第頁二元一次方程組一,知識點1,二元一次方程：⑴定義：含兩個未知數且未知項的最高次數是的方程。即同時滿意以下幾個條件的方程就是二元一次方程：①含未知數；②未知項的最高次數是；③分母不含。⑵使二元一次方程左右兩邊相等的兩個未知數的值叫二元一次方程的；2,二元一次方程組：⑴同時滿意以下條件的方程組就是二元一次方程組：①共含兩個未知數；②未知項的最高次數是；③分母不含。⑵同時使方程都成立的未知數的值叫二元一次方程組的解。無論是二元一次方程還是二元一次方程組的解都應當寫成的形式。⑶二元一次方程組的解法：基本思路是。①消元法：將一個方程變形為用含一個未知數的式子表示另一個未知數的形式，再代入另一個方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程；②＿＿＿＿消元法：適用于相同未知數的系數有相等或互為相反數的特點的方程組，首先視察出兩個未知數的系數各自的特點，推斷如何運用加減消去一個未知數；含分母,小數,括號等的方程組都應先化為最簡形式后再用這兩種方法去解。⑷列方程解應用題的一般步驟是：；關鍵是找出題目中的兩個相等關系，列出方程組。二,例題例1若【類題訓練】1．已知是二元一次方程，則=_____=_____2．若=1是關于的二元一次方程，則=_____；=_____.3．假如是二元一次方程，那么的值是_____例2,已知等式(2A－7B)x+(3A－8B)=8x+10，對一切實數x都成立，求A,B的值。例3,假如方程組無解，則a為A.6B.－6C.9D.－9例4,已知方程組，試確定的值，使方程組：（1）有一個解；（2）有無數解；（3）沒有解例5,二元一次方程有一個公共解,則m=______,n=_____;例6,關于的方程，對于任何的值都有相同的解，試求它的解。例7,若方程組的解之和：x+y=－5，求k的值，并解此方程組.例8,若關于x，y的二元一次方程組的解滿意，則a的取值范圍為______．例9,若關于x,y的二元一次方程組的解x,y互為相反數，求m的值．例10,已知方程組有非負整數解，求正整數m的值，并解該方程組。例11,若方程組的解是，求方程組的解。例12,假如關于ｘ,ｙ的二元一次方程組的解是，試解方程組例13,已知方程組由于甲看錯了方程①中的得到方程組的解為乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為若按正確的,b計算，求原方程組的解．例14,上杭教化服裝廠要生產一批某種型號的學生服裝，已知3米長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，安排用600米長的這種布料生產，應分別用多少布料生產上衣和褲子才能恰好配套？共能生產多少套？例15,某旅游商品經銷店欲購進A,B兩種紀念品，若用380元購進A種紀念品7件，B種紀念品8件；也可以用380元購進A種紀念品10件，B種紀念品6件。求A,B兩種紀念品的進價分別為多少？若該商店每銷售1件A種紀念品可獲利5元，每銷售1件B種紀念品可獲利7元，該商店打算用不超過900元購進A,B兩種紀念品40件，且這兩種紀念品全部售出候總獲利不低于216元，問應當怎樣進貨，才能使總獲利最大，最大為多少？例16,嘉獎在演講競賽中獲獎的同學，班主任派學習委員小明為獲獎同學買獎品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，確定獎品在鋼筆和筆記本中選擇．假如買4個筆記本和2支鋼筆，則需86元；假如買3個筆記本和1支鋼筆，則需57元．（1）求購買每個筆記本和鋼筆分別為多少元？（2）售貨員提示，買鋼筆有優惠，詳細方法是：假如買鋼筆超過10支，那么超出部分可以享受8折優惠，若買支鋼筆須要花元，請你求出及的函數關系式；（3）在（2）的條件下，小明確定買同一種獎品，數量超過10個，請幫小明推斷買哪種獎品省錢．例17,現有A,B,C三種型號的產品出售，若售A3件，B7件，C1件，共得315元；若售A4件，B10件，C1件，共得42元。問售出A,B,C各一件共得多少元？例18,為了拉動內需，廣東啟動“家電下鄉”活動。某家電公司銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動活動前一個月共售出960臺，啟動活動后的第一個月銷售給農戶的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動活動前一個月增長30%,25%，這兩種型號的冰箱共售出1228臺。（1）在啟動活動前的一個月，銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分別為多少臺？（2）若Ⅰ型冰箱每臺價格是2298元，Ⅱ型冰箱每臺價格是1999元，依據“家電下鄉”的有關政策，政府按每臺冰箱價格的13%給購買冰箱的農戶補貼，問：啟動活動后的第一個月銷售給農戶的1228臺Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共補貼了多少元（結果保留2個有效數字）？例19,為實現區域教化均衡發展，我市安排對某縣,兩類薄弱學校全部進行改造．依據預算，共需資金1575萬元．改造一所類學校和兩所類學校共需資金230萬元；改造兩所類學校和一所類學校共需資金205萬元．（1）改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是多少萬元？（2）若該縣的類學校不超過5所，則類學校至少有多少所？（3）我市安排今年對該縣,兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同擔當．若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到,兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元．請你通過計算求出有幾種改造方案？例20,,A,B,C,D,E五人到商店去買東西，每人都花費了整數元，他們一共花了56元。A,B花費的差額（即兩人所花錢的差的肯定值，下同）是19元，B,C花費的差額是7元，C,D花費的差額是5元，D,E花費的差額是4元，E,A花費的差額是11元。問：E花費了幾元？為什么？1,A，B花費的差額（即兩人所花的錢的肯定值，下同）是19元，

