第七章

隨機變量及其分布超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)舊知

一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為

1、二項分布：如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).2.二項分布的均值與方差：若X~B(n,p)，則有情境導(dǎo)學(xué)問題1

已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.

顯然，如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率均為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立，此時X服從二項分布，即X～B(4,0.08).情境導(dǎo)學(xué)問題1

已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.思考：如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項分布？如果不服從，那么X的分布列是什么？概念生成一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為超幾何分布：其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．注意：超幾何分布模型是一種不放回抽樣.小試牛刀1.判斷下列隨機變量是否服從超幾何分布，如果服從，其中的N,M，n，k的取值分別是什么？（1）某射擊選手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊3次，命中目標(biāo)的次數(shù)X；（2）盒中4個白球和3個黑球，不放回地摸取3個球，摸到黑球的個數(shù)X；（3）袋中有10個球，其中7個紅球，3個白球，每次不放回地從中摸出一個球，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)；（4）從4名男演員和3名女演員中選4人，其中女演員的人數(shù)X；（5）10個村莊中有4個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選7個村莊中交通不方便的村莊個數(shù)；小試牛刀新知探究探究：

服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么？令

，則p是N件產(chǎn)品的____________,

而

是抽取的n件產(chǎn)品的_______________,

因而可猜想：次品率次品率典例剖析例4從50名學(xué)生中隨機選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.典例剖析例5一批零件共有30個，其中有3個不合格，隨機抽取10個零件進(jìn)行檢測，求至少有一件不合格的概率.歸納提升求超幾何分布的分布列的策略：1、判斷隨機變量是否服從超幾何分布；2、根據(jù)已知條件，確定M,N,n對應(yīng)的值；3、代入超幾何分布的概率公式，求出結(jié)果：（1）將總體分為兩類，各有M件和N-M件；（2）分別從兩類元素中取個體，利用組合數(shù)求基本事件數(shù)：（3）利用概率公式典例剖析例6一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).(1)

分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(1)

對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此X～B(20,0.4)，X的分布列為對于不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為典例剖析例6

(2)

分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差的絕對值不超過0.1的概率.典例剖析樣本中黃球的比例是一個隨機變量，根據(jù)表計算得因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些.兩種摸球方式下，隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布．雖然這兩種分布有相等的均值(都是8)，但從兩種分布的概率分布圖(圖7.4-4)看，超幾何分布更集中在均值附近.歸納總結(jié)二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同．對于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似.鞏固練習(xí)1、從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是____________.2．在含有5名男生的100名學(xué)生中，任選3人，恰有2名男生的概率為________（用組合數(shù)表示）．鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)4.某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊．(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．課堂小結(jié)注意：1．超幾何分布的總體里只有兩類物品．2．超幾何分布的模型是不放回抽樣