2020年上海市松江區中考數學一模試卷答案解析版一、選擇題1.已知二次函數的圖像如圖所示，那么下列判斷正確的A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】利用拋物線開口方向、對稱軸的位置、拋物線與y軸的交點位置進行判斷．【詳解】解：拋物線開口向下a＜0；對稱軸在y軸右側，b＞0（與a異號）；圖像交y正半軸，c＞0，故選：C.【點睛】本題考查了二次函數圖象系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．2.如果點A（1，3）、B（m，3）是拋物線上兩個不同的點，那么m的值為A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由拋物線的對稱性，拋物線上的點，縱坐標相同，則關于對稱軸對稱，由頂點式可知對稱軸是x=2，則可求出.【詳解】解：∵點A（1，3）、B（m，3）是拋物線上兩個不同的點，∴這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，∴由頂點式可知對稱軸是，對稱軸位于A點的右側，∴，∴，解之得：，故選：B.【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數圖象的對稱性等知識點，能熟記二次函數的性質是解此題的關鍵．3.在以O為坐標原點的直角坐標平面內，有一點A（3，4），射線OA與x軸正半軸的夾角為，那么的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用銳角三角函數的定義、坐標與圖形性質以及勾股定理的知識求解．【詳解】解：∵在以O為坐標原點的直角坐標平面內有一點A（3，4）∴，∴故選：A.【點睛】本題考查了解直角三角形、銳角三角函數的定義、坐標與圖形性質以及勾股定理的知識．4.下列兩個三角形不一定相似的是A.兩條直角邊的比都是的兩個直角三角形B.腰與底的比都是的兩個等腰三角形C.有一個內角為的兩個直角三角形D.有一個內角為的兩個等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根據圖形相似的定義判定，用排除法求解．【詳解】解：A.兩條直角邊的比都是的兩個直角三角形，根據兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似判斷，兩個三角形相似，故正確，不符合題意；B.腰與底比都是的兩個等腰三角形，等腰三角形，兩條腰相等，根據三邊對應成比例，兩個三角形相似判斷，兩個三角形相似，故正確，不符合題意；C.有一個內角為的兩個直角三角形，兩角對應相等兩三角形相似判斷，兩個三角形相似，故正確，不符合題意；D.有一個內角為的兩個等腰三角形，內角是的等腰三角形需要注意的是，這個角是頂角還是底角，情況不一樣不一定相似.故選：D.【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解答此題的關鍵．5.如果，，且，下列結論正確的是A. B.C.與方向相同 D.與方向相反【答案】D【解析】【分析】根據向量的性質進行計算判斷即可.【詳解】解：將代入，計算得：（方向相反）.故選：D【點睛】本題考查了向量的性質，熟悉向量的性質是解題的關鍵.6.如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，它們的夾角為銳角，它們重疊部分（陰影部分）的面積是1.5，那么的值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】重疊部分為菱形，運用三角函數定義先求邊長AE，再根據面積求出．【詳解】解：如圖示：作交CD于C點，交CD于D點，由陰影部分是兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起可知，陰影部分是一個菱形，則有，，∴∴解之得：，故選：C【點睛】本題考查了菱形的判定與性質，三角函數的應用，判斷出陰影部分是一個菱形是解題的關鍵．二、填空題7.已知：，那么．【答案】【解析】【分析】設，，代入求解即可.【詳解】解：∵∴設，則，代入得：，故答案為：【點睛】本題考查了比例性質，根據題意利用參數設，是解題的關鍵.8.已知線段a是線段b、c比例中項，如果，，那么．【答案】【解析】【分析】根據比例中項的定義可得，從而易求c．【詳解】解：∵線段a是線段b、c的比例中項，

∴，

即，∴，故答案是：【點睛】本題考查了比例線段，解題的關鍵是理解比例中項的定義．9.若兩個相似三角形面積比為，則它們的相似比為．【答案】【解析】【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可【詳解】解：∵兩個相似三角形面積的比為，

∴它們的相似比=故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．10.已知點是線段上的黃金分割點，，且，那么________.【答案】；【解析】【分析】根據黃金分割點的定義，知AP是較長線段；則AP＝AB，代入數據即可得出AP的長，于是得到結論．【詳解】由于P為線段AB的黃金分割點，且AP是較長線段；則AP＝AB×＝2，∴AB＝∴PB＝AB?PA＝?2=，故答案為.【點睛】本題考查黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割．11.已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，則∠A的余切值為．【答案】【解析】【分析】根據銳角三角函數的定義，直接得出即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，，故答案為：.【點睛】此題主要考查了銳角三角函數的定義，熟練地應用銳角三角函數的定義是解決問題的關鍵．12.已知二次函數圖像的對稱軸為直線，則．（填“＞”或“＜”）【答案】>【解析】【分析】根據對稱軸及開口方向確定其增減性即可確定答案．【詳解】解：∵二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，

