從本講起，我們開始從本講起，我們開始第三章的學習它是第二章內容的推廣一維隨機變量及其分多維隨機向量及其分由于從二維推廣到多維一般無實質性困難，我們重點討論二維隨機向.2S一般E是一個隨機試驗,它的樣本空間e設X1X1e,X2e,Xne,Xn是定義在上的隨機變量,由它們構成的一維n量X1X2Xnn維隨機向量以下重點討論二維隨機向請注意與一維情形的對.3一、二維隨機向量的分布函數的一、二維隨機向量的分布函數的定X,Y)是二維隨機向量,對于任二元函Fx,yPXx,Yy,x,y稱為二維隨機向量X,Y的分布函數變量X和Y的聯合分布函數或者稱為隨4一維隨機變量X的分布函數FxPXx,xP(X (Y分布函數的函數值的幾何解Fx,yP分布函數的函數值的幾何解Fx,yPXx,YFxPXYxxXXOFx,y在x,y處的值為隨機向量X,Y落在5yOx二、二維隨機向量的聯合分布的求1、離定義如果二維隨機向量(Y)二、二維隨機向量的聯合分布的求1、離定義如果二維隨機向量(Y)的全部可能取為有限個或可列個,則稱Y)為二維離散型隨機向量定義設X,Y的所有可能取值為xi,yji,j1,.PXxi,Yyjpiji,j1,,為X,Y的聯合概率分布.Xyp1p2piP{X},k1,kk為離散型隨機變量X的概率分或概率函數或分布律6聯合概率分布有下面的性質聯合概率分布有下面的性質ij(xi,yjP{(X,Y)D}pij7例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球兩Y第二次取白第二次取黑第一例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球兩Y第二次取白第二次取黑第一次取白第一次取黑X分別求出在重復抽樣和非重復抽樣兩種情況XY)的聯合分布,及解：1.重復抽(X,Y)的所有可能取值為4P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}22 23P{X0,Y1}P{X0}P{Y1} P{X1,Y0}326P{X1,Y1}339 例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,次每次一個,定義下列隨機變量Y第二次取白第二次取黑第例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,次每次一個,定義下列隨機變量Y第二次取白第二次取黑第一次取白第一次取黑非重復抽X(X,Y)的所有可能取值為1P{X0,Y0}P{X0}P{Y0|X0}23 P{X0,Y1}P{X0}P{Y1|X0}2 P{X1,Y0}33P{X1,Y1}339 X01X0101012.非重復抽Y1.F(0,1)X01X0101012.非重復抽Y1.F(0,1)P{X0,Y1}·P{X0,Y0}P{X0,Y46,0·X2.F(0,1)1535例二維隨機向量例二維隨機向量(3))的聯合概率分布為Y012X0a1解：1由pij=1a2由PX,YDijpij(xi,yjP{X0,Y1}P{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}Y012XaY012Xa13P{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}Y~N（0,1）,|Y|Y~N（0,1）,|Y||Y|1|Y||Y|X1X2求X1,X2的聯合概率分布(X1,X2的所有可能取值為P{X10,0}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|1P{|Y|2}1[2(2)1]2[1P{X10,1}P{|Y|1,|Y|2}P{1|Y|2P{1Y2}2[(2)(1)]|Y||Y|Y||Y|1|Y||Y|X1X20}P{|Y|1,|Y|2}P{}1}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|2(1)1P{X11,X2P{X11,X21.設隨機變X在1,2,3,4四個整數中等可能地取值另一個隨機變量Y在1到X中等可能地取一整數值試求（X,Y）的聯合概率分布(1.設隨機變X在1,2,3,4四個整數中等可能地取值另一個隨機變量Y在1到X中等可能地取一整數值試求（X,Y）的聯合概率分布(X的可能取值為(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,(3,3),(4,1),(4,2),(4,Y1234X1400000012341142421114343431111444444442.