宜賓市普通高中2021級第二次診斷性測試文科數(shù)學（考試時間：120分鐘全卷滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求.1已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因為集合，所以.故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定有：命題“”的否定是：.故選：C3.盒中有3個大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個白球、2個紅球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次都摸出紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法列出所有可能結果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.【詳解】記1個白球為，2個紅球分別為、，現(xiàn)從中不放回地依次隨機摸出2個球，則可能結果有、、、、、共個，其中兩次都摸出紅球的有、，所以所求概率.故選：A4.已知向量，向量滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設出，根據(jù)題意利用向量的坐標運算列式運算求解.【詳解】設，則，由，得，又，得，即，聯(lián)立，解得..故選：C.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結合中間量法求解即可.【詳解】，又，且，所以，即，所以.故選：A.6.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型，其中（單位：萬輛）為第年底新能源汽車的保有量，為年增長率，為飽和度，為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬輛，以此為初始值，以后每年的增長率為，飽和度為1300萬輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量約為（）（結果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.65萬輛 B.64萬輛 C.63萬輛 D.62萬輛【答案】B【解析】【分析】把已知數(shù)據(jù)代入模型，求出對應的值即可．【詳解】根據(jù)題中所給模型，代入有關數(shù)據(jù)，注意以2023年的為初始值，則2033年底該省新能源汽車保有量為，因為，所以，所以，所以2033年底該市新能源汽車的保有量約為64萬輛.故選：B.7.已知點是直線上一動點，過點作圓的一條切線，切點為，則線段長度的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由題意可得，則當取得最小值時，線段長度的最小，利用點到直線的距離公式求出的最小值即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當取得最小值時，線段長度的最小，，所以.故選：D.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化為，利用二倍角公式即可即可求解.【詳解】因為，所以.故選：D9.已知三棱錐三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的長度為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將三視圖還原成直觀圖，根據(jù)幾何體中的線面關系，分別求出各棱長即可求解.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，將幾何體還原成直觀圖如圖：根據(jù)已知條件有，，平面；過作的垂線垂足為，，，在中，有，，，所以；在中，，，，所以；因為平面，平面，所以，同理；在中，，，，所以；在中，，，，所以；綜上所述，三棱錐中最長棱的長度為.故選：C10.在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項的和為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】用去換中的，得，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周期性運算得解.【詳解】由題意得，用替換式子中的，得，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以6為周期的周期函數(shù).又，，.所以數(shù)列得前2024項和.故選：A.11.設是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點，是漸近線上位于第二象限的點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出，，進而求出，在中，由正弦定理列式求得，再根據(jù)離心率公式運算得解.【詳解】如圖，根據(jù)題意可得，，，又，，，，在中，由正弦定理可得，，即，化簡得，.故選：D.12.已知不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又由，可得，..故選：A.【點睛】思路點睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為，，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出的最小值，即只要.二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|＝__.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算計算得，再根據(jù)復數(shù)的模長公式可得結果.【詳解】∵，∴|z|＝1.故答案為：1.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的模長公式，屬于基礎題.14.數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，已知，數(shù)列為等差數(shù)列，則__________.【答案】57【解析】【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的通項，進而求得，利用分組求和得解.【詳解】令，，，，又數(shù)列為等差數(shù)列，所以公差，，即，，.故答案為：57.15.所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個動點，則線段長度的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，求出外接球半徑，內(nèi)切球半徑，線段長度的最大值為得解.【詳解】由正四面體的棱長為6，則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，設球心為，如圖，連接并延長交底面于，則平面，且為底面的中心，所以，在中，可求得，設外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則，解得，，所以線段長度的最大值為.故答案為：.16.已知為拋物線的焦點，過直線上的動點作拋物線的切線，切點分別是，則直線過定點__________.