第頁反比例函數一.選擇題1.（2018·湖南郴州·3分）如圖，A，B是反比例函數y=在第一象限內的圖象上的兩點，且A，B兩點的橫坐標分別是2和4，則△OAB的面積是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先依據反比例函數圖象上點的坐標特征及A，B兩點的橫坐標，求出A（2，2），B（4，1）．再過A，B兩點分別作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，依據反比例函數系數k的幾何意義得出S△AOC=S△BOD=×4=2．依據S四邊形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面積公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）?CD=（1+2）×2=3，從而得出S△AOB=3．【解答】解：∵A，B是反比例函數y=在第一象限內的圖象上的兩點，且A，B兩點的橫坐標分別是2和4，∴當x=2時，y=2，即A（2，2），當x=4時，y=1，即B（4，1）．如圖，過A，B兩點分別作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，則S△AOC=S△BOD=×4=2．∵S四邊形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S梯形ABDC=（BD+AC）?CD=（1+2）×2=3，∴S△AOB=3．故選：B．【點評】本題考查了反比例函數中k的幾何意義，即圖象上的點及原點所連的線段,坐標軸,向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S=|k|．也考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，梯形的面積．2.（2018·湖南懷化·4分）函數y=kx﹣3及y=（k≠0）在同一坐標系內的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】依據當k＞0,當k＜0時，y=kx﹣3和y=（k≠0）經過的象限，二者一樣的即為正確答案．【解答】解：∵當k＞0時，y=kx﹣3過一,三,四象限，反比例函數y=過一,三象限，當k＜0時，y=kx﹣3過二,三,四象限，反比例函數y=過二,四象限，∴B正確；故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，關鍵是由k的取值確定函數所在的象限．3.（2018?江蘇徐州?2分）假如點（3，﹣4）在反比例函數y=的圖象上，那么下列各點中，在此圖象上的是（）A．（3，4） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣3，﹣4）【分析】將（3，﹣4）代入y=即可求出k的值，再依據k=xy解答即可．【解答】解：因為點（3，﹣4）在反比例函數y=的圖象上，k=3×（﹣4）=﹣12；符合此條件的只有C：k=﹣2×6=﹣12．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，只要點在函數的圖象上，則肯定滿意函數的解析式．反之，只要滿意函數解析式就肯定在函數的圖象上．4.（2018?江蘇無錫?3分）已知點P（a，m），Q（b，n）都在反比例函數y=的圖象上，且a＜0＜b，則下列結論肯定正確的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n【分析】依據反比例函數的性質，可得答案．【解答】解：y=的k=﹣2＜0，圖象位于二四象限，∵a＜0，∴P（a，m）在第二象限，∴m＞0；∵b＞0，∴Q（b，n）在第四象限，∴n＜0．∴n＜0＜m，即m＞n，故D正確；故選：D．【點評】本題考查了反比例函數的性質，利用反比例函數的性質：k＜0時，圖象位于二四象限是解題關鍵．5.（2018?江蘇淮安?3分）若點A（﹣2，3）在反比例函數y=的圖象上，則k的值是（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】依據待定系數法，可得答案．【解答】解：將A（﹣2，3）代入反比例函數y=，得k=﹣2×3=﹣6，故選：A．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，利用函數圖象上點的坐標滿意函數解析式是解題關鍵．6.（2018?江蘇蘇州?3分）如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數y=在第一象限內的圖象經過點D，交BC于點E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=，則k的值為（）A．3 B．2 C．6 D．12【分析】由tan∠AOD==可設AD=3A.OA=4a，在表示出點D.E的坐標，由反比例函數經過點D.E列出關于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【解答】解：∵tan∠AOD==，∴設AD=3A.OA=4a，則BC=AD=3a，點D坐標為（4a，3a），∵CE=2BE，∴BE=BC=a，∵AB=4，∴點E（4+4a，a），∵反比例函數y=經過點D.E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a=或a=0（舍），則k=12×=3，故選：A．【點評】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是依據題意表示出點D.E的坐標及反比例函數圖象上點的橫縱坐標乘積都等于反比例系數k．8.（2018?內蒙古包頭市?3分）以矩形ABCD兩條對角線的交點O為坐標原點，以平行于兩邊的方向為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，BE⊥AC，垂足為E．若雙曲線y=（x＞0）經過點D，則OB?BE的值為3．【分析】由雙曲線y=（x＞0）經過點D知S△ODF=k=，由矩形性質知S△AOB=2S△ODF=，據此可得OA?BE=3，依據OA=OB可得答案．【解答】解：如圖，∵雙曲線y=（x＞0）經過點D，∴S△ODF=k=，則S△AOB=2S△ODF=，即OA?BE=，∴OA?BE=3，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴OB?BE=3，故答案為：3．【點評】本題主要考查反比例函數圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是駕馭反比例函數系數k的幾何意義及矩形的性質．9.（2018?遂寧?4分）已知一次函數y1=kx+b（k≠0）及反比例函數y2=（m≠0）的圖象如圖所示，則當y1＞y2時，自變量x滿意的條件是（）A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3【分析】利用兩函數圖象，寫出一次函數圖象在反比例函數圖象上方所對應的自變量的范圍即可．【解答】解：當1＜x＜3時，y1＞y2．故選：A．【點評】本題考查了反比例函數及一次函數的交點問題：求反比例函數及一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．10.（2018?湖州?3分）如圖，已知直線y=k1x（k1≠0）及反比例函數y=（k2≠0）的圖象交于M，N兩點．若點M的坐標是（1，2），則點N的坐標是（）A.（﹣1，﹣2）B.（﹣1，2）C.（1，﹣2）D.（﹣2，﹣1）【答案】A【解析】分析：直接利用正比例函數的性質得出M，N兩點關于原點對稱，進而得出答案．詳解：∵直線y=k1x（k1≠0）及反比例函數y=（k2≠0）的圖象交于M，N兩點，∴M，N兩點關于原點對稱，∵點M的坐標是（1，2），∴點N的坐標是（-1，-2）．故選：A．點睛：此題主要考查了反比例函數及一次函數的交點問題，正確得出M，N兩點位置關系是解題關鍵．