2023屆浙江省考試院抽學校高考考前沖刺必刷卷（一）數學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復數z滿足z（I）="畫，則復數z等于O

A.1-ZB.1+iC.2D.-2

2.已知命題〃：m方>2,其一8>0,那么力為（）

33

A.3x0>2,x0-8<0B.VX>2,X-8<0

33

C.<2,X0-8<0D.VX<2,X-8<0

3.已知函數下列命題：①函數f（x）的圖象關于原點對稱；②函數/（X）是周期函數；③當x=I時，

函數Ax）取最大值；④函數/（x）的圖象與函數'=■!■的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）

X

A.①④B.②③C.①③?D.①②④

4.設雙曲線C:二-上=1的右頂點為A,右焦點為尸，過點尸作平行C的一條漸近線的直線與C交于點3,則

916

△A/有的面積為（）

3264

A.蕓B.一C.5D.6

1515

5.過拋物線丁=2a（〃>0）的焦點作直線交拋物線于AB兩點,若線段A3中點的橫坐標為3,且|AB|=8,則

拋物線的方程是（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2-10%

6.在鈍角A6C中，角A,3,C所對的邊分別為a,瓦c,3為鈍角，若acosA="sinA,貝！IsinA+sinC的最大值

為（）

l97

A.J2B.-C.1D.-

88

7.在嚴的展開式中，/的系數為（）

2x

A.-120B.120C.-15D.15

8.已知a=(cosa,sina),b=(cos(-a),sin(-a)),那么a.b=()是。=br+^(%eZ)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知A類產品共兩件4,4，8類產品共三件4,鳥,33,混放在一起，現需要通過檢測將其區分開來，每次隨機

檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件A類產品或者檢測出3件B類產品時，檢測結束，則第一次檢測出3

類產品，第二次檢測出A類產品的概率為(）

1323

A.-B.-C.-D.—

25510

10.設函數/(乃=三產，則y=/(x),xe[-），句的大致圖象大致是的（）

x2+l

y*

+

A?AB?

,■.]-----尸，J,J+A

Ox

，0nX

X

f_

C.?D.“■+一■??--―卜一--

千Owxf4-A

，OnX

11.用數學歸納法證明..，則當---_時，左端應在r_-的基礎上加上（）

：+m+…+匚?=」——U1JJ

A-B-co+jy

D.

COSA：

12.f(x]=--在原點附近的部分圖象大概是（）

sinx

ML0

A.—；二。],二3B.

nR.mr

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+2>0

13.若變量x,N滿足約束條件,則z=3x+2y的最大值為.

x+y>0

14.某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票.這3名候

選人的得票數(不考慮是否有效)分別為總票數的88%,75%,46%,則本次投票的有效率(有效票數與總票數的比

值)最高可能為百分之.

“我身邊的榜樣”評選選票

候選人符號

甲注：

1.同意181“。”,不同意

乙2.等小道票“。”的個教不超浮2時才為用年票.

丙

15.函數y=的定義域為

16.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/(x)=xlnx-,aeZ.

(D當。=1時，判斷x=l是否是函數/(x)的極值點，并說明理由;

(2)當x〉0時，不等式/(x)W0恒成立，求整數。的最小值.

18.(12分)在直角坐標系X0V中，已知點P(LO),若以線段PQ為直徑的圓與軸相切.

(1)求點。的軌跡C的方程;

⑵若C上存在兩動點A,B(A,8在x軸異側)滿足Q4.OB=32,且△RW的周長為2,用+2,求的值.

x=2-f

19.（12分）已知在平面直角坐標系xQy中，直線C,的參數方程為「一日口為參數），以坐標原點為極點，x軸

U=2+r

的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕=COS。（夕cos6+2）.

（1）求曲線G與直線C2的直角坐標方程；

（2）若曲線G與直線交于A,8兩點，求的值.

20.（12分）已知首項為2的數列｛4｝滿足/M+2'".