已知隨機變XY的聯合概率分(x(0,1)(1,0)(1,1)2.已知隨機變XY的聯合概率分(x(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)AP{X≤1,Y≤1}；X、YAP{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,Y0.100.150.250.2X的所有可能取值為,P{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}P{X1}P{X2}Y的所有可能取值為,P{YY的所有可能取值為,P{Y0}P{X0,Y0}P{X1,YP{X2,Y0}P{Y1}XY的所有可能取值為：01,2P{XY0}P{X0,Y0}P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}0.4P{XY2}P{X2,Y0}P{X1,Y1}0.35P{XY3}P{X2,Y1}0.15(x(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)0.100.150.250.20 甲.乙二人獨立地各進行兩次射擊,假設甲,乙的中率分別為0.2,0.5,以甲.乙二人獨立地各進行兩次射擊,假設甲,乙的中率分別為0.2,0.5,以求X,Y的聯合概率分布表示甲,乙的命中次數解X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表為由X,Y的獨立性得1)的聯合概率分布X02012Y P X P 回憶內f(x,D區域D 回憶內f(x,D區域D的兩種表示方X型區域：Dxy|axbu1xyu2u2(Dbu(x2f(x,f(x,au1(xaObu1(f(x,DY型區域f(x,DY型區域：Dxy|cyd,v1yxv2Ddv(yf(x,y)dxdy2f(x,cv1(ydv(v(21cO設區域D是由曲線yxy設區域D是由曲線yxyxy圍成例區域,計算二重積分2yDyy(0,0),(2,2),(2,xOX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyY型：Dxy|0y2,yxyX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyyy02(22x2xOD22yX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyyy02(22x2xOD222202(2220xx0x2122022||222yx(x20x02x)dx2x(42x(4x020x)dx(4x33(4x0(2x21x4 (2x21x444440yyyxOY型：Dxy|0y2,yyyxOY型：Dxy|0y2,yx2yD2y(222y0y0y(1x2|y22022y002、連定對于二維隨機向量(X,Y2、連定對于二維隨機向量(X,Y),若存在非負可函數fx,y),使1.對于平面上任意可度量區域D,都P{(x,y)D}f(x,D1或對于任意xy,xyfu,v x, 則稱(X,Y)為二維連續型隨機向量fx,y)f(x,X,Y的聯合概率密度函數,記作X,Y)連續型隨機向量的密度函數連續型隨機向量的密度函數fx,y)具有下面性1.f(x,y)f(x,y)dxdy3DxOy平面上則fx,ydxdyPX,YDDx,yD,求f(x,y),f(x,y)x,yD,求f(x,y),f(x,y)例設X,Y)(x,y)fx,y)dxdy1得 由解f(x,y)dxdyλdxdyλdxdyDD1λ,其中表示區域的面積DSD1(x,y)即fxyD(x,y)1(x,y)f(x,1(x,y)f(x,y),f(x,y)定若X,Y),D(x,y)則稱X,Y)服從區域D上的均勻分布Ae(xyx,y其f(x,y)例設X,Y)f(x,,Ae(xyx,y其f(x,y)例設X,Y)f(x,,02.F(x,求3.(X,Y)落在區域內的概y4.P{YXxyD解1.