2,B，C花費的差額是7元，那么A,C差距要么26元①，要么12元②

3,C，D花費的差額是5元，那么A,D差距要么31元③，21元④，17元⑤，7元⑥

4,D，E花費的差額是4元，那么A,E差距要么35元，要么27元，要么17元，要么25元，要么21元，要么13元，要么3元。要么11元

對應題目：5,E，A花費的差額是11元

所以有：6,A，B花費的差額（即兩人所花的錢的肯定值，下同）是19元；A,C差距12元②；A,D差距7元；E，A花費的差額是11元

所以以B為原點畫數軸，那么A在19,C在7，D在12，E在8

19+7+12+8=46及56差距10元，每人加2元就正好

所以E花費了8+2=10元例21,某果品商店進行組合銷售，甲種搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙種搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙種搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元。某天該商店銷售這三種搭配水果共441.2元，其中A水果的銷售額為116元，問C水果的銷售額為多少元？解：如圖，設該天賣出甲種,乙種,丙種水果分別是x,y,z套．

則由題意得2(2x+3y+2z)=1168.8x+25.6y+21.2z=441.2，

即2x+3y+2z=58

①22x+64y+53z=1103

②

由②-①×11得

31（y+z）=465，即y+z=15

所以，共賣出C水果15千克，C水果的銷售額為15×10=150（元）

答：C水果的銷售額為150元．例22,某人打算裝修一套新宅，若甲,乙兩個裝修公司合作需6周完成，需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，需工錢4.8萬元。若只選一個公司單獨完成，從節約開始的角度考慮，該人是選甲公司還是選乙公司？請說明理由。設:甲公司單獨做X周完成,乙公司單獨做X周完成

則:6*(1/X+1/Y)=1

4*1/X+9*1/Y=1

解得:X=10周,Y=15周

設:甲公司每周工資A萬元,乙公司每周工資B萬元

則:6(A+B)=5.2

4A+9B=4.8

解得:A=3/5萬元,B=4/15萬元

則:甲公司單獨做需工資:10*3/5=6萬元,

乙公司單獨做需工資:15*4/15=4萬元

所以:從節約資金角度考慮,韋武應選乙公司單獨做.例23,甲,乙分別自A,B兩地同時相向步行，2小時后在中途相遇。相遇后，甲,乙步行速度都提高了1千米/小時。當甲到達B地后馬上按原路向A地反行，當乙到達A地后也馬上按原路向B地反行。甲,乙兩人在第一次相遇后3小時36分鐘又再次相遇，則A,B兩地的距離是多少千米。設A的速度為X，B的速度為Y，AB距離就是AB