∴當x的取值越靠近4函數值就越小，反之越大，

∴>，

故答案為：＞．【點睛】考查了二次函數的性質，解題的關鍵是根據對稱軸及開口方向確定其增減性．13.在直角坐標平面中，將拋物線先向上平移1個單位，再向右平移1個單位，那么平移后的拋物線表達式是．【答案】【解析】【分析】根據二次函數圖像平移的特征：函數平移遵循“上加下減，左加右減”求解即可.【詳解】解：根據二次函數圖像平移的特征：函數平移遵循“上加下減，左加右減”則拋物線平移后為：故答案為：【點睛】此題主要考查了二次函數圖象的平移變換，正確掌握平移規律是解題關鍵．14.如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點，且AD＝2DC．如果，，那么向量關于、的分解式是．【答案】【解析】【分析】根據向量的運算法則計算即可.【詳解】解：∵AD＝2DC，∴，根據題意，可得：∴，故答案為：【點睛】本題考查的是向量的運算法則，熟悉向量的計算遵循三角形法則是解題的關鍵.15.如圖，在正方形網格中，點A，B，C是小正方形的頂點，那么tan∠BAC的值為．【答案】2【解析】【分析】在正方形網格中構造一個∠BAC為銳角的直角三角形，然后利用正切的定義求解．【詳解】解：如圖示：連接BC，根據題意可得：∴∴，∴在Rt△ABC中，【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義：在直角三角形中，一銳角的正切等于它的對邊與鄰邊的比值．16.如圖，某幢樓的樓梯每一級臺階的高度為20厘米，寬度為30厘米.那么斜面AB的坡度為．【答案】【解析】【分析】根據坡度的概念計算，得到答案．【詳解】解：斜面AB的坡度為：，

故答案為：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．17.以一個等腰直角三角形的腰為邊分別向形外做等邊三角形，我們把這兩個等邊三角形重心之間的距離稱作這個等腰直角三角形的“肩心距”.如果一個等腰直角三角形的腰長為2，那么它的“肩心距”．【答案】【解析】【分析】延長DF交邊BC于點F，根據等腰直角三角形的腰長為2，和是等邊三角形，可以求得，并且可證MN∥，利用平行線之間的線段對應成比例即可求解.【詳解】解：如圖示：等腰直角三角形的腰長為2，即：，∵和是等邊三角形，等腰直角三角形∴BC=2，DM=EN=延長DF交邊BC于點F∵分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，又∵∠BAC=90°∴AC∥DF∴點F是BC的中點同理可得EN的延長線也交BC于點F∴∵，∴∴MN∥∴，即，解得.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，重心的性質和平行線的性質，熟悉相關性質定理，靈活運用是解題的關鍵.18.如圖，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝.將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉90°得到矩形．聯結，分別交邊CD，于E、F．如果AE＝，那么＝．【答案】【解析】【分析】由矩形的性質和旋轉的性質可求AD=A'D'=1，AB=A'B=k，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC，通過證明△ADE∽△FA'D'，可得，可求DE，A'F的長，通過證明△A'D'F∽△CEF，由相似三角形的性質可求解．【詳解】解：∵將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉90°得到矩形A′BC′D′，

∴AD=A'D'=1，AB=A'B=k，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC，

∴A'D'∥BA∥CD

∴∠A'D'F=∠FEC=∠DEA，且∠D=∠A'=90°，

∴△ADE∽△FA'D'，

∴，且AE＝，∴，，∵∠A'=∠DCF=90°，∠A'FD'=∠EFC，

∴△A'D'F∽△CEF，∴，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，利用相似三角形的性質求DE，A'F的長是本題的關鍵．三、解答題19.計算：【答案】【解析】【分析】利用特殊銳角三角函數值計算求解即可.【詳解】解：原式=.【點睛】本題考查了特殊銳角三角函數值的計算，熟知特殊銳角三角函數值是解題的關鍵.20.已知二次函數.（1）將函數的解析式化為的形式，并指出該函數圖像頂點B坐標；（2）在平面直角坐標系中xOy中，設拋物線與y軸交點為C，拋物線的對稱軸與x軸交點為A.求四邊形OABC的面積.【答案】（1），B（2，－5）；（2）6.【解析】【分析】（1）利用配方法把將二次函數y=x2-4x-1的解析式化為y=a（x+m）2+k的形式，利用二次函數的性質即可得出答案；