由f(x,xO(xy00xy 00A(ex)|(ey)A00e(xyx,y其F(x,y)(f(u,v)dv)duf(x,y),02x0,y0YxyF(x,y)(f(u,v)dv)duxe(xyx,y其F(x,y)(f(u,v)dv)duf(x,y),02x0,y0YxyF(x,y)(f(u,v)dv)dux0,yyxy(uv(ey00xy 0xX00(eu|x)(ev|yx0,yx0,y00(1ex)(1ey(1x)(10x0,yye)F(x,y)其xe(xyx,y其f(x,y)03.P{(X,Y)D}f(x,e(xyx,y其f(x,y)03.P{(X,Y)D}f(x,yDxe(xyxy11(D010x1Oxxye( 001ex(ey)|1001x(1x1e01xe1(ex)00(1e1)e11e(xyx,y其f(x,y),0Y4.P{YX}f(x,e(xyx,y其f(x,y),0Y4.P{YX}f(x,x (xye0x xy( 0X0xx(1e0xe2x0111e2x)(e0222例設隨機變量(X,Y)的概率密k6xy0x2,2y x,y其它例設隨機變量(X,Y)的概率密k6xy0x2,2y x,y其它(1)4PX1,Y3(2求概2fx,y41xo226xy0222(6x)y24(12|202k18.3x016xy0x2,2其它yyfx,y(2)PX1,Y16xy0x2,2其它yyfx,y(2)PX1,Y13fx,ydy181843136xy0252x1(6x10188 20三、邊緣分二維三、邊緣分二維聯合分布全面地反映了二維隨機變(X,Y)的取值及其概率規律而單個隨機變量也具有自己的概率分布那么要問:二者之間什么關系呢1、邊緣分布函二維隨機向量)1、邊緣分布函二維隨機向量)作為一個整體,具有分布FxyX數也有各自的都是隨機變FXx,FYy,依次稱為二維隨分別記布函數(X,Y)XY的邊緣分布函數FXxPXxPXx,YFx,PX,YyF,yYFYyPYyOX2、離散型隨機向量的邊緣分定義(X,Y),P(Xxi,Yyj2、離散型隨機向量的邊緣分定義(X,Y),P(Xxi,Yyj)pij(X,Y)關于Xi,j1,PXxi,YPXxipiypji1,2,關于YPXxyPYyjpij.iij1,2,分別等于聯合概率分布表的行和與列和例：（X,Y）的聯合概率分布如下01231418例：（X,Y）的聯合概率分布如下01231418018000000123求:(X,Y)分別關于X和Ypi.,p.j,i,j1,2,3,解：由(X,Y)的聯合概率分布以及離散型隨機向量邊緣分布的概念可得P{XP{XpP{P{XP{X0,Y0,Y解：由(X,Y)的聯合概率分布以及離散型隨機向量邊緣分布的概念可得P{XP{XpP{P{XP{X0,Y0,Y0,Y000114400同理 181184014140123pi014000p0.41181800p1.420p2.43p3.4p114180018同理00p000p1230123Yp.X1p114180018同理00p000p1230123Yp.X14141414pi0123pi014000p0.41181800p1.420p2.43p3.4p.3、連續型隨機向量的邊緣概率密X,Y~fx3、連續型隨機向量的邊緣概率密X,Y~fxf(x,y)dyx(x)f(x)XfX1(X,Y)Yf(x,y)dxyf(y)f(y)YY2xfu,ydy x,事實上 xFxfx,ydyXX其中Dx,y|其中Dx,y|axbcyd},X,Y的邊緣密度函數f1x)和f2解：由二維均勻分布的定義1axb,cyf(x,y)(ba)(d0其當xa或xb時,fXx)f(x)f(x,10dy1axb,cyf(x,y)(ba1axb,cyf(x,y)(ba)(d0其ax時,ff(x,當1 dy d(ba)(dbc1ax其f(x)b10注意到X~0dyyyf(y)f(x,y)dxcd當或2c0dyyyf(y)f(x,y)dxcd當或2cyd時,fy當f(x,2 (ba)(d dba1cy其f(y)d20Y~U[c,dyx,0x其X,Y~fx,yyx,0x其X,Y~fx,y0,1.判斷X)是否服從D2.求隨機向量X,Y的邊緣密度函數f1x)和(yy1SD(x2xy2011x2310x)2Ox(11)236X,Y)服從D上的yx,0x其f(x,y)f(x)fyx,0x其f(x,y)f(x)f(x,y)dy10x,f(f(x,當時1xyy2xy6(xx200x2xf(x)1Oxyy區域的Y型表示方法為D{(x,y)|0yyy區域的Y型表示方法為D{(x,y)|0y1,yx當y0或y時,f2yyy0y,f(y)f(x,當時Ox2yy0y其6dxyy)yf(y)26e2x3x0,yX,Y~fx,y,01.PX6e2x3x0,yX,Y~fx,y,01.PX1,Y1};2.PXY};3f1x)和f2求1P{X1}(f(x, 112x323(e(e0102312113e)e)016e2x3(e21)(e3)e3(1e2Oyx2.P{XY}(6e2x300x23e(e001e3y)yx2.P{XY}(6e2x300x23e(e001e3y)2exO3023e0e2x5051e2x)1e5202(115523.