3.2.1幾類不同增長的函數模型基礎鞏固一、選擇題(每小題3分,共18分)1.下列函數中,自變量x充分大時,增長速度最慢的是()A.y=6x B.y=log6x C.y=x6 D.y=6x【解析】選B.根據指數函數、對數函數、冪函數、一次函數增長的特點可知,自變量x充分大時,y=log6x的增長速度最慢.2.(2014·黃山高一檢測)某學校開展研究性學習活動,某同學獲得一組實驗數據如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數據,現給出以下擬合曲線,其中擬合程度最好的是()A.y=2x-2 B.y=QUOTEC.y=log2x D.y=QUOTE(x2-1)【解析】選D.當x=6.12時,A中y=2×6.12-2=10.24,B中y=QUOTE<1,C中y=log26.12<3,D中y=QUOTE(6.122-1)≈18.23,所以擬合程度最好的是y=QUOTE(x2-1).3.(2014·佛山高一檢測)四人賽跑,其跑過的路程f(x)與時間x的函數關系分別如四個選項所示.如果他們一直跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數關系為()A.f1(x)=QUOTE B.f2(x)=QUOTExC.f3(x)=log2(x+1) D.f4(x)=log8(x+1)【解析】選B.函數f1(x)=QUOTE,f3(x)=log2(x+1)和f4(x)=log8(x+1)的增長速度越來越慢,函數f2(x)=QUOTEx增長速度不變,所以最終跑在最前面的人具有的函數關系為f2(x)=QUOTEx.4.(2014·嘉峪關高一檢測)某工廠10年來某種產品總產量C與時間t(年)的函數關系如圖所示,下列四種說法:①前五年中產量增長的速度越來越快;②前五年中產量增長的速度越來越慢;③第五年后,這種產品停止生產;④第五年后,這種產品的產量保持不變;其中說法正確的是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④【解析】選C.由t∈[0,5]的圖象聯想到冪函數y=xα(0<α<1),反映了C隨時間的變化而逐漸增長但速度越來越慢.由t∈[5,10]的圖象可知,總產量C沒有變化,即第五年后停產,所以②③正確.【拓展延伸】圖象信息題的解答策略(1)明確橫軸、縱軸的意義,分析題中的具體含義.(2)從圖象形狀上判定函數模型.(3)抓住特殊點的實際意義,特殊點一般包括最高點(最大值點)、最低點(最小值點)及折線的拐角點等.(4)通過方程、不等式、函數等數學模型化實際問題為數學問題.5.(2014·撫州高一檢測)“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當它醒來時,發現烏龜快到終點了,于是急忙追趕,但為時已晚,烏龜還是先到達了終點…用S1,S2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時間,則與故事情節相吻合的是()【解析】選B.選項A,烏龜與兔子同時到達終點,不合題意;選項B,烏龜先到達終點,兔子后到達終點,行程相同,符合題意;選項C,兔子睡覺后未醒,沒完成任務,不合題意;選項D,兔子先到,不合題意.6.某林區的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經過y年,則函數y=f(x)的圖象大致為()【解析】選D.設原來森林蓄積量為a,則a(1+10.4%)y=ax,1.104y=x,所以y=log1.104x,故選D.【舉一反三】將本題條件改為“要增長到原來的y倍,需過x年”,其他條件不變應如何解答?【解析】選B.設原來森林蓄積量為a,則a(1+10.4%)x=ay,故y=1.104x,如原題B選項圖.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2014·濟南高一檢測)現測得(x,y)的兩組對應值分別為(1,2),(2,5),現有兩個待選模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又測得(x,y)的一組對應值為(3,10.2),則應選用作為函數模型.【解析】當x=3時,甲:y=32+1=10,|10-10.2|=0.2,當x=3時,乙:y=3×3-1=8,|8-10.2|=2.2,所以應選用甲作為函數模型.答案:甲8.一種專門侵占內存的計算機病毒,開機時占據內存2KB,然后每3分鐘自身復制一次,復制后所占內存是原來的2倍,那么開機后經過分鐘,該病毒占據64MB內存(1MB=210KB).【解析】設過n個3分鐘后,該病毒占據64MB內存,則2×2n=64×210=216,所以n=15,故時間為15×3=45(分鐘).答案:459.