11.（2018?嘉興?3分）如圖,點在反比例函數的圖象上,過點的直線及軸,軸分別交于點,且,的面積為1.則的值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】過點C作軸，設點，則得到點C的坐標，依據的面積為1，得到的關系式，即可求出的值.【解答】過點C作軸，設點，則得到點C的坐標為：的面積為1，即故選D.【點評】考查反比例函數圖象上點的坐標特征，駕馭待定系數法是解題的關鍵.12.（2018?廣西玉林?3分）如圖，點A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（）A． B．2 C．4 D．3【分析】依據點C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，可設C（a，），則B（3a，），A（a，），依據AC=BC，即可得到﹣=3a﹣a，進而得出a=1，依據C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，進而得到Rt△ABC中，AB=2．【解答】解：點C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設C（a，），則B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（負值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故選：B．13.（2018·黑龍江大慶·3分）在同始終角坐標系中，函數y=和y=kx﹣3的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】依據一次函數和反比例函數的特點，k≠0，所以分k＞0和k＜0兩種狀況探討．當兩函數系數k取相同符號值，兩函數圖象共存于同一坐標系內的即為正確答案．【解答】解：分兩種狀況探討：①當k＞0時，y=kx﹣3及y軸的交點在負半軸，過一,三,四象限，反比例函數的圖象在第一,三象限；②當k＜0時，y=kx﹣3及y軸的交點在負半軸，過二,三,四象限，反比例函數的圖象在第二,四象限．故選：B．14.（2018·黑龍江哈爾濱·3分）已知反比例函數y=的圖象經過點（1，1），則k的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】把點的坐標代入函數解析式得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵反比例函數y=的圖象經過點（1，1），∴代入得：2k﹣3=1×1，解得：k=2，故選：D．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，能依據已知得出關于k的方程是解此題的關鍵．15.（2018·黑龍江龍東地區·3分）如圖，平面直角坐標系中，點A是x軸上隨意一點，BC平行于x軸，分別交y=（x＞0）,y=（x＜0）的圖象于B.C兩點，若△ABC的面積為2，則k值為（）A．﹣1 B．1 C． D．【分析】連接OC.OB，如圖，由于BC∥x軸，依據三角形面積公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函數系數k的幾何意義得到?|3|+?|k|=2，然后解關于k的肯定值方程可得到滿意條件的k的值．【解答】解：連接OC.OB，如圖，∵BC∥x軸，∴S△ACB=S△OCB，而S△OCB=?|3|+?|k|，∴?|3|+?|k|=2，而k＜0，∴k=﹣1．故選：A．【點評】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義：在反比例函數y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，及坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數的圖象上隨意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|，且保持不變．16.（2018?貴州銅仁?4分）如圖，已知一次函數y=ax+b和反比例函數y=的圖象相交于A（﹣2，y1）,B（1，y2）兩點，則不等式ax+b＜的解集為（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1【分析】依據一次函數圖象及反比例函數圖象的上下位置關系結合交點坐標，即可得出不等式的解集．【解答】解：視察函數圖象，發覺：當﹣2＜x＜0或x＞1時，一次函數圖象在反比例函數圖象的下方，∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．故選：D．17.（2018?海南?3分）已知反比例函數y=的圖象經過點P（﹣1，2），則這個函數的圖象位于（）A．二,三象限 B．一,三象限 C．三,四象限 D．二,四象限【分析】先依據點P的坐標求出反比例函數的比例系數k，再由反比例函數的性質即可得出結果．【解答】解：反比例函數y=的圖象經過點P（﹣1，2），∴2=．∴k=﹣2＜0；∴函數的圖象位于第二,四象限．故選：D．【點評】本題考查了反比例函數的圖象和性質：①,當k＞0時，圖象分別位于第一,三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二,四象限．②,當k＞0時，在同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．18.（2018?貴州遵義?3分）如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，∠OAB=30°，若點A在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，則經過點B的反比例函數解析式為（）A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=【分析】直接利用相像三角形的判定及性質得出=，進而得出S△AOD=2，即可得出答案．【解答】解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∴=tan30°=，∵×AD×DO=xy=3，∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，∴S△AOD=2，∵經過點B的反比例函數圖象在第二象限，故反比例函數解析式為：y=﹣．故選：C．19.（2018?遂寧?4分）已知一次函數y1=kx+b（k≠0）及反比例函數y2=（m≠0）的圖象如圖所示，則當y1＞y2時，自變量x滿意的條件是（）A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3【分析】利用兩函數圖象，寫出一次函數圖象在反比例函數圖象上方所對應的自變量的范圍即可．【解答】解：當1＜x＜3時，y1＞y2．故選：A．【點評】本題考查了反比例函數及一次函數的交點問題：求反比例函數及一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．二.填空題1.（2018·湖北隨州·3分）如圖，一次函數y=x﹣2的圖象及反比例函數y=（k＞0）的圖象相交于A.B兩點，及x軸交及點C，若tan∠AOC=，則k的值為3．【分析】依據題意設出點A的坐標，然后依據一次函數y=x﹣2的圖象及反比例函數y=（k＞0）的圖象相交于A.B兩點，可以求得a的值，進而求得k的值，本題得以解決．【解答】解：設點A的坐標為（3a，a），∵一次函數y=x﹣2的圖象及反比例函數y=（k＞0）的圖象相交于A.B兩點，∴a=3a﹣2，得a=1，∴1=，得k=3，故答案為：3．【點評】本題考查反比例函數及一次函數的交點問題，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題須要的條件，利用數形結合的思想解答．2.（2018?