當x時f1xx,f(x)f(x,當時13.當x時f1xx,f(x)f(x,當時12x3dy23e006e2x2e21e3y)30y2e2xf1(x)6e2x30O當y時,f2yy,f(y)f(x,當時2當y時,f2yy,f(y)f(x,當時22x332e006e3y3e3y1e2x)203e3yf2(y)6e2x30O四、隨機四、隨機變量的獨立1、兩個隨機變量的獨立X,Y是兩個隨機向量,1).對abcd,P(aXb,cYd)P(aXb)P(cYd1ab,P(Xa,Yb)P(Xa)P(YXY可改為對x,y,P(X對x,y,P(Xx,Yy)P(Xx)P(Y即FxyFXx)FY定理設(X,Y)是離散型隨機向量,其概率分布P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,則X與Y相互獨立的充要條件P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},i,j1,..簡記為：pijpi.pji,j1,.i,j,都有pijpi.pjX與Y相互獨立P{Xi,j,都有pijpi.pjX與Y相互獨立P{X0,Y0}P{X0}P{YX與Y不獨立X 01p1 3 3 3 . X 014 6 6 9 5p. 3 例已知隨機變量X和Y的概率分布XY0101且P{XY0P1412141212P求(1)X,Y例已知隨機變量X和Y的概率分布XY0101且P{XY0P1412141212P求(1)X,Y的聯合(2X與Y是否獨立P{XY0}解P{XY0}即0=P{XY1P{XY1P{X1,Y1}P{X1,YP{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,Y0}14X與Y不獨立P{X1}P{Y0}18X 12 4141214p. 設(X,Y)是連續型隨機向量,其密度定設(X,Y)是連續型隨機向量,其密度定數為f(x,y),則X與Y相互獨立的充要條件f(x,y)fX(x)fY(y),x,0xy,設X,Y~fx,y80判斷X與Y是否獨立0xyf(x,y)80y解：將區域D表示為X0xyf(x,y)80y解：將區域D表示為X型區域1D{(x,y)|0x1,xy81}當x0或x時,f1x當0x時,f1(x) f(x,Ox114x(xx4x(1x24x4x34x4x00x3f(x)10xyf(x,y)80將區域D表示為Y0xyf(x,y)80將區域D表示為Y型區域yD{(x,y)|0y1,0x當y0或y時,f2y180y,f(y)f(x,當時Ox2y4y(|y00440y34f(y)204x4x00x0y334f(x4x4x00x0y334f(x)f(y)1200xy(X,Y)~f(x,y)當x1y1時22(y)(21)2f(x,y)2,(x)XY24X與Y不獨立例設(X,Y)xe(xy)x0,y例設(X,Y)xe(xy)x0,y其f(x,y)判斷X和Y是否獨立f1(x)解f(x,當x>0時(xy0xex(ey)0xexxx其,f(1(y)f(x,y)dxxe(xy)當y>0時,20(y)f(x,y)dxxe(xy)當y>0時,20yxdexyx(e e00ey(xee00|)eey(e0eyy(y)2xe(xy)x0,yxe(xy)x0,yf(x,y)eyx其yf1(x)(2可見對一x,均有f(x,y)f1(x)f2(X2、多個隨機變量的獨立X1X2,Xn)是n維隨機向量,2、多個隨機變量的獨立X1X2,Xn)是n維隨機向量,如對于任意的aibii1,nP{a1X1b1,a2X2b2,anXnbnP{a1X1b1}P{a2b2P{anbnanP{X1a1,X2a2P{X1a1}P{X2a2an,P{Xnan則稱X1,X2,Xn可改為離散型隨機變量X1離散型隨機變量X1X2,Xn相互獨立充要條件是：聯合概率分布等于邊緣概率分的乘連續型隨機變量X1X2,Xn相互獨立充要條件是：聯合概率密度函數等于邊緣概密度函數的乘積定義稱隨機變量序列X1,X2,…,Xn,…為相特別,若每個Xi(i=1,2,…)的分布相同,則稱之五、隨機變量函數1、Z=X+Y設隨機變量X1與X2相互獨立,分別服從二項分五、隨機變量函數1、Z=X+Y設隨機變量X1與X2相互獨立,分別服從二項分例p)和p),求Y=X1+X2的概率分布解:Y的取值為:0,1,,n1n2kP{X1i,X2kP{Yk}ikP{X1i}P{X2kikiCkpkiqn2k