(2014·瓊海高一檢測)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一個方向運動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下結論:①當x>1時,甲走在最前面;②當x>1時,乙走在最前面;③當0<x<1時,丁走在最前面,當x>1時,丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;⑤如果它們一直運動下去,最終走在最前面的是甲.其中,正確結論的序號為(把正確結論的序號都填上,多填或少填均不得分).【解析】①錯誤.因為f1(2)=22-1=3,f2(2)=22=4,所以f1(2)<f2(2),所以x=2時,乙在甲的前面.②錯誤.因為f1(5)=25-1=31,f2(5)=52=25,所以f1(5)>f2(5),所以x=5時,甲在乙的前面.③正確.當0<x<1時,f1(x),f2(x)的圖象在f3(x)圖象的下方,f4(x)的圖象在f3(x)圖象的上方.④正確.當0<x<1時,丙在甲乙前面,在丁后面,x>1時,丙在丁前面,在甲、乙后面,x=1時,甲、乙、丙、丁四人并駕齊驅.⑤正確.指數函數增長速度越來越快,x充分大時,f1(x)的圖象必定在f2(x),f3(x),f4(x)上方,所以最終走在最前面的是甲.答案:③④⑤三、解答題(每小題10分,共20分)10.某人對東北一種松樹的生長進行了研究,收集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關數據,選擇h=mt+b與h=loga(t+1)來刻畫h與t的關系,你認為哪個符合?并預測第8年的松樹高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解析】據表中數據作出散點圖如圖.由圖可以看出用一次函數模型不吻合,選用對數型函數比較合理.不妨將(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.故可用函數h=log3(t+1)來擬合這個實際問題.當t=8時,求得h=log3(8+1)=2,故可預測第8年松樹的高度為2米.11.(2014·臨沂高一檢測)某文具店出售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元,鉛筆每枝0.5元,該店推出兩種優惠辦法:(1)買一本軟皮本贈送一枝鉛筆.(2)按總價的92%付款.現要買軟皮本4本,鉛筆若干枝(不少于4枝),若購買x枝鉛筆,付款為y元,試分別建立兩種優惠辦法中y與x之間的函數關系式,并說明使用哪種優惠辦法更合算?【解題指南】根據兩種優惠辦法分別計算出每種中y與x之間的關系式,然后比較大小即可.【解析】由優惠辦法(1)得到y與x的函數關系式為y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4且x∈N).由優惠辦法(2)得到y與x的函數關系式為y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4且x∈N).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34.當4≤x<34,x∈N時,0.5x+6<0.46x+7.36,當x>34,x∈N時,0.5x+6>0.46x+7.36.即當購買鉛筆少于34枝(不少于4枝)時,用優惠辦法(1)合算;當購買鉛筆多于34枝時,用優惠辦法(2)合算;當購買鉛筆34枝時,兩種優惠辦法支付的總錢數是相同的,即一樣合算.能力提升一、選擇題(每小題4分,共16分)1.某種動物繁殖的數量y與繁殖次數x的關系如表:x123…y137…則下面的函數關系式中,能表達這種關系的是()①y=2x-1;②y=x2-1;③y=2x-1;④y=x2-x+1.A.①② B.③④ C.②③ D.②④【解析】選B.將x=1,y=1;x=2,y=3;x=3,y=7三組數據代入4個函數關系式檢驗,可知③④能表達所給關系.2.為適應社會發展的需要,國家降低某種存款利息,現有四種降息方案:①先降息p%,后降息q%;②先降息q%,后降息p%;③先降息QUOTE%,再降息QUOTE%;④一次性降息(p+q)%,其中p≠q,上述四種方案中,降息最少的是()A.① B.② C.③ D.④【解題指南】利用特殊值法,代入特殊值驗證.【解析】選C.特值法:不妨取p=20,q=40,驗證即可.3.(2014·武漢高一檢測)某天清晨,小明同學生病了,體溫上升,吃過藥后感覺好多了,中午時他的體溫基本正常(正常體溫為37℃),但是下午他的體溫又開始上升,直到半夜才感覺身上不那么發燙了.下面能大致反映出小明這一天(0時至24時)體溫變化情況的圖象是()【解析】選C.