江蘇宿遷?3分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數（x＞0）及正比例函數y=kx,（k＞1）的圖象分別交于點A.B，若∠AOB＝45°，則△AOB的面積是________.【答案】2【分析】作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB（如圖），設A（x1，y1），B（x2，y2），依據反比例函數k的幾何意義得x1y1=x2y2=2；將反比例函數分別及y=kx，y=聯立，解得x1=，x2=，從而得x1x2=2，所以y1=x2，y2=x1，依據SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性質得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定義和已知條件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，依據AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，依據三角形面積公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+x2y2=×2+×2=2.【詳解】如圖：作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB，設A（x1，y1），B（x2，y2），∵A.B在反比例函數上，∴x1y1=x2y2=2，∵，解得：x1=，又∵，解得：x2=，∴x1x2=×=2，∴y1=x2，y2=x1，即OC=OD，AC=BD，∵BD⊥x軸，AC⊥y軸，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO（SAS），∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+x2y2=×2+×2=2，故答案為：2.【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，反比例函數及一次函數的交點問題，全等三角形的判定及性質等，正確添加協助線是解題的關鍵.3.（2018?山東東營市?3分）如圖，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB為邊作平行四邊形OABC，則經過點A的反比例函數的解析式為y=．【分析】設A坐標為（x，y），依據四邊形OABC為平行四邊形，利用平移性質確定出A的坐標，利用待定系數法確定出解析式即可．【解答】解：設A坐標為（x，y），∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB為邊作平行四邊形OABC，∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），設過點A的反比例解析式為y=，把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，則過點A的反比例解析式為y=，故答案為：y=【點評】此題考查了待定系數法求反比例函數解析式，以及平行四邊形的性質，嫻熟駕馭待定系數法是解本題的關鍵．4.（2018?山東煙臺市?3分）如圖，反比例函數y=的圖象經過?ABCD對角線的交點P，已知點A，C，D在坐標軸上，BD⊥DC，?ABCD的面積為6，則k=﹣3．【分析】由平行四邊形面積轉化為矩形BDOA面積，在得到矩形PDOE面積，應用反比例函數比例系數k的意義即可．【解答】解：過點P做PE⊥y軸于點E∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB=CD又∵BD⊥x軸∴ABDO為矩形∴AB=DO∴S矩形ABDO=S?ABCD=6∵P為對角線交點，PE⊥y軸∴四邊形PDOE為矩形面積為3即DO?EO=3∴設P點坐標為（x，y）k=xy=﹣3故答案為：﹣3【點評】本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義以及平行四邊形的性質．5.（2018?山東濟寧市?3分）如圖點A是反比例函數=（＞0圖象上一點直線y=+b過點A并且及兩坐標分別交于點，，過點A作D⊥x軸，足為D，連接D，若△C的面積是4，則△DC的面積是 2﹣2 ．【解答】解：設A（a（a＞0∴AD，OD=a，∵直線y=+b過點A并且及兩坐標軸分別交于點，，∴（0，b，（，0∵△C的面積是4，∴S△C=O×C=×b=4，∴b2=8，∴=①∴AD⊥x軸，∴∥AD，∴△∽△A，∴a2+ab=4②，聯立①②得，ab=﹣44（舍）或ab=﹣4，∴S△COD?C=ab=2﹣2故答案為2﹣2．6.（2018?上海?4分）已知反比例函數y=（k是常數，k≠1）的圖象有一支在第二象限，那么k的取值范圍是．【分析】由于在反比例函數y=的圖象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵反比例函數y=的圖象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案為：k＜1．【點評】本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數的增減性是解答此題的關鍵．7.（2018?遂寧?4分）已知反比例函數y=（k≠0）的圖象過點（﹣1，2），則當x＞0時，y隨x的增大而．【分析】把（﹣1，2）代入解析式得出k的值，再利用反比例函數的性質解答即可．【解答】解：把（﹣1，2）代入解析式y=，可得：k=﹣2，因為k=﹣2＜0，所以當x＞0時，y隨x的增大而增大，故答案為：增大【點評】此題考查了反比例函數y=（k≠0），的性質：①當k＞0時，圖象分別位于第一,三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二,四象限．②當k＞0時，在同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．8.（2018?貴州安順?4分）函數中自變量的取值范圍是__________．【答案】【解析】試題解析：依據題意得，x+1>0，解得x>-1．故答案為：x>-1．．9.（2018?貴州安順?4分）如圖，已知直線及軸,軸相交于,兩點，及的圖象相交于,兩點，連接,.給出下列結論：①；②；③；④不等式的解集是或.其中正確結論的序號是__________．【答案】②③④【解析】分析：依據一次函數和反比例函數的性質得到k1k2＞0，故①錯誤；把A（-2，m）,B（1，n）代入y=中得到-2m=n故②正確；把A（-2，m）,B（1，n）代入y=k1x+b得到y=-mx-m，求得P（-1，0），Q（0，-m），依據三角形的面積公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正確；依據圖象得到不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正確．詳解：由圖象知，k1＜0，k2＜0，∴k1k2＞0，故①錯誤；把A（-2，m）,B（1，n）代入y=中得-2m=n，∴m+n=0，故②正確；把A（-2，m）,B（1，n）代入y=k1x+b得∵-2m=n，∴y=-mx-m，∵已知直線y=k1x+b及x軸,y軸相交于P,Q兩點，∴P（-1，0），Q（0，-m），∴OP=1，OQ=m，∴S△AOP=m，S△BOQ=m，∴S△AOP=S△BOQ；故③正確；由圖象知不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正確；故答案為：②③④．點睛：本題考查了反比例函數及一次函數的交點，求兩直線的交點坐標，三角形面積的計算，正確的理解題意是解題的關鍵．10.（2018?