iikikiCiCkipkqn1n2pkqn1n2Ci Ck nn12knniCkkpC12k iknniCkkpC12k i0pkqn1n2kCkn1k1P{Yk}pkqn1n2kCkn1k,n1n2Y~B(n1n2,0k定若X,Y)fxy),且X與Y相互獨立定若X,Y)fxy),且X與Y相互獨立則ZXYfZ(z)fX(zy)fY(fX(x)fY(z例若X,Y~fx,yX與Y相互獨立,且0x其eyy(x)fY(y)fX00求ZXY的密度函數1(z)fX(x)fY(zfY(zfZ0zxz(t)dt1(z)fX(x)fY(zfY(zfZ0zxz(t)dtff(tYYz當z時fY(t)dtzztf(t)dt 當z10z0Y0zzetdtef(t)dtzYe1zez0zzz0zz01ezZXY的密度函數為f(z)Z1ee1、兩個獨立的正態分布的1、兩個獨立的正態分布的隨機變量之和仍從正態分布即:若X1~N(μ1,σ1X2~N(μ2,σ2X1X2獨立,2222X1+X2~ +σ2即:若Xi~N(μi,σi2i=1,2,...,nX1X2Xn互獨立,實數a1,a2,...,an不全為零,例設X和Y獨立同服從標準正態分布N求Z1XYZ2例設X和Y獨立同服從標準正態分布N求Z1XYZ2XYX~N(0,1)和Y~N(0,1),且X和YZ1XY~N(0,XY~N(0,141e(z) (z)e2π22π~N(μ,σ2特別,若X1X2Xn相互獨立,且Xi~N(μ,σ2n1nXii1則X~N(μ,σ2特別,若X1X2Xn相互獨立,且Xi~N(μ,σ2n1nXii1則Xn1nnn1nn1nn1iii1X2XX~Nσii2niN(1nσ2nN(μ,1σ2n2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)設是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FX(x)和FY(y),我們來Nmin(X,Y的分布函數M=1.Mmax(X,Y函數為FM(z)即FM(z)=Nmin(X,YNmin(X,YFN(z)=P(N≤z)=1-=1-XY相互獨立,N=min(X,Y)函數為FN(z)=1-即X1,…,Xn分布函數分別個相互獨立的X1,…,Xn分布函數分別個相互獨立的隨機變量,它們zi(i=1,…,M=max(X1,…,Xn和的分布函數用與二維時完全類似的方法，可M=max(X1,…,Xn)的分布函數為FMz z1zzn2N=min(X1,…,Xn)的分布函FNz1[1 z][1zz[112n特別特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同布函數F(x)時FMz[FzFNz1[1FzL1,例6設系統L(L1損壞時系(i)串聯(ii)并聯,L2開始工作),X,Y,已知它們的所示.L1,例6設系統L(L1損壞時系(i)串聯(ii)并聯,L2開始工作),X,Y,已知它們的所示.的壽命分別率密度分別αeβe,x0x0,y0y0fXxfYy00α0,β0αβL的壽命Z的概率密度式寫L1XYLLY12XYX解(i)由于當系L1L2中有一個損壞時L就系止解(i)由于當系L1L2中有一個損壞時L就系止工作所以此L的壽命ZminX,Y的概率密度αe,x0x0fXx0的分布函數xx tFXXxx tFXXx0dt當xFxX0Fxxx tFXXx0dt當xFxX0Fxxe1x當x0eX0xx1ex0x0,FXx故0類似地可求Y的分布函數1ey0y0,FYy0ZminX,Y于的分布函數FminZminX,Y于的分布函數Fminz=1-[1-FX(z)][1-1e(αβ),z0z00ZminX,Y的概率密αβe(αβ),z0z0fzz0(ii)由于當且僅當系統L1,L2都損(ii)由于當且僅當系統L1,L2都損壞時L才系止工作所以此L的壽命ZmaxX,YZmaxX,Y的分布函數故FmaxzFXxy(1eαz)(1eβz),z00z0ZmaxX,Y的概率密度于fmaxZmaxX,Y的概率密度于fma