觀察圖象A,體溫逐漸降低,不符合題意;圖象B不能反映“下午他的體溫又開始上升”;圖象D不能體現“下午他的體溫又開始上升”與“直到半夜才感覺身上不那么發燙了”,綜上,只有C是正確的.【變式訓練】一水池有兩個進水口,一個出水口,每個水口的進、出水速度如圖甲、乙所示,某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖丙所示.給出以下3個論斷:①0點到3點只進水不出水;②3點到4點不進水只出水;③4點到6點不進水不出水,則一定正確的是(填序號).【解析】由甲、乙兩圖可知,進水速度是出水速度的QUOTE,所以0點到3點只進水不出水.3點到4點有一個進水口進水,一個出水口出水.4點到6點,兩個進水口和一個出水口可以同時進水和出水或者兩個進水口和一個出水口不進水也不出水.因此一定正確的是①.答案:①4.(2014·長沙高一檢測)某地的中國移動“神州行”卡與中國聯通130網的收費標準如下表:網絡月租費本地話費長途話費甲:聯通130網12元每分鐘0.36元每6秒鐘0.06元乙:移動“神州行”卡無每分鐘0.6元每6秒鐘0.07元(注:本地話費以分鐘為單位計費,長途話費以6秒鐘為單位計費)若某人每月撥打本地電話時間是長途電話時間的5倍,且每月通話時間(分鐘)的范圍在區間(60,70)內,則選擇較為省錢的網絡為()A.甲 B.乙C.甲乙均一樣 D.分情況確定【解析】選A.設長途電話時間為x分鐘,則本地電話時間為5x分鐘,則60<6x<70,故10<x<QUOTE.甲的費用y1=12+0.36×5x+QUOTE·0.06=12+2.4x.乙的費用y2=0.6×5x+QUOTE·0.07=3.7x.因為y2-y1=1.3x-12>1.3×10-12=1>0,所以y2>y1,所以甲省錢.【誤區警示】解答本題易忽視通話時間取值范圍的分析以及作差比較法的應用.二、填空題(每小題5分,共10分)5.以下是三個函數y1,y2,y3隨x的變化的函數值列表:x12345y1392781243y2182764125y300.630911.26191.4650x678…y172921876561…y2216343512…y31.63091.77121.8928…其中關于x成指數函數變化的函數是.【解析】指數函數中的增長量是成倍增加的,函數y1中增長量分別為6,18,54,162,486,1458,4374,…是成倍增加的,因而y1呈指數變化.答案:y16.已知函數f(x)=2x和g(x)=x3,兩個函數隨x的變化的函數值如下表.x012345678910f(x)12481632641282565121024g(x)01827641252163435127291000試比較下列各組數的大小(在橫線上填寫“>”“<”或“=”)f(0.19)g(0.19),f(5.1)g(5.1),f(2014)g(2014).【解析】畫函數f(x)=2x的圖象C2,函數g(x)=x3的圖象C1,設C1與C2相交于A,B兩點,點A,B的橫坐標分別為x1,x2,當x=0,1時,f(x)>g(x),當x=2,3,4,5,6,7,8,9時f(x)<g(x),當x=10時,f(x)>g(x),所以1<x1<2,9<x2<10,從圖象可知,當x1<x<x2時f(x)<g(x),當0<x<x1,或x>x2時f(x)>g(x),所以f(0.19)>g(0.19),f(5.1)<g(5.1),f(2014)>g(2014).答案:><>三、解答題(每小題12分,共24分)7.(2014·阜陽高一檢測)有甲,乙兩家健身中心,兩家設備和服務都相當,但收費方式不同.甲中心每小時5元;乙中心按月計費,一個月中30小時以內(含30小時)90元,超過30小時的部分每小時2元.某人準備下個月從這兩家中選擇一家進行健身活動,其活動時間不少于15小時,也不超過40小時.(1)設在甲中心健身活動x(15≤x≤40)小時的收費為f(x)元,在乙中心健身活動x小時的收費為g(x)元,試求f(x)和g(x).(2)問:選擇哪家比較合算?為什么?【解析】(1)f(x)=5x,15≤x≤40,g(x)=QUOTE(2)當5x=90時,x=18,即當15≤x<18時,f(x)<g(x);當x=18時,f(x)=g(x),當18<x≤40時,f(x)>g(x);所以當15≤x<18時,選甲比較合算;當x=18時,兩家一樣合算;當18<x≤40時,選乙比較合算.8.(2014·福州高一檢測)某企業常年生產一種出口產品,根據預測可知,進入21世紀以來,該產品的產量平穩增長.記2008年為第1年,且前4年中,第x年與年產量f(x)(萬件)之間的關系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=+a.(1)找出你認為最適合的函數模型,并說明理由,然后求出相應的解析式(所求a或b的值保留1位小數).(2)因遭受某國對該產品進行反傾銷的影響,2014年的年