廣西南寧?3分）如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，且關于y軸對稱，反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點C，反比例函數y=（x＜0）的圖象分別及AD，CD交于點E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，則k1等于9．【分析】設出點A坐標，依據函數關系式分別表示各點坐標，依據割補法表示△BEF的面積，構造方程．【解答】解：設點B的坐標為（a，0），則A點坐標為（﹣a，0）由圖象可知，點C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），F（﹣，）矩形ABCD面積為：2a?=2k1∴S△DEF=S△BCF=S△ABE=∵S△BEF=7∴2k1+﹣+k1=7①∵k1+3k2=0∴k2=﹣k1代入①式得解得k1=9故答案為：9【點評】本題是反比例函數綜合題，解題關鍵是設出點坐標表示相關各點，應用面積法構造方程．11.（2018·黑龍江齊齊哈爾·3分）已知反比例函數y=的圖象在第一,三象限內，則k的值可以是1．（寫出滿意條件的一個k的值即可）【分析】依據反比例函數的性質：反比例函數y=的圖象在第一,三象限內，則可知2﹣k＞0，解得k的取值范圍，寫出一個符合題意的k即可．【解答】解：由題意得，反比例函數y=的圖象在第一,三象限內，則2﹣k＞0，故k＜2，滿意條件的k可以為1，故答案為：1．【點評】本題主要考查反比例函數的性質，當k＞0時，雙曲線的兩個分支在一，三象限，y隨x的增大而減小；當k＜0時，雙曲線的兩個分支在二，四象限，y隨x的增大而增大．12.（2018?福建A卷?4分）如圖，直線y=x+m及雙曲線y=相交于A，B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為6．【分析】依據雙曲線y=過A，B兩點，可設A（a，），B（b，），則C（a，）．將y=x+m代入y=，整理得x2+mx﹣3=0，由于直線y=x+m及雙曲線y=相交于A，B兩點，所以A.b是方程x2+mx﹣3=0的兩個根，依據根及系數的關系得出a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再依據三角形的面積公式得出S△ABC=AC?BC=m2+6，利用二次函數的性質即可求出當m=0時，△ABC的面積有最小值6．【解答】解：設A（a，），B（b，），則C（a，）．將y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx﹣3=0，則a+b=﹣m，ab=﹣3，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．∵S△ABC=AC?BC=（﹣）（a﹣b）=??（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6，∴當m=0時，△ABC的面積有最小值6．故答案為6．【點評】本題考查了反比例函數及一次函數的交點問題：求反比例函數及一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了函數圖象上點的坐標特征，根及系數的關系，三角形的面積，二次函數的性質．13.（2018?福建B卷?4分）如圖，直線y=x+m及雙曲線y=相交于A，B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為6．【分析】依據雙曲線y=過A，B兩點，可設A（a，），B（b，），則C（a，）．將y=x+m代入y=，整理得x2+mx﹣3=0，由于直線y=x+m及雙曲線y=相交于A，B兩點，所以A.b是方程x2+mx﹣3=0的兩個根，依據根及系數的關系得出a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再依據三角形的面積公式得出S△ABC=AC?BC=m2+6，利用二次函數的性質即可求出當m=0時，△ABC的面積有最小值6．【解答】解：設A（a，），B（b，），則C（a，）．將y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx﹣3=0，則a+b=﹣m，ab=﹣3，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．∵S△ABC=AC?BC=（﹣）（a﹣b）=??（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6，∴當m=0時，△ABC的面積有最小值6．故答案為6．【點評】本題考查了反比例函數及一次函數的交點問題：求反比例函數及一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了函數圖象上點的坐標特征，根及系數的關系，三角形的面積，二次函數的性質．14.（2018?廣東?3分）如圖，已知等邊△OA1B1，頂點A1在雙曲線y=（x＞0）上，點B1的坐標為（2，0）．過B1作B1A2∥OA1交雙曲線于點A2，過A2作A2B2∥A1B1交x軸于點B2，得到第二個等邊△B1A2B2；過B2作B2A3∥B1A2交雙曲線于點A3，過A3作A3B3∥A2B2交x軸于點B3，得到第三個等邊△B2A3B3；以此類推，…，則點B6的坐標為（2，0）．【分析】依據等邊三角形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征分別求出B2.B3.B4的坐標，得出規律，進而求出點B6的坐標．【解答】解：如圖，作A2C⊥x軸于點C，設B1C=a，則A2C=a，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．∵點A2在雙曲線y=（x＞0）上，∴（2+a）?a=，解得a=﹣1，或a=﹣﹣1（舍去），∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2，∴點B2的坐標為（2，0）；作A3D⊥x軸于點D，設B2D=b，則A3D=b，OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．∵點A3在雙曲線y=（x＞0）上，∴（2+b）?b=，解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去），∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2，∴點B3的坐標為（2，0）；同理可得點B4的坐標為（2，0）即（4，0）；∴點Bn的坐標為（2，0），∴點B6的坐標為（2，0）．故答案為（2，0）．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，正確求出B2.B3.B4的坐標進而得出點Bn的規律是解題的關鍵．15.如圖，矩形ABCD的頂點A,B在x軸上，且關于y軸對稱，反比例函數yk1(x0)的圖像經過點C，反比例函數xyk2(x0)的圖像分別及AD,CD交于點E,F，x

3k20，則k1等于 .【答案】k19【考點】反比例函數綜合題B的坐標為(a,0)A為(a,0)0依據題意得到C(a,

a

，E(a,k2)，D(a,a

a

，F(a3

k1)a矩形面積2ak12ka 12a(2k2)SDEF

DFDE32

a 2k2 324ak1S CF

a2kBCF

2 2 312a(k2)SABE

2