2X+2Y=AB

3.6(X+1)+3.6(Y+1)=2AB

AB=36例24,某次數學競賽前60名獲獎。原定一等獎5人，二等獎15人，三等獎40人；現調為一等獎10人，二等獎20人，三等獎30人。調整后一等獎平均分數降低3分，二等獎平均分數降低2分，三等獎平均分數降低1分。假如原來二等獎比三等獎平均分數多7分，求調整后一等獎比二等獎平均分數多幾分？答案是5，過程：

設原來一，二，三等獎的平均分分別是a,b,c

則調整后分別是a-3,b-2,c-1

要求的是（a-3）-(b-2)=a-b-1

又可知b-c=7，即c=b-7

首先要明確一個問題，那就是不論獲獎分數是否調整前60名的總分是不變的，故有：

5a+15b+40c=5(a-3)+15(b-2)+30(c-1)

化簡得：

2c=a+b-20,把c=b-7代入，得：

a-b=6,故a-b-1=假設一等獎，二等獎，三等獎原來的平均分分別是x,y,z，那么調整之后一二三等獎的平均分分別是x-3,y-2,z-1,

依據題目，我們知道y=z+7。

依據前六十名總分不變，我們得到：

5x+15y+40z=10(x-3)+20(y-2)+30(z-1)

