=3,則sinB=（）

2.如圖，。。是A43C的外接圓，連接。4、OB,ZC=40°,則NQ4B的度數為（）

3.下列一元二次方程中有兩個相等實數根的是（）

A.2X2-6X+1=0B.3X2-X-5=0C.X2+X=0D.X2-4X+4=0

4.已知銳角NAOB如圖，（1）在射線OA上取一點C,以點。為圓心，OC長為半徑作PQ,交射線OB于點D,連

接CD；

（2）分別以點C,D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點M,N；

（3）連接OM,MN.

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）

A.ZCOM=ZCODB.若OMnMN,貝！jNAOB=20。

C.MN/7CDD.MN=3CD

5.二次函數y=-d+2機x（機為常數）,當叱爛1時，函數值y的最大值為4,則機的值是（）

A.±2B.2C.±2.5D.2.5

6.如圖，在中，ZC=90BC=4,AC=3,則sinA的值是（）

7.下列y和x之間的函數表達式中，是二次函數的是（）

A.y=（x+l）（x-3）B?y=x3+1C.y=x2+—D.y=x.3

x

4

8.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD頂點B（-1,-1）,C在x軸正半軸上，A在第二象限雙曲線y=--

x

上，過D作DE〃x軸交雙曲線于E,連接CE,則4CDE的面積為（）

79

A.3B.-C.4D.-

22

9.已知拋物線）二公^+區+^^經過點㈠1,〃。，（—3,〃），若X，々是關于》的一元二次方程以？+法+c=。的兩個

根，且一4＜玉＜-3,x2＞0,則下列結論一定正確的是（）

A.m+n>0B.m-n<0C.mn<Q

10.一個凸多邊形共有20條對角線，它是（）邊形

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，矩形ABCO中，邊長4）=8,兩條對角線相交所成的銳角為60°,M是邊的中點，P是對角線AC

上的一個動點，則PM+PB的最小值是.

BWC

12.二次函數y=（x-1）,2的頂點坐標為.

13.已知兩個數的差等于2,積等于15,則這兩個數中較大的是.

14.一個盒中裝有4個均勻的球，其中2個白球，2個黑球，今從中任取出2個球，“兩球同色”與“兩球異色”的可

能性分別記為a、b,則。與〃的大小關系為.

15.方程2x2-5x=0的解為.

16.某人感染了某種病毒，經過兩輪傳染共感染了121人.設該病毒一人平均每輪傳染x人，則關于x的方程為

17.二次函數7=。*1+取:+。（<#2）的部分圖象如圖，圖象過點（-1,2）,對稱軸為直線x=l.下列結論：?4a+b=2；

②9a+c>3①③當了>-1時，y的值隨x值的增大而增大；④當函數值yV2時，自變量x的取值范圍是-1或x

>5；⑤8a+7"lc>2.其中正確的結論是.

18.我們將等腰三角形腰長與底邊長的差的絕對值稱為該三角形的“邊長正度值”，若等腰三角形腰長為5,“邊長正度

值”為3,那么這個等腰三角形底角的余弦值等于.

三、解答題（共66分）

19.（10分）某商場購進一種每件價格為90元的新商品，在商場試銷時發現：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）

之間滿足如圖所示的關系.

⑴求出y與x之間的函數關系式；

⑵寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式，并求出售價定為多少時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多

20.(6分)一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1,2,3,4.隨機摸取一個小球然后放回,

再隨機摸出一個小球，求下列事件的概率：

(1)兩次取出的小球標號相同；

(2)兩次取出的小球標號的和等于4.

21.(6分)解方程：

(1)X2+2X-3=0；

(2)x(x+1)=2(x+1).

22.(8分)如圖，AB是。。的直徑，半徑OD與弦AC垂直，若NA=ND,求N1的度數.

23.(8分)快樂的寒假即將來臨小明、小麗和小芳三名同學打算各自隨機選擇到A,3兩個書店做志愿者服務活動.