a k2 2!SF72k2k2kk71 32 31 2把k1k代入上式，得到2 314k5(1k)731 3 314k5k731 917k791k19k法求面積列式，求出的值。16.（2018?貴州銅仁?4分）已知在平面直角坐標系中有兩點A（0，1），B（﹣1，0），動點P在反比例函數y=的圖象上運動，當線段PA及線段PB之差的肯定值最大時，點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（2，1）．【分析】由三角形三邊關系知|PA﹣PB|≥AB知直線AB及雙曲線y=的交點即為所求點P，據此先求出直線AB解析式，繼而聯立反比例函數解析式求得點P的坐標．【解答】解：如圖，設直線AB的解析式為y=kx+b，將A（1，0）,B（0，﹣1）代入，得：解得：，∴直線AB的解析式為y=x﹣1，直線AB及雙曲線y=的交點即為所求點P，此時|PA﹣PB|=AB，即線段PA及線段PB之差的肯定值取得最大值，由可得或，∴點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（2，1），故答案為：（﹣1，﹣2）或（2，1）．17.（2018?貴州貴陽?4分）如圖過x軸上隨意一點P作y軸的平行線分別及反比例函數y3(x0)，xy6(x0)的圖像交于A點和B點若C為y軸隨意一點連接B.C則x9ABC的面積為 .2【解】18．（2018年湖南省婁底市）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點P是反比例函數y=圖象上的一點，PA⊥x軸于點A，則△POA的面積為1．【分析】直接利用反比例函數的性質結合系數k的幾何意義得出答案．【解答】解：∵點P是反比例函數y=圖象上的一點，PA⊥x軸于點A，∴△POA的面積為：AO?PA=xy=1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了反比例函數系數k的幾何意義，正確表示出△POA的面積是解題關鍵．18．(2018湖南省邵陽市)（3分）如圖所示，點A是反比例函數y=圖象上一點，作AB⊥x軸，垂足為點B，若△AOB的面積為2，則k的值是4．【分析】過雙曲線上隨意一點及原點所連的線段,坐標軸,向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=|k|．【解答】解：∵點A是反比例函數y=圖象上一點，作AB⊥x軸，垂足為點B，∴S△AOB=|k|=2；又∵函數圖象位于一,三象限，∴k=4，故答案為4．【點評】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，即過雙曲線上隨意一點引x軸,y軸垂線，所得三角形面積為|k|，是常常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題肯定要正確理解k的幾何意義．20.（2018湖南張家界3.00分）如圖，矩形ABCD的邊AB及x軸平行，頂點A的坐標為（2，1），點B及點D都在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，則矩形ABCD的周長為12．【分析】依據矩形的性質,結合點A的坐標得到點D的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，依據反比例函數解析式求出點D的坐標，點B的坐標，依據矩形的周長公式計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，點A的坐標為（2，1），∴點D的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，當x=2時，y==3，當y=1時，x=6，則AD=3﹣1=2，AB=6﹣2=4，則矩形ABCD的周長=2×（2+4）=12，故答案為：12．【點評】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特征,矩形的性質，駕馭反比例函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．21.（2018?上海?4分）已知反比例函數y=（k是常數，k≠1）的圖象有一支在第二象限，那么k的取值范圍是．【分析】由于在反比例函數y=的圖象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵反比例函數y=的圖象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案為：k＜1．【點評】本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數的增減性是解答此題的關鍵．22.（2018?遂寧?4分）已知反比例函數y=（k≠0）的圖象過點（﹣1，2），則當x＞0時，y隨x的增大而．【分析】把（﹣1，2）代入解析式得出k的值，再利用反比例函數的性質解答即可．【解答】解：把（﹣1，2）代入解析式y=，可得：k=﹣2，因為k=﹣2＜0，所以當x＞0時，y隨x的增大而增大，故答案為：增大【點評】此題考查了反比例函數y=（k≠0），的性質：①當k＞0時，圖象分別位于第一,三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二,四象限．②當k＞0時，在同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．三.解答題1.（2018·湖北江漢油田,潛江市,天門市,仙桃市·8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x及反比例函數y=（k≠0）在第二象限內的圖象相交于點A（m，1）．（1）求反比例函數的解析式；（2）將直線y=﹣x向上平移后及反比例函數圖象在第二象限內交于點B，及y軸交于點C，且△ABO的面積為，求直線BC的解析式．【分析】（1）將A點坐標代入直線y=﹣x中求出m的值，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例函數的解析式；（2）依據直線的平移規律設直線BC的解析式為y=﹣x+b，由同底等高的兩三角形面積相等可得△ACO及△ABO面積相等，依據△ABO的面積為列出方程OC?2=，解方程求出OC=，即b=，進而得出直線BC的解析式．【解答】解：（1）∵直線y=﹣x過點A（m，1），∴﹣m=1，解得m=﹣2，∴A（﹣2，1）．∵反比例函數y=（k≠0）的圖象過點A（﹣2，1），∴k=﹣2×1=﹣2，∴反比例函數的解析式為y=﹣；（2）設直線BC的解析式為y=﹣x+b，∵三角形ACO及三角形ABO面積相等，且△ABO的面積為，∴△ACO的面積=OC?2=，∴OC=，∴b=，∴直線BC的解析式為y=﹣x+．【點評】此題考查了一次函數及反比例函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，三角形的面積求法，以及一次函數圖象及幾何變換，嫻熟駕馭待定系數法是解題的關鍵．2.（2018·湖北襄陽·7分）如圖，已知雙曲線y1=及直線y2=ax+b交于點A（﹣4，1）和點B（m，﹣4）．（1）求雙曲線和直線的解析式；（2）直接寫出線段AB的長和y1＞y2時x的取值范圍．【分析】（1）先把A點坐標代入y1=中求出k得到反比例函數的解析式為y1=﹣，再把B（m，﹣4）代入y1=﹣中求出m得到B（1，﹣4），然后利用待定系數法求直線解析式；（2）利用兩點間的距離公式計算AB的長；利用函數圖象，寫出反比例函數圖象在直線上方所對應的自變量的范圍得到y1＞y2時x的取值范圍．【解答】解：（1）把A（﹣4，1）代入y1=得k=﹣4×1=﹣4，∴反比例函數的解析式為y1=﹣，把B（m，﹣4）代入y1=﹣得﹣4m=﹣4，解得m=1，則B（1，﹣4），把A（﹣4，1），B（1，﹣4）代入y2=ax+b得，解得，∴直線解析式為y2=﹣x﹣3；（2）AB==5，當﹣4＜x＜0或x＞1時，y1＞y2．【點評】本題考查了反比例函數及一次函數的交點問題：求反比例函數及一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．3.（2018·湖南郴州·10分）參照學習函數的過程及方法，探究函數y=的圖象及性質．因為y=，即y=﹣+1，所以我們對比函數y=﹣來探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y=﹣…124﹣4﹣11﹣﹣…y=…235﹣3﹣10…描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以y=相應的函數值為縱坐標，描出相應的點，如圖所示：（1）請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用一條光滑曲線順次連接起來；（2）視察圖象并分析表格，回答下列問題：①當x＜0時，y隨x的增大而增大；（填“增大”或“減小”）②y=的圖象是由y=﹣的圖象向上平移1個單位而得到；③圖象關于點（0，1）中心對稱．