（2）求出C點，A點坐標，則四邊形OABC的面積可求出．【詳解】解：（1），

該函數圖象頂點B坐標為（2，-5）；

（2）如圖，

令y=0，x=-1，

∴C（0，-1），

∵B（2，-5），

∴A（2，0），

∴四邊形OABC的面積．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，正確掌握配方法和二次函數的性質是解題的關鍵．21.如圖：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝AB＝13，BD＝24.求邊DC的長.【答案】【解析】【分析】由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，從而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，可證△ABE∽△DCB，可得，即可求DC的長．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BD，垂足為E，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AE⊥BD，AB=AD，

∴∠AEB=∠C=90°，BE=DE=12，

∴，∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90°，

∴△ABE∽△DCB，

∴即：∴.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．22.如圖，小島A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船從港口P，沿著正南方向，以每小時12海里的速度航行，1小時30分鐘后到達B處，在B處測得小島A在它的南偏西60°的方向上.小島A離港口P有多少海里？【答案】【解析】【分析】作AD⊥PB于D，設BD=x海里，，則，根據可得AD=PD，列出方程，求出x的值，根據勾股定理計算即可．【詳解】解：過點A作AD⊥PB于點D，根據題意得：（海里）設BD=x，則，∴,解得：∴∵，∴解得，.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．23.已知：如圖，點D、F在△ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DE∥AB，.（1）求證：EF∥BD；（2）如果，求證：.【答案】詳見解析【解析】【分析】（1）由平行線分線段成比例可得，由，可得，可證EF∥BD；（2）根據AC·CF=BC·CE可得△CEF∽△CAB，并可證得∠EDB＝∠DBA，則可證明△BAD∽△DBE，可得，即可得結論．詳解】證明（1）∵DE∥AB∴∵∴∴∴EF∥BD（2）∵AC·CF=BC·CE∴，又∠C=∠C，∴△CEF∽△CAB∴∠CEF＝∠A∵EF∥BD∴∠CEF＝∠EBD∴∠EBD＝∠A∵ED∥AB∴∠EDB＝∠DBA，且∠EBD＝∠A，∴△ABD∽△BDE∴∴.【點睛】本題考查了相似三角形判定和性質，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．24.如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3,0)、點B(0,3)．點M(m,0)在線段OA上（與點A、O不重合），過點M作x軸的垂線與線段AB交于點P，與拋物線交于點Q，聯結BQ．（1）求拋物線表達式；（2）聯結OP，當∠BOP＝∠PBQ時，求PQ的長度；（3）當△PBQ為等腰三角形時，求m的值．【答案】(1)y＝x2＋2x＋3；(2)；(3)m的值為2、或1.【解析】【分析】（1）將點A(3,0)、點B(0,3)分別代入拋物線解析式y＝x2＋bx＋c，化簡求出b，c的值即可；（2）根據∠BOP＝∠PBQ且MQ∥OB，可證△OBP∽△BPQ，可設Q（x，x2＋2x＋3），求出直線AB的解析式，則可得P的坐標為(x，3－x)，可得BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x，利用相似三角形的對應邊成立比例即可求解；（3）分三種情況討論：①當BQ＝PQ時，②當BP＝PQ時，③當BP＝BQ時，然后分別求解即可.【詳解】（1）∵將點A(3,0)、點B(0,3)分別代入拋物線解析式y＝x2＋bx＋c得，解之得：∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x＋3（2）∵∠BOP＝∠PBQ且MQ∥OB∴∠OBP＝∠BPQ∴△OBP∽△BPQ設Q（x，x2＋2x＋3）∵P點在直線AB上，并A(3,0)、B(0,3)，則直線AB的解析式為：∴P(x，3－x)∴BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x∴即∴（0舍去）∴（3）∵M（m，0），P（m，3－m），Q（m，m2＋2m＋3）∴BP＝m，PQ＝m2＋3m且∠BPQ＝45°∴當△BPQ為等腰三角形時，存在如下情況：①如圖1，當BQ＝PQ時，即∠PBQ＝∠BPQ＝45°∴△BPQ為等腰直角三角形∴m2＋2m＋3＝3∴m＝2②當BP＝PQ時,即m＝m2＋3m，即（0舍去）③如圖2，當BP＝BQ時，∠BQP＝∠BPQ＝45°根據，，可得則有，∴m＝1綜上所述，m的值為2、或1.【點睛】本題考查了二次函數與幾何圖形結合，三角形的相似，特殊角使用，以及等線段的關系轉化問題，懂得綜合討論是解題的關鍵．25.已知tan∠MON=2，矩形ABCD的