(1)求小明、小麗2名同學選擇不同書店服務的概率；(請用列表法或樹狀圖求解)

(2)求三名同學在同一書店參加志愿服務活動的概率.(請用列表法或樹狀圖求解)

Y~4-0Y2尤+2

24.(8分)先化簡，再求值：J"+(l+x+-----),其中x=tan60。-tan45°.

X2-4X-2

25.(10分)互聯網“微商”經營已經成為大眾創業的一種新途徑，某網店準備銷售一種多功能旅行背包，計劃從廠

家以每個5()元的價格進貨.

m巴件庫存2000件

山回

立即購買加入購物車

銷售期間發現：銷售單價是100元時，每天的銷售量是50個，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5個，為了增

加銷售量，盡量讓利顧客，當銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤達到4000元？

26.(10分)如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,是3c邊上的高，E是邊上的一個動點(不與8,C重合),

EFLAB,EG±AC,垂足分別為尸，G.

EGCG

求證:

(1)AD-CD

(2)尸。與OG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由;

AB

(3)當下的值為多少時，△尸。G為等腰直角三角形?

AC

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、A

【解析】先利用勾股定理求出斜邊AB,再求出sinB即可.

【詳解】???在RtAABC中，/C=90°,BC=4,AC=3,

?*-AB=y/BC2+AC2=6+42=5，

..AC_3

??sinB-=一.

AB5

故答案為A.

【點睛】

本題考查的知識點是銳角三角函數的定義，解題關鍵是熟記三角函數的定義.

2、C

【分析】直接利用圓周角定理得出NAOB的度數，再利用等腰三角形的性質得出答案.

【詳解】解：?.?NAC3=40°,

：.ZAOB=80°,

"；AO=BO,

；.ZOAB=ZOBA=-(180°-80°)=50°.

2

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理.正確得出NAOB的度數是解題關鍵.

3、D

【解析】試題分析：選項A,A=b2-4ac=(-6)2-4x2xl=28>0,即可得該方程有兩個不相等的實數根；選項BA=b2

-4ac=(-1)2-4x3x(-5)=61>0,即可得該方程有兩個不相等的實數根；選項C,△=b2-4ac=l2-4xlx0=l>0,

即可得該方程有兩個不相等的實數根；選項D,△=b2-4ac=(-4)2-4xlx4=0,即可得該方程有兩個相等的實數根.故

選D.

考點：根的判別式.

4、D

【分析】由作圖知CM=CD=DN,再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得.

【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN,

AZCOM=ZCOD,故A選項正確；

VOM=ON=MN,

/.△OMN是等邊三角形,

...NMON=60°,

VCM=CD=DN,

:.ZMOA=ZAOB=ZBON=-ZMON=20°,故B選項正確

3

,:NMOA=NAOB=NBON,

180°-ZCQD

.,.ZOCD=ZOCM=

2

二ZMCD=180°-ZCOD,

又NCMN」ZAON=ZCOD,

2

:.ZMCD+ZCMN=180°,

AMN/7CD,故C選項正確；

VMC+CD+DN>MN,且CM=CD=DN,

A3CD>MN,故D選項錯誤；

故選D.

【點睛】

本題主要考查作圖?復雜作圖，解題的關鍵是掌握圓心角定理和圓周角定理等知識點.

5、D

【解析】分mWO、膽21和OWMWI三種情況，根據y的最大值為4,結合二次函數的性質求解可得.

【詳解】y=-x2+2mx=-(x-m)2+m2(m為常數)，

①若當x=O時，y=-(0-m)2+m2=4,

m不存在，

②若，論1,當x=l時，y=-(1-m)2+m2=4,

解得：機=2.5；

2

③若09EL當x=/n時，y=m=49

即：-=4,

解得：/n=2或相=-2,

VO<m<l,

???%=-2或2都舍去，

故選：D.

【點睛】

此題主要考查二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是根據題意分三種情況討論.

6、C

【分析】利用勾股定理求得AB的長，然后利用三角函數定義求解.

【詳解】解：在直角AABC中，AB=VAC2+BC2=Vs2+42=5>

BC4

則nlsinA=-----=—.

