第1講三角函數的圖象與性質專題二內容索引0102必備知識?精要梳理關鍵能力?學案突破必備知識?精要梳理1.“1”的變換1=sin2α+cos2α=cos2α(1+tan2α).2.三角函數圖象變換三角函數y=sinωx的圖象向左或向右平移φ(φ>0)個單位長度,得到的圖象對應函數解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或y=sin(ωx-φ).3.三角函數的周期性

特別提醒函數y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半.4.三角函數的奇偶性與對稱性

(3)對于函數y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),當φ=kπ(k∈Z)時為奇函數,沒有對稱軸,對稱中心的橫坐標由ωx+φ=

(k∈Z)確定.溫馨提示正弦曲線、余弦曲線的對稱軸恰好經過相應曲線的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標分別是正弦函數和余弦函數的零點.關鍵能力?學案突破突破點一三角函數的定義、誘導公式及同角三角函數的基本關系式[例1-1]在平面直角坐標系Oxy中,已知角α的終邊上有一點P(1,2),點Q在角2α的終邊上,且|OQ|=10,則點Q的坐標為(

)A.(-6,-8) B.(-6,8)C.(6,-8) D.(6,8)答案B

答案C

規律方法點的坐標與三角函數值的關系根據三角函數的定義,可以由給定角的終邊上一點的坐標,求出該角的各個三角函數值;反之,當給定一個角的大小或該角的正、余弦值時,也可以求出角的終邊上一點的坐標,即角θ的終邊上一點P的坐標為P(rcos

θ,rsin

θ),其中r為點P到角的頂點的距離,據此可以實現角與點的坐標之間的聯系.對點練1答案

B

突破點二三角函數的圖象及其應用命題角度1已知圖象求解析式答案BC

方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象求其解析式時,A通過看圖比較容易得出,求ω和φ時常用如下兩種方法(1)由ω=即可求出ω;確定φ時,若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0,則令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入圖象中已知點的坐標,將一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式,再結合圖象解出ω和φ,若對A,ω的符號或對φ的范圍有要求,則可用誘導公式變換使其符合要求.對點練2(2021·全國甲,理16)已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則滿足答案

2

命題角度2圖象變換答案B

規律總結研究正弦型函數性質的基本方法一般地,研究正弦型函數的性質時,應將函數解析式進行化簡,轉化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,通過整體代換,結合正弦函數、余弦函數的基本性質進行求解.(1)求單調區間時,將ωx+φ整體代入正弦函數或余弦函數的單調遞增(減)區間,求出x的取值范圍即為原函數的單調遞增(減)區間.(2)求函數在閉區間上的最值時,應根據x所在的區間求出ωx+φ的取值范圍,再結合正弦函數或余弦函數的圖象確定函數的最值.(3)判斷對稱軸或對稱中心時,可根據“對稱軸經過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標是函數的零點”這一性質進行檢驗判斷.對點練3已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象向左平移

個單位長度后與f(x)的圖象重合,則ω的最小值為(

)A.8 B.4 C.2 D.1答案B

突破點三三角函數的性質及其應用命題角度1正弦型函數的性質答案

ACD

規律總結研究正弦型函數性質的基本方法一般地,研究正弦型函數的性質時,首先應將函數解析式進行化簡,轉化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,然后通過整體代換,結合正弦函數、余弦函數的基本性質進行求解.(1)求單調區間時,將ωx+φ作為一個整體代入正弦函數或余弦函數的單調遞增(減)區間,求出x的范圍即為原函數的單調遞增(減)區間.(2)求函數在閉區間上的最值時,應根據x所在的區間求出ωx+φ的取值范圍,再結合正弦函數或余弦函數的圖象確定函數的最值.(3)判斷對稱軸或對稱中心時,可根據對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數的零點這一性質進行檢驗判斷.對點練4答案D

命題角度2非正弦型函數的性質答案AD

名師點析回歸定義研究三角函數的性質在研究三角函數性質時,如果函數不能化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)等形式,可借助復合函數的單調性法則或導數研究其單調性或最值,可用周期的定義、軸對稱或中心對稱的一般條件來判斷函數的周期、函數圖象的對稱軸或對稱中心.(1)若非零實數t使得f(x+t)=f(x)對x∈R恒成立,則可推出t是函數f(x)的一個周期.(2)若函數f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,則可判斷函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(3)若函數f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,則可判斷函數f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.對點練5關于函數f(x)=|cosx|-|sin|x||有下面四個結論: