山東省菏澤市2023年高三《數學》上學期期末試題與參考答案一、單項選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【分析】寫出由集合A中滿足小于的自然數元素組成的集合即可.【詳解】集合A中滿足小于的自然數元素有0，1，2，所以.故選：C.2.若復數的實部與虛部相等，則實數a的值為（）A.0 B.﹣1 C.1 D.2【答案】A【分析】利用復數除法，然后利用復數的實部與虛部相等即得.【詳解】，由于復數的實部與虛部相等，則，解得.故選：A.3.若，則p成立的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】解不等式得或，選出其必要不充分條件即可.【詳解】p：，即且，解得或，所以p：或，對于A，是p的既不充分也不必要條件；對于B，即或，是p的必要不充分條件；對于C，即或，是p的充分不必要條件；對于D，是p的充分不必要條件；故選：B.4.等比數列的前n項和為，若，，則（）A.60 B.70 C.80 D.150【答案】D【分析】根據等比數列前項和的片段和性質，結合題意，進行具體計算即可.【詳解】因為是等比數列，所以成等比數列，又因為，，，則，，所以，.故選：D.5.已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【分析】由復合函數單調性及定義域可求解.【詳解】由復合函數單調性的規律和函數定義域可知：函數在上單調遞增且在上恒成立，則有，解得，則a的取值范圍為.故選：D6.設圓C：上恰好有三個點到直線的距離等于1，則圓半徑r的值為（）A2 B.4 C. D.3【答案】D【分析】首先求圓心到直線的距離，再利用數形結合可得的值.【詳解】圓心到直線的距離，若圓上有3個點到直線的距離等于1，則.故選：D7.我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水恰好剛剛滿盆，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（）A.寸 B.8寸 C.寸 D.9寸【答案】C【分析】利用圓臺的體積公式求得盆中積水的體積，進而求得平地降雨量.【詳解】由題意，可知圓臺形天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，則盆中積水的體積為，又盆口面積為，所以平地降雨量為(寸).故選：C.8.已知函數在區間恰有3個零點，4個極值點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的范圍，然后結合函數圖象、零點個數和極值點個數可，進而求出可得答案.【詳解】因為，所以，因為在區間內恰好有3個零點，4個極值點，結合函數圖象可得：，解得，的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知雙曲線C的漸近線方程為，焦距為，則滿足條件的雙曲線C可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【分析】根據雙曲線焦點的位置討論，結合條件即得.【詳解】若雙曲線C的焦點在軸上，可設方程為，則，解得，雙曲線C方程為；若雙曲線C的焦點在軸上，可設方程為，則，解得，雙曲線C方程為.故選：AD.10.某城市100戶居民月平均用電量（單位：度），以[160，180)、[180，200）、[200，220），[220，240）、[240，260），[260，280），[280，300）分組的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.B.月平均用電量的眾數為210和230C.月平均用電量的中位數為224D.月平均用電量的75%分位數位于區間內【答案】ACD【分析】利用各組的頻率之和為1，列出方程求解，然后根據眾數，中位數及百分位數的概念逐項分析即得.【詳解】由直方圖的性質可得，解得，故A正確；由直方圖可知月平均用電量的眾數，故B錯誤；因為，所以月平均用電量的中位數在內，設中位數為a，則，解得，故C正確；因為，，所以月平均用電量的75%分位數位于區間內，故D正確.故選：ACD.11.若，則下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【分析】根據指數函數以及冪函數的單調性可判斷A;舉反例可判斷；根據的特征，構造函數，利用其單調性可得，可判斷，判斷C.【詳解】由于，故為R上單調增函數，所以，而是上的增函數，故，所以，A正確；取滿足，但，B錯誤；設，則，由于，故，即是上的增函數，故，由于，則，故，C正確；取，滿足，而，故D錯誤，故選：12.正方體的棱長為2，O為底面ABCD的中心．P為線段上的動點（不包括兩個端點），則（）A.不存在點P，使得平面B.正方體的外接球表面積為C.存在P點，使得D.當P為線段中點時，過A，P，O三點的平面截此正方體外接球所得的截面的面積為【答案】ABD【分析】利用反證法，由此判斷A；求正方體的外接球的半徑，結合球的體積公式判斷B；根據勾股定理判斷C；根據球的截面性質判斷D.【詳解】假設存在點P，使得平面，在上取點，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面，又平面，,平面，所以平面平面，與已知矛盾，所以不存在點P，使得平面，A正確；正方體的外接球的球心為的中點，外接球的半徑，所以正方體的外接球表面積，B正確；假設存在P點，使得，在線段上取點使得,設，則，，，因為，所以，所以，解得，與已知矛盾；C錯誤；取的中點，因為P為線段中點時，連接交與點，所以，又，所以，故過A，P，O三點的平面為平面，取的中點，過作，垂足為，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，過球心作，則平面，所以正方體外接球的球心到截面的距離為的長，又，所以，因為為的中點，所以，故截面圓的半徑為，所以截面圓的面積，D正確；故選：ABD.三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則t的值為______．【答案】【分析】利用向量的線性運算的坐標運算及向量垂直的坐標表示，結合向量的數量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，又因為，所以，即，解得.故答案為：.14.設，是橢圓的兩個焦點.若在上存在一點，使，且，則的離心率為__.【答案】.【分析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，則根據橢圓定義可得三角形三邊長度，利用勾股定理即可求解.【詳解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，由橢圓的定義可得，，又，在△中，由勾股定理可得：，即，，故答案為：.15.寫出一個數列的通項公式，使得這個數列的前n項積當且僅當時取最大值，則______．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據等差數列的前項和公式，指數函數及二次函數的性質求解即得.【詳解】對于，其前項積為，令，，由二次函數的性質可知，當且僅當時取到最小值，又函數單調遞減，所以當且僅當時取到最大值，所以滿足題意.故答案為：（答案不唯一）16.已知函數及其導函數的定義域均為R，若和均為奇函數，則______．【答案】【分析】由原函數的奇偶性，對稱性推導函數的周期性，構造新函數求解即可.【詳解】因為為奇函數，則關于點中心對稱，所以關于直線對稱，所以，令，則，，所以，所以關于直線對稱，又因為為奇函數，所以，所以，所以關于點中心對稱，令，則，由，所以，所以，所以，所以周期為，當時，，當時，，所以，所以.故答案為：.四、解答題本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數在上單調遞減，設實數a的取值集合為M．（1）求；（2）若函數在區間M上單調遞增，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）．【分析】(1)由導數與函數的單調性的關系列不等關系求；(2)根據對數函數的單調性和復合函數的單調性結論列不等式求m的取值范圍．【小問1詳解】因為，所以．因為函數在上單調遞減，所以對成立，所以對成立，又所以，所以實數a的取值集合為；【小問2詳解】函數區間上單調遞增，所以函數為上的增函數，且當時，恒成立，由函數性質可得所以0<m<2．所以m的取值范圍為．18.已知等差數列的通項公式為，記數列的前n項和為，且數列為等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和為，求的通項公式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據數列通項及等差中項的性質即得；（2）由題可得，然后利用裂項相消法即得.【小問1詳解】因為，數列為等差數列，所以，，，所以，又，解得，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，所以．19.如圖，在四棱維中，底面為正方形，側面PAD是正三角形，平面平面，（）．（1）若，求證：平面ABE；（2）若平面ABE與平面PAC的夾角為，且，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據面面垂直的性質定理可得平面，然后利用線面垂直的判定定理即得；（2）利用坐標法，根據面面角的向量求法即得.【小問1詳解】當時，為的中點，又因為為正三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，平面，故PD⊥平面；【小問2詳解】取的中點，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，在平面PAD內作，則Az⊥平面ABCD，即有射線AB，AD，Az兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，Az所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，所以，，則，，，，設平面ABE的一個法向量，則，令，得，設平面的一個法向量，則，令，得，所以，設（t<0），可解得或，由，可得，由，可得(舍去)，所以．20.在①；②；③．三個條件中選一個，補充在下面的橫線處，并解答問題．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S．且滿足______．（1）求A的大小；（2）設的面積為6，點D為邊BC的中點，求的最小值．【答案】（1）（2）．【分析】（1）分別選取三個條件，運用正余弦定理，三角形面積公式及三角恒等變換結合條件即得；（2）由題可得，然后根據向量的運算及基本不等式即得.【小問1詳解】選①，由，化簡得：，所以，即，在中，，，因為，所以；選②，，所以，因為，所以；選③，，由正弦定理和切化弦得，在中，，所以，在中，，因為，所以，得；【小問2詳解】由，得，由，有，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．21.已知點和直線：，直線過直線上的動點M且與直線垂直，線段的垂直平分線l與直線相交于點P．（1）求點P軌跡C的方程；（2）過點F的直線l與C交于兩點．若C上恰好存在三個點，使得的面積等于，求l的方程．【答案】（1）（2）或．【分析】（1）根據拋物線的定義可判斷東點軌跡為拋物線，即而求得拋物線方程；（2）設l的方程為，作與l平行且與C相切的直線，切點為D,表示出切點D的坐標，聯立方程，求出弦長，利用三角形的面積可求得k的值，說明符合題意，C上恰好存在三個點，使得的面積等于，即得答案.【小問1詳解】連接PF，因為MF的垂直平分線l交于點P，所以，即點P到定點的距離等于點P到直線：的距離，由拋物線的定義，點P的軌跡為拋物線,即點P軌跡C的方程為.【小問2詳解】如圖，作與l平行且與C相切的直線，切點為D,由題知的面積等于．由題意知直線l的斜率一定存在，設l的方程為，方程可化為，則，設，令，解得，將代入，得，故，所以D到l的距離，由，消去y，得，，從而，，所以，故的面積，從而，解得或，此時或為使得的面積等于的一個點，那么在直線l的上方必然也存在著一條直線和l平行，和l的距離為，這條直線與拋物線有兩個交點也使得的面積等于，即此時C上恰好存在三個點，使得的面積等于，所以l的方程為或．【點睛】關鍵點點睛：要滿足C上恰好存在三個點，使得的面積等于，關鍵在于找到使得面積等于時，和直線l平行且和拋物線相切的那條直線，即表示出切點坐標，從而表示出三角形的高，進而利用面積求得答案.22.已知函數，．（1）證明：存在唯一零點；（2）設，