〃+1

（1）證明：數列（緩｝是等差數列.

（2）令2=4+〃，求數列也｝的前〃項和S”.

21.（12分）已知acR,函數/（x）=ln（x+l）-%2+ax+2.

（1）若函數在［2,+8）上為減函數，求實數。的取值范圍；

（12、12

（2）求證：對（-1,+℃）上的任意兩個實數X1,》2，總有/鼻西+公工22鼻/（玉）+./（工2）成立.

22.（10分）已知公差不為零的等差數列｛4｝的前〃項和為S,,,%=4,%是生與4的等比中項.

（1）求S,；

a

（2）設數列｛〃｝滿足4=。2,bn+l=bn+3x2",求數列｛〃｝的通項公式.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

通過復數的模以及復數的代數形式混合運算，化簡求解即可.

【詳解】

復數z滿足z(l—i)="Gi|=2,

22(1+z).

AZ=-------=--------rr------r=l+Z,

1-z(l-z)(l+z)

故選B.

【點睛】

本題主要考查復數的基本運算，復數模長的概念，屬于基礎題.

2、B

【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.

【詳解】

已知命題P：m』>2,-8>0,那么]〃是\/%>2,/一840.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.

3,A

【解析】

根據奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數特點知②錯誤；函數定義域為R,最值點即為極值點，由/[1^=0

知③錯誤；令g(x)=/(x)-J在x〉0和x<0兩種情況下知g(x)均無零點，知④正確.

【詳解】

由題意得：“X)定義域為R,

sin(-x)_sinx

一/(力，，/(力為奇函數，圖象關于原點對稱，①正確;

/(T)=(-x)2+lX2+1

y=sinx為周期函數，y=f+i不是周期函數，不是周期函數，②錯誤;

(x2+l)cosx-2xsinx

*上。，,

不是最值，③錯誤;

x2+1)2

1

A[?isinx-x——

令g(x)=〃x)」卓—

XX4-1XX4-1

當x>0時，sinx<x>—>0,.,.g(x)<0,此時/(x)與y無交點;

Xx

當％<0時，sinx>x,—<0,/.^(x)>0,此時/(x)與y無交點；

XX

綜上所述：/(%)與.丫=:無交點，④正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數與導數知識的綜合應用，涉及到函數奇偶性和周期性的判斷、函數最值的判斷、兩函數交點個數問題的

求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.

4、A

【解析】

根據雙曲線的標準方程求出右頂點A、右焦點戶的坐標，再求出過點b與C的一條漸近線的平行的直線方程，通過

解方程組求出點B的坐標，最后利用三角形的面積公式進行求解即可.

【詳解】

由雙曲線的標準方程可知中：4=3力=4."=，/+/=5,因此右頂點A的坐標為(3,0),右焦點尸的坐標為

44

(5,0),雙曲線的漸近線方程為：y=±jx,根據雙曲線和漸近線的對稱性不妨設點F作平行C的一條漸近線y=

44

的直線與C交于點8,所以直線EB的斜率為因此直線EB方程為：y=-(x-5),因此點B的坐標是方程組：

的解，解得方程組的解為：；即8(二，一行)，所以△AF8的面積為:

xV,_32

=1

916---------------------------Iy=--1-5-

1x(5-3)x32_32

I?一71

故選：A

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線方程的應用，考查了兩直線平行的性質，考查了數學運算能力.

5、B

【解析】

利用拋物線的定義可得,IAB|=|”|+1陰=玉+勺々+多把線段相中點的橫坐標為3,1|=8代入可得p值,

然后可得出拋物線的方程.

【詳解】

設拋物線V=2px(p>0)的焦點為F,設點A(x,,%),3(孫必),

由拋物線的定義可知IAB1=1AF\+\BF\=xx+^+x2+^={xx+x1)+p,

線段AB中點的橫坐標為3,又|AB|=8,，8=6+。，可得。=2,

所以拋物線方程為y2=4x.

故選：B.

【點睛】

本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.