整理之后得到：

x+y=20+2z

用z=y-7代替z

就有x=y+6

調整后的一二等獎是x-3,y-2,

那么就有（x-3）－（y-2）＝x-y-1=y+6-y-1=5三,鞏固練習1.二元一次方程有一個公共解,則m=______,n=_____;2．已知,那么3.已知二元一次方程組為，則______，_______.4.若方程組的解及相等，則________.5.有一個兩位數，減去它各位數字之和的3倍，值為23，除以它各位數字之和，商是5，余數是1，則這樣的兩位數（）A．不存在B．有惟一解C．有兩個D．有無數解6.4x+1=m(x－2)+n(x－5),則m,n的值是A.B.C.D.7.假如方程組無解，則a為A.6B.－6C.9D.－98.以方程組的解為坐標的點在平面直角坐標系中的位置是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9.若關于的方程組的解是，則為（）A．1 B．3 C．5 D．210.若關于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則k的值為（A）（B） （C） （D）11.已知代數式及是同類項，那么的值分別是（）A． B． C． D．13.在二元一次方程中，若x,y互為相反數，則x=，y=；*④若是同類項，則=＿＿＿，＝＿＿＿。*⑤若方程是關于,的二元一次方程，則=＿＿＿，＝＿＿＿。14,若，則。15,二元一次方程組的解是，則。16,已知關于x,y的方程組的解的和是12，則。17,買蘋果和梨共50千克，其中蘋果的重量是梨的2倍少8千克，求蘋果和梨各買多少？若設買蘋果x千克，買梨y千克，則列出的方程組應是（）A, B, C, D,18,一輛汽車從A地動身向東行駛，要經過路口B，在規定的某一時間內，若車速為60千米/時，恰能超過B處2千米；若車速為50千米/時，就差3千米到達B處；設A,B間的距離為x千米，規定時間為y小時，則可列出的方程組是（）A B C D19,一船順水航行45千米須要3小時，逆水航行65千米須要5小時，若設船在靜水中的速度為x千米/時，水流速度為y千米/時，則x,y的值為（）A B C D20,小強問叔叔多少歲了，叔叔說：“我像你這么大時，你才4歲，你到我這么大時，我就40歲了。”則小強和叔叔的歲數分別是（）歲A,8和20 B,16和28 C,15和27 D,9和2121,計算題（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22,已知ｍ是正整數，關于x,y的方程組有整數解，求ｍ2的值.23,孔明同學在解方程組的過程中，錯把看成了6，他其余的解題過程沒有出錯，解得此方程組的解為，又已知直線過點（3，1），則的正確值應當24,某商場按定價銷售某種商品時，每件可獲利45元。若按定價的八五折銷售該商品8件及按定價降低35元銷售該商品12件所獲利潤相等。則該商品進價,定價分別是多少？25,某車間有28名工人生產螺栓和螺母，每人每天能生產螺栓12個或螺母18個。應怎樣安排工人生產螺栓和螺母，使車間每天生產出的螺栓和螺母恰好配套（一個螺栓配2個螺母）？26,現有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的濃度為30％，乙種酒精的濃度為80％，今要得到濃度為50％的酒精溶液50千克，問甲,乙兩種酒精溶液各取多少？27,小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，從家里到學校需10分鐘，從學校到家里需15分鐘.請問小華家離學校多遠？28．團體購買公園門票票價如下：購票人數1～5051～100100人以上每人門票/元13元11元9元今有甲,乙兩個旅行團，已知甲團人數少于50人，乙團人數不超過100人．若分別購票，兩團共計應付門票費1392元，若合在一起作為一個團體購票，總計應付門票費1080元．(1)請你推斷乙團的人數是否也少于50人；(2)甲,乙兩個旅行團各有多少人.29,某城市規定：出租車起步價允許行駛的最遠路程為3千米，超過3千米的部分按每千米另收費.甲說：“我乘這種出租車走了11千米，付了17元”；乙說：“我乘這種出租車走了23千米，付了35元”.請你算一算這種出租車的起步價是多少元？以和超過3千米后，每千米的車費是多少元？30,食品安全是老百姓關注的話題，在食品中添加過量的添加劑對人體有害，但適量的添加劑對人體無害且有利于食品的儲存和運輸．某飲料加工廠生產的A,B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270克該添加劑恰好生產了A,B兩種飲料共100瓶，問A,B兩種飲料各生產了多少瓶？31,為了防控甲型H1N1流感，某校主動進行校園環境消毒，購買了甲,乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶．（1）假如購買這兩種消毒液共用780元，求甲,乙兩種消毒液各購買多少瓶？（2）該校打算再次購買這兩種消毒液（不包括已購買的100瓶），使乙種瓶數是甲種瓶數的2倍，且所需費用不多于1200元（不包括780元），求甲種消毒液最多能再購買多少瓶？32,在“家電下鄉”活動期間，凡購買指定家用電器的農村居民均可得到該商品售價13%的財政補貼.村民小李購買了一臺A型洗衣機，小王購買了一臺B型洗衣機，兩人一共得到財政補貼351元，又知B型洗衣機售價比A型洗衣機售價多500元.求：（1）A型洗衣機和B型洗衣機的售價各是多少元？（2）小李和小王購買洗衣機除財政補貼外實際各付款多少元？33,甲乙兩地相距２０千米，Ａ從甲地向乙地方向前進，同時Ｂ從乙地向甲地方向前進，兩小時后二人在途中相遇，相遇后Ａ就返回甲地，Ｂ仍向甲地前進，Ａ回到甲地時，Ｂ離甲地還有２千米，求Ａ,Ｂ二人的速度。34,某班同學去18千米的北山郊游。只有一輛汽車，需分兩組，甲組先乘車,乙組步行。車行至A處，甲組下車步行，汽車返回接乙組，最終兩組同時達到北山站。已知汽車速度是60千米/時，步行速度是4千米/時，求A點距北山站的距離。35,甲乙兩地相距60千米，A,B兩人騎自行車分別從甲乙兩地相向而行，假如A比B先動身半小時，B每小時比A多行2千米，那么相遇時他們所行的路程正好相等。求A,B兩人騎自行車的速度。