【答案】【解析】【分析】設，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點，從而可確定直線的方程，進而可得出答案.【詳解】設，由，得，則，則拋物線在點處得切線方程為，即，又，所以，又因為點在切線上，所以，①同理可得，②由①②可得直線的方程為，所以直線過定點.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必做題：共60分.17.在中，角所對的邊分別為，且（1）求角的大小；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理將已知的式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡計算可求出角，（2）利用余弦定理結合已知條件直接求解【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，,所以，因為，所以，因為，所以【小問2詳解】因為，，所以由余弦定理得，所以，解得18.如圖，在四棱錐中，平面，是的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明；（2）根據(jù)題意，又平面，所以得解.【小問1詳解】因為，是的中點，所以，又平面，平面，，又，平面，平面，平面，，平面，平面.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，又，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，又，又平面，，.19.某企業(yè)積極響應政府號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，爭創(chuàng)世界名牌.為了對研發(fā)的一批最新產(chǎn)品進行合理定價，該企業(yè)將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：單價（千元）45678銷量（百件）6764615850（1）若變量具有線性相關關系，求產(chǎn)品銷量（百件）關于試銷單價（千元）的線性回歸方程；（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與對應的產(chǎn)品銷量的估計值.當銷售數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“精準銷售”.現(xiàn)從5個銷售數(shù)據(jù)中任取2個，求“精準銷售”至少有1個的概率.參考數(shù)據(jù)：參考公式：線性回歸方程中的估計值分別為【答案】19.20.【解析】【分析】（1）按照所給的參考公式，計算可得到線性回歸方程；（2）先求出5個銷售數(shù)據(jù)中精準銷售的個數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計算.【小問1詳解】由題意，，，，結合參數(shù)數(shù)據(jù)得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】當時，，，則，所以為一個精準銷售，當時，，，則，所以為一個精準銷售，當時，，，則，所以為一個精準銷售，當時，，，則，所以不是一個精準銷售，當時，，，則，所以不是一個精準銷售.記三個精準銷售為，兩個非精準銷售為，則從5個銷售數(shù)據(jù)中任選2個，對應的基本事件有：，，，，，，，，，，其中滿足要求的共有9個，所以“精準銷售”至少有1個的概率為.20.已知橢圓的上下頂點分別為，左右頂點分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與交于（異于）兩點，設直線與直線交于點，證明：點在定直線上.【答案】20.21.證明見解析【解析】【分析】（1）設橢圓上的一點，則，表達出到右焦點的距離，從而得到最大值，最小值，得到方程，求出，根據(jù)四邊形的面積求出，得到，求出橢圓方程；（2）先考慮過點且斜率不存在時，得到點在直線，再考慮過點且斜率存在且不為0時，設直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，得到，表達出的方程，聯(lián)立后結合得到，求出點在直線上，證畢.小問1詳解】設右焦點坐標為，橢圓上的一點，則，故，即，則到右焦點的距離，因為，所以，，故，即橢圓上的點到右焦點距離的最大值為，最小值為，故，解得，又四邊形面積為，故，所以，橢圓方程為；【小問2詳解】當過點且斜率不存在時，直線方程為，中，令得，，不妨設，直線，即，同理可得，聯(lián)立得，，故點在直線上，當過點的直線斜率存在且不為0時，設直線方程設為，聯(lián)立得，設，則，兩式相除得，直線，直線，聯(lián)立得，，故，解得，將代入上式中，得，要想恒成立，則，故點在定直線上，綜上，點在定直線上.【點睛】方法點睛：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21.已知函數(shù).（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當時，對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求出函數(shù)導函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系求解即可；（2）根據(jù)已知條件先對函數(shù)放縮，探究時，對恒成立；再利用換元法探究當與時的情況，從而求得的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則在上有恒成立，即，所以有，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有：，則，所以，所以，綜上，是上的單調(diào)遞增函數(shù)，.【小問2詳解】當時，令，對恒成立，即對恒成立，，當時，對恒成立，即對恒成立；當時，令，，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，令，解得，，，，此時，不恒成立，即不恒成立；綜上，當時，對恒成立，.【點睛】方法點睛：利用分離參數(shù)法確定不等式（，為參數(shù)）恒成立問題中參數(shù)范圍的步驟：1.將參數(shù)與變量分離，不等式化為或的形式；2.求在時的最大值或者最小值；3.解不等式或，得到的取值范圍.（二）選做題：共10分.請考生在第22、23題中選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，點是曲線（為參數(shù)）上的動點，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，點的坐標為，射線與曲線分別交于兩點，求的面積.【答案】（1）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為（2）【解析】【分析】（1）先求出曲線的普通方程，再根據(jù)即可求出曲線的極坐標方程，結合已知，即可求得曲線的極坐標方程；（2）先求出點到射線的距離，再分別求出，即可求出，進而可得出答案.【小問1詳解】將曲線（為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，得，又，所以，整理得，即曲線的極坐標方程為，以極點為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到，設點的極坐標為，則點的極坐標為，又點在曲線上，所以即曲線的極坐標方