6、B

【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得cosA=sinB,即可得到A=8-再求出6G弓)最后根據

sinA+sinC=sinB---+sin71-B-----B求出sinA+sinC的最大值;

I2)LV2；,

【詳解】

解：因為acosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因為sinAwO

所以cosA=sin3

八47cn兀乃

0<A<—0<B----<一

222

71?71

—<B<7t即<—<B<?

22

0<C<-

2II2；2

.,.sinA+sinC=sinB--+sin

I2

=-cos3—cos23

=-2cos2B-cosB4-1

cosB+—

4

cosB=——e一--,0時(sinA+sinC)

4

故選：B

【點睛】

本題考查正弦定理的應用，余弦函數的性質的應用，屬于中檔題.

7、C

【解析】

寫出（X-'-嚴展開式的通項公式&1=/）（一3"'°必，令10—2r=4,即r=3,則可求系數.

2x2

【詳解】

（X—的展開式的通項公式為=令10-2r=4,即r=3時，系數為

2x2x2

a1a

C：）（—2）=一15.故選C

【點睛】

本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎題.

8、B

【解析】

由。m=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結論.

【詳解】

解：因為a=（cosa,sina）,匕=（以九（一。）,5m（一。））且4g=0

coscu.cos（-a）+sina^>in（-a）=cos2tz-sin2a=cos2a=0.

jrTT

2a=2k.n±—,解得a=k;r±w（左eZ）.

n

a.6=0是。=%?+：（%€Z）的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

9、D

【解析】

根據分步計數原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測出B類產品的概率，不放回情況下第二次檢測出A類產品的

概率，即可得解.

【詳解】

A類產品共兩件4,4，B類產品共三件現出出,

則第一次檢測出8類產品的概率為|;

21

不放回情況下，剩余4件產品，則第二次檢測出A類產品的概率為一=—；

42

313

故第一次檢測出3類產品，第二次檢測出A類產品的概率為-x-=—；

5210

故選：D.

【點睛】

本題考查了分步乘法計數原理的應用，古典概型概率計算公式的應用，屬于基礎題.

10、B

【解析】

采用排除法：通過判斷函數的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點（不）的函數值符號排除選項D和選項C

即可求解.

【詳解】

對于選項A:由題意知，函數/（X）的定義域為R,其關于原點對稱，

因為=⑺

、）D+1%+1

所以函數/（x）為奇函數，其圖象關于原點對稱，故選A排除；

（、閨sin閨2

對于選項D:因為/g="J>0，故選項口排除；

⑴[J+1萬

對于選項C：因為/（0=巴學⑷=0,故選項C排除；

71+1

故選:B

【點睛】

本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點

并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.

11、c

【解析】

首先分析題目求用數學歸納法證明1+1+3+…+n[=_..：時，當n=k+l時左端應在n=k的基礎上加上的式子，可以分別

2

使得n=k,和n=k+l代入等式，然后把n=k+l時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案.

【詳解】

當n=k時，等式左端=1+1+…

當n=k+l時，等式左端=1+1+…+k】+ki+l+ki+l+...+(k+1)*,增加了項(k,+l)+(k'+l)+(k'+3)+...+(k+1)*.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./

12、A

【解析】

分析函數y=/(x)的奇偶性，以及該函數在區間(0,〃)上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.

【詳解】

令sinxoO,可得乃MeZ},即函數y=/(x)的定義域為肛ZeZ},定義域關于原點對稱，

COS(T)COSX

/(-%)=.(、=———=一小)，則函數y=/(x)為奇函數,排除c、D選項；

sin(-x)sinx

cosx

當0<x<7t時，ecosx>0,sinx>0,則=---->0?排除B選項.

sinx

故選：A.

【點睛】

本題考查利用函數解析式選擇函數圖象，一般要分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，考查分

析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

2

【解析】

3z

根據約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉化為直線y=在y軸截距最大的問題的求解，通過數形結合的

￡3

方式可確定過B時，Z取最大值，代入可求得結果.