（填點的坐標）（3）設A（x1，y1），B（x2，y2）是函數y=的圖象上的兩點，且x1+x2=0，試求y1+y2+3的值．【分析】（1）用光滑曲線順次連接即可；（2）利用圖象法即可解決問題；（3）依據中心對稱的性質，可知A（x1，y1），B（x2，y2）關于（0，1）對稱，由此即可解決問題；【解答】解：（1）函數圖象如圖所示：（2）①當x＜0時，y隨x的增大而增大；②y=的圖象是由y=﹣的圖象向上平移1個單位而得到；③圖象關于點（0，1）中心對稱．（填點的坐標）故答案為增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2=0，∴x1=﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）關于（0，1）對稱，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5．【點評】本題考查反比例函數的性質,中心對稱的性質等知識，解題的關鍵是敏捷運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．4.（2018?山東濟寧市?8分）如圖，已知反比例函數y=（x＞0）的圖象及反比例函數y=（x＜0）的圖象關于y軸對稱，A（1，4），B（4，m）是函數y=（x＞0）圖象上的兩點，連接AB，點C（﹣2，n）是函數y=（x＜0）圖象上的一點，連接AC，BC．（1）求m，n的值；（2）求AB所在直線的表達式；（3）求△ABC的面積．【分析】（1）先由點A確定k，再求m的值，依據關于y軸對稱，確定k2再求n；（2）先設出函數表達式，再代入A.B兩點，得直線AB的表達式；（3）過點A.B作x軸的平行線，過點C.B作y軸的平行線構造矩形，△ABC的面積=矩形面積﹣3個直角三角形的面積．【解答】解：（1）因為點A.點B在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，∴k1=1×4=4，∴m×4=k1=4，∴m=1∵反比例函數y=（x＞0）的圖象及反比例函數y=（x＜0）的圖象關于y軸對稱．∴k2=﹣k1=﹣4∴﹣2×n=﹣4，∴n=2（2）設直線AB所在的直線表達式為y=kx+b把A（1，4），B（4，1）代入，得解得∴AB所在直線的表達式為：y=﹣x+5（3）如圖所示：過點A.B作x軸的平行線，過點C.B作y軸的平行線，它們的交點分別是E.F,B.G．∴四邊形EFBG是矩形．則AF=3，BF=3，AE=3，EC=2，CG=1，GB=6，EG=3∴S△ABC=S矩形EFBG﹣S△AFB﹣S△AEC﹣S△CBG=BG×EG﹣AF×FB﹣AE×EC﹣BG×CG=18﹣﹣3﹣3【點評】本題考查了反比例函數的圖形及性質,待定系數法確定一次函數解析式及面積的和差關系．題目具有綜合性．留意圖形的面積可以用割補法也可以用規則的幾何圖形求和差．5.（2018?達州?9分）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分別以OB，OA所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系．F是BC邊上一個動點（不及B，C重合），過點F的反比例函數y=（k＞0）的圖象及邊AC交于點E．（1）當點F運動到邊BC的中點時，求點E的坐標；（2）連接EF，求∠EFC的正切值；（3）如圖2，將△CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊OB上的點G處，求此時反比例函數的解析式．【分析】（1）先確定出點C坐標，進而得出點F坐標，即可得出結論；（2）先確定出點F的橫坐標，進而表示出點F的坐標，得出CF，同理表示出CF，即可得出結論；（3）先推斷出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最終用勾股定理求出k，即可得出結論．【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4，∴B（4，0），C（4，3），∵F是BC的中點，∴F（4，），∵F在反比例y=函數圖象上，∴k=4×=6，∴反比例函數的解析式為y=，∵E點的坐標為3，∴E（2，3）；（2）∵F點的橫坐標為4，∴F（4，），∴CF=BC﹣BF=3﹣=∵E的縱坐標為3，∴E（，3），∴CE=AC﹣AE=4﹣=，在Rt△CEF中，tan∠EFC==，（3）如圖，由（2）知，CF=，CE=，，過點E作EH⊥OB于H，∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，∴∠EGH+∠HEG=90°，由折疊知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，∴∠EGH+∠BGF=90°，∴∠HEG=∠BGF，∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EHG∽△GBF，∴BG=，在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，∴（）2﹣（）2=，∴k=，∴反比例函數解析式為y=．【點評】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，中點坐標公式，相像三角形的判定和性質，銳角三角函數，求出CE：CF是解本題的關鍵．6.（2018?遂寧?9分）如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k≠0）及反比例函數y=（m≠0）的圖象交于第二,四象限A.B兩點，過點A作AD⊥x軸于D，AD=4，sin∠AOD=，且點B的坐標為（n，﹣2）．（1）求一次函數及反比例函效的解析式；（2）E是y軸上一點，且△AOE是等腰三角形，請直接寫出全部符合條件的E點坐標．【分析】（1）由垂直的定義及銳角三角函數定義求出AO的長，利用勾股定理求出OD的長，確定出A坐標，進而求出m的值確定出反比例解析式，把B的坐標代入反比例解析式求出n的值，確定出B坐標，利用待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）分類探討：當AO為等腰三角形腰及底時，求出點E坐標即可．【解答】解：（1）∵一次函數y=kx+b及反比例函數y=圖象交于A及B，且AD⊥x軸，∴∠ADO=90°，在Rt△ADO中，AD=4，sin∠AOD=，∴=，即AO=5，依據勾股定理得：DO==3，∴A（﹣3，4），代入反比例解析式得：m=﹣12，即y=﹣，把B坐標代入得：n=6，即B（6，﹣2），代入一次函數解析式得：，解得：，即y=﹣x+2；（2）當OE3=OE2=AO=5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）；當OA=AE1=5時，得到OE1=2AD=8，即E1（0，8）；當AE4=OE4時，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直線AO解析式為y=﹣x，中點坐標為（﹣1.5，2），∴AO垂直平分線方程為y﹣2=（x+），令x=0，得到y=，即E4（0，），綜上，當點E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）時，△AOE是等腰三角形．【點評】此題考查了反比例函數及一次函數的交點問題，嫻熟駕馭各自的性質是解本題的關鍵．7.（2018?資陽?8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y1=2x﹣2及雙曲線y2=交于A.C兩點，AB⊥OA交x軸于點B，且OA=AB．