AB5

故選C.

【點睛】

本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊

比鄰邊.

7、A

【分析】根據二次函數的定義（一般地，形如產+打+。（?,b、c是常數，嚀0）的函數，叫做二次函數）進行判斷.

【詳解】A.y=（x+D（x-3）可化為y=f—2》一3,符合二次函數的定義，故本選項正確；

B.y=V+l,該函數等式右邊最高次數為3,故不符合二次函數的定義，故本選項錯誤；

c.y=Y+一,該函數等式的右邊是分式，不是整式，不符合二次函數的定義，故本選項錯誤；

x

D.y=x-3,屬于一次函數，故本選項錯誤.

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次函數的定義.判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要

先將其化簡，化簡后最高次必須為二次，且二次項系數不為0.

8^B

【分析】作輔助線，構建全等三角形：過A作GH，x軸，過B作BG_LGH,過C作CMJ_ED于M,證明

4

△AHD^ADMC^ABGA,設A（X,--）,結合點B的坐標表示：BG=AH=DM=-1-x,由HQ=CM,列方

x

程，可得X的值，進而根據三角形面積公式可得結論.

【詳解】過A作GHJLx軸，過B作BG_LGH,過C作CMJLED于M,

”，4

設A（x,-----）,

X

?.?四邊形ABCD是正方形，

.,.AD=CD=AB,ZBAD=ZADC=90",

：.ZBAG=ZADH=ZDCM,

/.AAHD^ADMC^ABGA（AAS）,

.?.BG=AH=DM=-1-x,

4

.,.AG=CM=DH=1-

X

VAH+AQ=CM,

,44

/.1--=---1-x,

XX

解得：x=-2,

/、4

.,.A（-2,2）,CM=AG=DH=1------=3,

VBG=AH=DM=-1-x=l,

.?.點E的縱坐標為3,

,44

把y=3代入y=----得：x=--,

x3

/4、

.,.E(--,3),

3

42

.,.EH=2--=

33

27

.,.DE=DH-HE=3--=

33

I177

??SACDE=—DE?CM=-x—x3=一.

2232

故選：B.

【點睛】

本題主要考查反比例函數圖象和性質與幾何圖形的綜合，掌握“一線三垂直”模型是解題的關鍵.

9,C

【分析】根據a的符號分類討論，分別畫出對應的圖象，然后通過圖象判斷m和n的符號，找到這兩種情況下都正確

的結論即可.

【詳解】解：當a>0時，如下圖所示，

由圖可知：當*<*<尤2時，y<o；當XV*或x>x2時，y>0

■:-4<X]<-3<0<x2

，m>0,n<0,

此時：機+〃不能確定其符號，故A不一定成立;

m-n>0,故B錯誤；

加?〃<(),故C正確；

m

-<0,故D錯誤.

n

當aVO時，如下圖所示,

由圖可知：當XiVxV/時，y>0；當XV』或I〉/時，y<0

■:-4<玉<—3VOV/

，mV0,n>0>

此時：不能確定其符號，故A不一定成立；

m-n<0f故B正確；

m-n<09故C正確；

m

-<0,故D錯誤.

n

綜上所述：結論一定正確的是C.

故選C.

【點睛】

此題考查的是二次函數的圖象及性質，掌握二次函數的圖象及性質與二次項系數的關系、分類討論的數學思想和數形

結合的數學思想是解決此題的關鍵.

10、C

【分析】根據多邊形的對角線的條數公式妁P列式進行計算即可求解.

2

【詳解】解：設該多邊形的邊數為n,由題意得：

"("jo,

2

解得：〃1=8,々=一5（舍去）

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了多邊形的對角線公式，熟記公式是解題的關鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、4百

【分析】根據對稱性，作點B關于AC的對稱點B，,連接B，M與AC的交點即為所求作的點P,再求直角三角形

中30。的臨邊即可.