252

【詳解】

由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:

3z3z

將z=3x+2y化為y=_y+],則z最大時，直線y=_蕓+,在），軸截距最大;

33z

由直線y=—平移可知，當y=—+-過3時，在丁軸截距最大，

222

x-y+2=0

3x+y=0

3

故答案為：

2

【點睛】

本題考查線性規劃中最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為直線在>,軸截距的最值的求解問題，通過數形結合的

方式可求得結果.

14、91

【解析】

設共有選票10（）張，且1,2,3票對應張數為％、2,由此可構造不等式組化簡得到z=x+9,由投票有效率越高二越小,

可知Zmin=9,由此計算可得投票有效率.

【詳解】

不妨設共有選票100張，投1票的有X,2票的有y,3票的有z,則由題意可得：

x+2y+3z=88+75+46=209

<x+y+z=100,化簡得：z-x=9,即z=x+9,

x,y,zeN

投票有效率越高，z越小，則x=0,z=9,

100-9

故本次投票的有效率（有效票數與總票數的比值）最高可能為一^^一x100%=91%.

故答案為：91%.

【點睛】

本題考查線性規劃的實際應用問題，關鍵是能夠根據已知條件構造出變量所滿足的關系式.

15、(0,1]

【解析】

x>0

由題意得｛log/20：，解得定義域為(0』.

2

16、乖)

【解析】

由圓柱外接球的性質，即可求得結果.

【詳解】

解：由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,

設圓柱底面半徑為廣，由已知有產+F=22,

r--\/3，

即圓柱的底面半徑為6.

故答案為：73.

【點睛】

本題考查由圓柱的外接球的性質求圓柱底面半徑，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)x=l是函數f(x)的極大值點，理由詳見解析；(2)1.

【解析】

(1)將“=1直接代入，對/(幻求導得尸(x)=lnx-4x+4,由于函數單調性不好判斷，故而構造函數，繼續求導,

判斷導函數/'(X)在x=l左右兩邊的正負情況，最后得出，x=l是函數/(x)的極大值點；

(2)利用題目已有條件得再證明。=1時，不等式/(x)W0恒成立，即證lnx-2x+3-1W0,從而可知整

x

數”的最小值為1.

【詳解】

解：(1)當a=l時，/'(x)=lnx-4x+4.

4-F(x)=/'(x)=lnx-4x+4,則F'(x)=--4=-——

當時，F(x)<0.

4

即尸(x)在匕內為減函數，且/'(1)=0

.,.當時，/<》)>0；當工€(1,+00)時，/,(x)<0.

.?./(X)在匕件"內是增函數，在(1,4W)內是減函數.

綜上，x=l是函數“X)的極大值點.

(2)由題意，得了(1)40,即ail.

現證明當。=1時，不等式〃x)W0成立，即xlnx—2x?+3x—1W0.

即證Inx-2x+3-'?0

X

令g(x)=lnx-2x+3——

2

EI1-2x+x+l-(2x+l)(x-l)

貝!lg<x=——2+F=——一=」——/一L

Xxx~X

.?.當xe(0,l)時，8'(%)>0；當％€(1,+8)時，g(x)<().

.?.g(x)在(0,1)內單調遞增，在(1,”)內單調遞減，

g(%)的最大值為g(1)=0.

?■?當x>0時9Inx—2x+3—W0.

x

即當x>0時，不等式/(x)WO成立.

綜上，整數。的最小值為1.

【點睛】

本題考查學生利用導數處理函數的極值，最值，判斷函數的單調性，由此來求解函數中的參數的取值范圍，對學生要

求較高，然后需要學生能構造新函數處理恒成立問題，為難題

18、(1)>2=4X；(2)|AB|=48

【解析】

(D設Q(x,y),則由題設條件可得J(x-1)?+>2=2'卜1*化簡后可得軌跡c的方程.