（1）求雙曲線的解析式；（2）求點C的坐標，并直接寫出y1＜y2時x的取值范圍．【分析】（1）作高線AC，依據等腰直角三角形的性質和點A的坐標的特點得：x=2x﹣2，可得A的坐標，從而得雙曲線的解析式；（2）一次函數和反比例函數解析式列方程組，解出可得點C的坐標，依據圖象可得結論．【解答】解：（1）∵點A在直線y1=2x﹣2上，∴設A（x，2x﹣2），過A作AC⊥OB于C，∵AB⊥OA，且OA=AB，∴OC=BC，∴AC=OB=OC，∴x=2x﹣2，x=2，∴A（2，2），∴k=2×2=4，（2）∵，解得：，，∴C（﹣1，﹣4），由圖象得：y1＜y2時x的取值范圍是x＜﹣1或0＜x＜2．【點評】此題考查了反比例函數和一次函數的綜合；嫻熟駕馭通過求點的坐標進一步求函數解析式的方法；通過視察圖象，從交點看起，函數圖象在上方的函數值大．8.（2018?烏魯木齊?10分）小明依據學習函數的閱歷，對y=x+的圖象及性質進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整：（1）函數y=x+的自變量x的取值范圍是．（2）下表列出y及x的幾組對應值，請寫出m，n的值：m=，n=；x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣1234…y…﹣﹣﹣2﹣﹣m2n…（3）如圖．在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，依據描出的點，畫出該函數的圖象；（4）結合函數的圖象．請完成：①當y=﹣時，x=．②寫出該函數的一條性質．③若方程x+=t有兩個不相等的實數根，則t的取值范圍是．【分析】（1）由x在分母上，可得出x≠0；（2）代入x=,3求出m,n的值；（3）連點成線，畫出函數圖象；（4）①代入y=﹣，求出x值；②視察函數圖象，寫出一條函數性質；③視察函數圖象，找出當x+=t有兩個不相等的實數根時t的取值范圍（亦可用根的判別式去求解）．【解答】解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．故答案為：x≠0．（2）當x=時，y=x+=；當x=3時，y=x+=．故答案為：；．（3）連點成線，畫出函數圖象．（4）①當y=﹣時，有x+=﹣，解得：x1=﹣4，x2=﹣．故答案為：﹣4或﹣．②視察函數圖象，可知：函數圖象在第一,三象限且關于原點對稱．故答案為：函數圖象在第一,三象限且關于原點對稱．③∵x+=t有兩個不相等的實數根，∴t＜﹣2或t＞2．故答案為：t＜﹣2或t＞2．【點評】本題考查了反比例函數的性質,反比例函數的圖象,正比例函數的性質以及正比例函數圖象，解題的關鍵是：（1）由x在分母上找出x≠0；（2）代入x=,3求出m,n的值；（3）連點成線，畫出函數圖象；（4）①將﹣化成﹣4﹣；②視察函數圖象找出函數性質；③視察函數圖象找出t的取值范圍．9.（2018?杭州?6分）已知一艘輪船上裝有100噸貨物，輪船到達目的地后開始卸貨，設平均卸貨速度為v（單位：噸/小時），卸完這批貨物所需的時間為t（單位：小時）。（1）求v關于t的函數表達式（2）若要求不超過5小時卸完船上的這批貨物，那么平均每小時至少要卸貨多少噸？【答案】（1）有題意可得：100=vt，則（2）∵不超過5小時卸完船上的這批貨物，∴t≦5，則v≧=20答：平均每小時至少要卸貨20噸。【考點】一元一次不等式的應用，反比例函數的性質，依據實際問題列反比例函數關系式【解析】【分析】（1）依據已知易求出函數解析式。（2）依據要求不超過5小時卸完船上的這批貨物，可得出t的取值范圍，再求出t=5時的函數值，就可得出答案。10（2018?杭州?10分）設一次函數（是常數，）的圖象過A（1，3），B（-1，-1）（1）求該一次函數的表達式；（2）若點（2a+2，a2）在該一次函數圖象上，求a的值；（3）已知點C（x1，y1），D（x2，y2）在該一次函數圖象上，設m=（x1-x2）（y1-y2），推斷反比例函數的圖象所在的象限，說明理由。【答案】（1）依據題意，得，解得k=2，b=1所以y=2x+1（2）因為點（2a+2，a2）在函數y=2x+1的圖像上，所以a2=4a+5解得a=5或a=-1（3）由題意，得y1-y2=（2x1+1）-（2x2+1）=2（x1-x2）所以m=（x1-x2）（y1-y2）=2（x1-x2）2≥0，所以m+1＞0所以反比例函數的圖像位于第一,第三象限【考點】因式分解法解一元二次方程，待定系數法求一次函數解析式，反比例函數的性質【解析】【分析】（1）依據已知點的坐標，利用待定系數法，就可求出一次函數的解析式。（2）將已知點的坐標代入所求函數解析式，建立關于a的方程，解方程求解即可。（3）先求出y1-y2=2（x1-x2），依據m=（x1-x2）（y1-y2），得出m=2（x1-x2）2≥0，從而可推斷m+1的取值范圍，即可求解。11.（2018?湖州?12分）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，頂點A在第一象限，B，C在x軸的正半軸上（C在B的右側），BC=2，AB=2，△ADC及△ABC關于AC所在的直線對稱．（1）當OB=2時，求點D的坐標；（2）若點A和點D在同一個反比例函數的圖象上，求OB的長；（3）如圖2，將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為A1B1C1D1，過點D1的反比例函數y=（k≠0）的圖象及BA的延長線交于點P．問：在平移過程中，是否存在這樣的k，使得以點P，A1，D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出全部符合題意的k的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）如圖1中，作DE⊥x軸于E，解直角三角形清晰DE，CE即可解決問題；（2）設OB=a，則點A的坐標（a，2），由題意CE=1．DE=，可得D（3+a，），點A.D在同一反比例函數圖象上，可得2a=（3+a），清晰a即可；（3）分兩種情形：①如圖2中，當∠PA1D=90°時．②如圖3中，當∠PDA1=90°時．分別構建方程解決問題即可；【解答】解：（1）如圖1中，作DE⊥x軸于E．∵∠ABC=90°，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，依據對稱性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，∴∠DCE=60°，∴∠CDE=90°﹣60°=30°，∴CE=1，DE=，∴OE=OB+BC+CE=5，∴點D坐標為（5，）．（2）設OB=a，則點A的坐標（a，2），由題意CE=1．DE=，可得D（3+a，），∵點A.D在同一反比例函數圖象上，∴2a=（3+a），∴a=3，∴OB=3．（3）存在．理由如下：①如圖2中，當∠PA1D=90°時．∵AD∥PA1，∴∠ADA1=180°﹣∠PA1D=90°，在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，∴AA1==4，在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，∴PA=，∴PB=，設P（m，），則D1（m+7，），∵P,A1在同一反比例函數圖象上，∴m=（m+7），解得m=3，∴P（3，），∴k=10．②如圖3中，當∠PDA1=90°時．∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，∴△AKP∽△DKA1，∴=，∵∠AKD=∠PKA1，∴△KAD∽△KPA1，∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，∴∠APD=∠ADP=30°，∴AP=AD=2，AA1=6，設P（m，4），則D1（m+9，），∵P,A1在同一反比例函數圖象上，∴4m=（m+9），解得m=3，∴P（3，4），∴k=12．