【詳解】如圖，作點B關于AC的對稱點B，,連接B，M,交AC于點P,

.?.PB'=PB,此時PB+PM最小，

?.?矩形ABCD中，兩條對角線相交所成的銳角為60。，

/.△ABP是等邊三角形，

.*.ZABP=60o,

.?.NB'=NB'BP=30°,

VZDBC=30°,

=90°,

在RtZkBB'M中，BM=4,ZBZ=30°,

.*.BB,=2BM=8

?*-BZM=182-42=46，

.?.PM+PB'=PM+PB=B,M=473.

故答案為4省.

【點睛】

本題主要考查了最短路線問題，解決本題的關鍵是作點B關于AC的對稱點B，.

12、(1,2).

【解析】試題分析：由二次函數的解析式可求得答案.?.、=（X-1）2+2,.?.拋物線頂點坐標為（1,2）.

故答案為（1,2）.

考點：二次函數的性質.

13、5

【分析】設這兩個數中的大數為x,則小數為x-2,由題意建立方程求其解即可.

【詳解】解：設這兩個數中的大數為x,則小數為x-2,由題意，得

x（x-2）=15,

解得：xi=5,X2=-3,

.?.這兩個數中較大的數是5,

故答案為5；

考點：一元二次方程的應用.

14、a<b

【分析】分別求出“兩球同色”與“兩球異色”的可能性，然后比較大小即可.

【詳解】根據盒子中有2個白球，2個黑球

可得從中取出2個球，一共有6種可能：2白、2黑、1白1黑（4種）

21

“兩球同色”的可能性為"=一=一

63

42

“兩球異色”的可能性為/>=-=—

63

.12

?一<一

33

:?a<b

故答案為：a<b.

【點睛】

本題考查了概率的問題，掌握“兩球同色”與“兩球異色”的可能性是解題的關鍵.

5

15、%=n0,x,=—

■2

【分析】因式分解法即可求解.

【詳解】解：2/一5%=0

x（2x-5）=0,

【點睛】

本題考查了用提公因式法求解一元二次方程的解，屬于簡單題，熟悉解題方法是解題關鍵.

16、(1+x)2=121

【分析】設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是(x+1)人，則傳染

x(x+1)人，依題意列方程：1+x+x(1+x)=1.

【詳解】l+x+x(l+x)=121,整理得，(1+X)2=121.

故答案為：(1+X)2=121.

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程.關鍵是得到兩輪傳染數量關系，從而可列方程求解.

17、

【分析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及二次函數與一元二次方程的關系，逐項判斷

即可.

【詳解】解：拋物線過點(-1,2),對稱軸為直線x=l.

b

Ax=--=1,與x軸的另一個交點為(5,2),

2a

即，4a+b=2,故①正確；

當x=-3時，y=9a-3b+c<2,即，9a+c<3b,因此②不正確；

當x<l時，y的值隨x值的增大而增大，因此③不正確；

拋物線與x軸的兩個交點為(-1,2),(5,2),又aV2,因此當函數值yV2時，自變量x的取值范圍是xV-1或x

>5,故④正確；

當x=3時，y=9a+3b+c>2,

當x=4時，y=16a+4b+c>2,

：.l5a+7b+lc>2,

又,：a<2,

：.8a+7b+c>2,故⑤正確；

綜上所述，正確的結論有：①④⑤，

故答案為：①④⑤.

【點睛】

本題主要考查二次函數圖像性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握二次函數圖像性質.

1-4

18、一或一

55

【解析】將情況分為腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況來討論，根據題意求出底邊的長進而求出余弦值即可.

【詳解】當腰比底邊長長時，若等腰三角形的腰長為5,“邊長正度值”為3,那么底邊長為2,所以這個等邊三角形

底角的余弦值為:；當腰比底邊長短時，若等腰三角形的腰長為5,“邊長正度值”為3,那么底邊長為8,所以這個

4

等邊三角形底角的余弦值為y.

【點睛】

本題主要考查對新定義的理解能力、角的余弦的意義，熟練掌握角的余弦的意義是解答本題的關鍵.