(2)設直線A8：X=,町，+”，聯立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理化簡Q&.08=32并求得〃=8,結合焦半徑

公式及弦長公式可求加的值及|AB|的長.

【詳解】

(1)設Q(x,y),則圓心的坐標為(WV)，

因為以線段P。為直徑的圓與y軸相切，

所以J(x-l)-+。=2X,

化簡得C的方程為y2=4x.

⑵由題意k"#0，設直線AB:x=my+〃，

聯立y?=4x得V_4,町-4〃=0,

設A(3,yJ,3(孫%)(其中%%<0)

所以X+%=4m,%?%=-4〃,且力〉0,

22

因為0A-0B=32，所以0A?0B=玉工,+y%=1,~~+V1％=32>

16

“2?4〃=32,所以(〃-8)(“+4)=0,故及=8或〃=T(舍)，

直線AB:x=/My+8,

因為△R46的周長為21ABi+2

所以|川+|冏+|陰=2|陰+2.

^\PA\+\PB\=\AB\+2,

因為|PA|+1P5|=的+中+2=□(%+%)+18=4m2+18.

又+卜=Jl+W??,4加)2+128=4小(1+m2)(8+加2),

所以4m2+]8=410+/叫(8+也+2,

解得加=±2&，

所以,用=441+也(8+也=4*+8)(8+8)=48.

【點睛】

本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長計算，還涉及到向量的數量積.一般地，拋物線中的弦長問題，一般可通過聯立

方程組并消元得到關于x或)'的一元二次方程，再把已知等式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系

中含有%%,%+為或X%，X+必，最后利用韋達定理把關系式轉化為某一個變量的方程.本題屬于中檔題.

19、(1)曲線G的直角坐標方程為V=2x；直線。2的直角坐標方程為刀+丁―4=0(2)60

【解析】

X=OCOS0

(1)由公式,八可化極坐標方程為直角坐標方程，消參法可化參數方程為普通方程；

y=psin，

(2)聯立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標，從而得兩點間距離.

【詳解】

解：(1)夕cose(/?cos8+2)

p=pcos?。+2cos。

p1=p2cos?6+2pcos。

x2+y2=x2+2x

曲線G的直角坐標方程為y2=2x

直線。2的直角坐標方程為x+y-4=0

y=—x+4x=2fx=8

⑵據2c解，得c或，

y2=2xy=21y=-4

|陰=J(2-8『+[2-(-4)丁=672

【點睛】

本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查參數方程與普通方程的互化，屬于基礎題.

n+2

20、(1)見解析；(2)Sn=2'+-n+-n-2

22

【解析】

(1)由原式可得(〃+1)。的=2〃凡+2向,等式兩端同時除以2向，可得到(〃；胃=要+1，即可證明結論；

(2)由(1)可求得筮的表達式，進而可求得。“也的表達式，然后求出低｝的前〃項和S“即可.

【詳解】

(1)證明:因為。,出=2〃4+2”",所以(〃+])2〃。“+2的,

n+1n+\

所以"答=螯+1，從而然智一蒙=1，因為4=2,所以年=1，

故數列，翳，是首項為1,公差為1的等差數列.

(2)由(1)可知^^=1+(〃-1)=〃,則4=2",因為勿=4+〃,所以2=2"+〃，

則5“=4+功+4+…+a=(2+1)+(22+2)+(23+3)++(2"+”)

232x12，；n+l2

=(2+2+2++2")+(1+2+3++n)=(~)+=2+-n+-n-2.

1-2222

【點睛】

本題考查了等差數列的證明，考查了等差數列及等比數列的前〃項和公式的應用,考查了學生的計算求解能力，屬于中檔

題.

21、(1)(一8，,(2)見解析

【解析】

(1)求出函數的導函數，依題意可得了'(x)40在x?2,—)上恒成立，參變分離得a42x--Lj?在x?2,小?)上

恒成立.設〃(幻=2x-一1,求出A(x)min即可得到參數的取值范圍；

x+1

(12A12

Fxxx