三、解答題(共66分)

19、(l)j=-x+170；(2)W=-x2+260x-1530,售價定為130元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是2元.

【解析】(D先利用待定系數法求一次函數解析式；

(2)用每件的利潤乘以銷售量得到每天的利潤W,即W=(x-90)(-x+170),然后根據二次函數的性質解決問題.

。20k+8=50f%=—1

【詳解】(1)設y與x之間的函數關系式為產h+b,根據題意得：,”，解得：匕/八，?力與》之間

140%+/?=30[6=170

的函數關系式為j=-x+170；

(2)W=(x-90)(-x+170)=-x2+260x-1.

VW=-好+260丫-1=-(x-130)2+2,而a=-l<0,:.當x=130時，W有最大值2.

答：售價定為130元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是2元.

【點睛】

本題考查了二次函數的應用：利用二次函數解決利潤問題，先利用利潤=每件的利潤乘以銷售量構建二次函數關系式，

然后根據二次函數的性質求二次函數的最值，一定要注意自變量x的取值范圍.

、13

20、(1)—(2)—

416

【解析】試題分析：首先根據題意進行列表，然后求出各事件的概率.

試題解析：

1234

11,12,13,14,1

21,22,23,24,2

31,32,33,34,3

41.42,43,44,4

41

⑴P(兩次取得小球的標號相同)=正*

3

(2)P(兩次取得小球的標號的和等于4)=—.

16

考點：概率的計算.

21、(1)xi=-3,xz=l;(2)xi=-1,X2=2

【分析】(D利用“十字相乘法”對等式的左邊進行因式分解；又可以利用公式法解方程；

(2)利用因式分解法解方程.

【詳解】(1)解一：(x+3)(x-1)=0

解得：X1=-3,X2=l

解二：a=l,b=2,c=-3

-b±>jb2-4ac

x=----------------------

2a

解得：x=N土巫

2

即Xl=-3,X2=l.

(2)x(x+1)-2(x+1)=0

(x+1)(x-2)=0

Xl=-1,X2=2

點睛：本題主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知識，解題的關鍵是掌握因式分解法解方程的步驟以及

熟記求根公式.

22、30°

【分析】利用垂徑定理和圓周角定理證得NA=N1=NABD,然后根據直角三角形兩銳角互余即可求得N1的度數.

【詳解】解：???半徑OD與弦AC垂直，

???AD=CD，

AZ1=ZABD,

???半徑OD與弦AC垂直，

AZACB=90°,

/.OD/7BC,

/.Z1=ZD,

VZA=ZD,

AZA=Z1=ZABD,

VZA+ZABC=90°,

.\3Z1=9O°,

AZ1=3O°.

D

【點睛】

本題考查了垂徑定理和和圓周角定理的推論，解決本題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握垂徑定理，能夠理清各線段

和角的關系.

23、(1)—；(2)一

24

【分析】(1)用樹狀圖列出所有可能的情況，然后即可得出其概率；

(2)用樹狀圖列出所有可能的情況，然后即可得出其概率.

21

【詳解】(1)P(2人選擇不同的書店)=一=—

42

開始

/X

小明AB

八八

小麗ABAB

圖(1)

21

(2)P(3人選擇同一書店)=一=一

84

開始

小明AB

八八

小麗ABAB

AARA

小芳ABABABAB

圖(2)

【點睛】

此題主要考查利用樹狀圖求概率，熟練掌握，即可解題.

24、2.

x+13

【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出x的值代入進行計算即可.

x(x+2)(1--2)+2x+2

【詳解】原式=

(x+2)(x-2)x—2

Xx(x+l)

x—2%—2

_x.x-2

-x-2x(x+l)

1

-7+T'

當x=tan60°-tan45°=道—1時，

原式=丁1—=、=立.

V3-1+1V33

【點睛】

本題考查了分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.

25、當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤達到4000元.

【分析】假設銷售單價為x元，根據題意可知銷售量與銷售單價之間的關系，銷售量是關于x的一元一次函數，利潤

=（售價-成本）x銷售量，根據這一計算方式，