【點評】本題考查反比例函數綜合題,相像三角形的判定和性質,銳角三角函數,解直角三角形,待定系數法等知識，解題的關鍵是學會用分類探討的思想思索問題，學會了可以參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．12.（2018?金華,麗水?10分）如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數及（x＞0，0＜m＜n）的圖象上，對角線BD∥y軸，且BD⊥AC于點P．已知點B的橫坐標為4．（1）當m=4，n=20時．①若點P的縱坐標為2，求直線AB的函數表達式．②若點P是BD的中點，試推斷四邊形ABCD的形態，并說明理由．（2）四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m，n之間的數量關系；若不能，試說明理由．【解析】【分析】（1）①分別求出點A，B的坐標，運用待定系數法即可求出直線AB的表達示；②由特別的四邊形可知，對角線相互垂直的是菱形和正方形，則可揣測這個四邊形是菱形或是正方形，先證明其為菱形先，則須要證明四邊形ABCD是平行四邊形，運用“對角線相互平分的四邊形是平行四邊形”的判定定理證明會更好些；再推斷對角線是否相等，若不相等則不是正方形；（2）要使m，n有詳細聯系，依據A,B，C，D分別在兩個函數圖象，且由正方形的性質，可用只含m的代數式表示出點D或點C的坐標代入y=，即可得到只關于m和n的等式．13.（2018·黑龍江大慶·8分）如圖，A（4，3）是反比例函數y=在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作AB∥x軸，截取AB=OA（B在A右側），連接OB，交反比例函數y=的圖象于點P．（1）求反比例函數y=的表達式；（2）求點B的坐標；（3）求△OAP的面積．【分析】（1）將點A的坐標代入解析式求解可得；（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x軸即可得點B的坐標；（3）先依據點B坐標得出OB所在直線解析式，從而求得直線及雙曲線交點P的坐標，再利用割補法求解可得．【解答】解：（1）將點A（4，3）代入y=，得：k=12，則反比例函數解析式為y=；（2）如圖，過點A作AC⊥x軸于點C，則OC=4.AC=3，∴OA==5，∵AB∥x軸，且AB=OA=5，∴點B的坐標為（9，3）；（3）∵點B坐標為（9，3），∴OB所在直線解析式為y=x，由可得點P坐標為（6，2），過點P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點E，則點E坐標為（6，3），∴AE=2.PE=1.PD=2，則△OAP的面積=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．14.（2018·湖北省恩施·8分）如圖，直線y=﹣2x+4交x軸于點A，交y軸于點B，及反比例函數y=的圖象有唯一的公共點C．（1）求k的值及C點坐標；（2）直線l及直線y=﹣2x+4關于x軸對稱，且及y軸交于點B'，及雙曲線y=交于D.E兩點，求△CDE的面積．【分析】（1）令﹣2x+4=，則2x2﹣4x+k=0，依據直線y=﹣2x+4及反比例函數y=的圖象有唯一的公共點C，即可得到k的值，進而得出點C的坐標；（2）依據D（3，2），可得CD=2，依據直線l及直線y=﹣2x+4關于x軸對稱，即可得到直線l為y=2x﹣4，再依據=2x﹣4，即可得到E（﹣1，﹣6），進而得出△CDE的面積=×2×（6+2）=8．【解答】解：（1）令﹣2x+4=，則2x2﹣4x+k=0，∵直線y=﹣2x+4及反比例函數y=的圖象有唯一的公共點C，∴△=16﹣8k=0，解得k=2，∴2x2﹣4x+2=0，解得x=1，∴y=2，即C（1，2）；（2）當y=2時，2=，即x=3，∴D（3，2），∴CD=3﹣1=2，∵直線l及直線y=﹣2x+4關于x軸對稱，∴A（2，0），B'（0，﹣4），∴直線l為y=2x﹣4，令=2x﹣4，則x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴E（﹣1，﹣6），∴△CDE的面積=×2×（6+2）=8．【點評】此題屬于反比例函數及一次函數的交點問題，主要考查了解一元二次方程，坐標及圖形性質以及三角形面積公式的運用，求反比例函數及一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．15.（2018?廣西貴港?6分）如圖，已知反比例函數y=（x＞0）的圖象及一次函數y=﹣x+4的圖象交于A和B（6，n）兩點．（1）求k和n的值；（2）若點C（x，y）也在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，求當2≤x≤6時，函數值y的取值范圍．【分析】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出n值，進而可得出點B的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值；（2）由k=6＞0結合反比例函數的性質，即可求出：當2≤x≤6時，1≤y≤3．【解答】解：（1）當x=6時，n=﹣×6+4=1，∴點B的坐標為（6，1）．∵反比例函數y=過點B（6，1），∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0，∴當x＞0時，y隨x值增大而減小，∴當2≤x≤6時，1≤y≤3．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征,反比例函數圖象上點的坐標特征以及反比例函數的性質，解題的關鍵是：（1）利用一次（反比例）函數圖象上點的坐標特征，求出n,k的值；（2）利用一次函數的性質找出當x＞0時，y隨x值增大而減小．16．（2018湖南長沙10.00分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數y=（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象經過點P（m，1）和Q（1，m），直線PQ及x軸，y軸分別交于C，D兩點，點M（x，y）是該函數圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A，B．（1）求∠OCD的度數；（2）當m=3，1＜x＜3時，存在點M使得△OPM∽△OCP，求此時點M的坐標；（3）當m=5時，矩形OAMB及△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1？請說明你的理由．【分析】（1）想方法證明OC=OD即可解決問題；（2）設M（a，），由△OPM∽△OCP，推出==，由此構建方程求出a，再分類求解即可解決問題；（3）不存在分三種情形說明：①當1＜x＜5時，如圖1中；②當x≤1時，如圖2中；③當x≥5時，如圖3中；【解答】解：（1）設直線PQ的解析式為y=kx+b，則有，解得，∴y=﹣x+m+!，令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），∴OC=OD，∵∠COD=90°，∴∠OCD=45°．（2）設M（a，），∵△OPM∽△OCP，∴OP2=OC?OM，當m=3時，P（3，1），C（4，0），OP2=32+12=10，OC=4，OM=，∴10=4，∴4a4﹣25a2+36=0，（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，∴a=±，a=±2，∵1＜a＜3，∴a=或2，當a=時，M（，2），PM=，CP=，≠（舍棄），當a=2時，M（2，），PM=，CP=，∴==，成立，∴M（2，）．（3）不存在．理由如下：當m=5時，P（5，1），Q（1，5），設M（x，），OP的解析式為：y=x，OQ的解析式為y=5x，①當1＜x＜5時，如圖1中，∴E（，），F（x，x），S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE=5﹣?x?x﹣??=4.1，化簡得到：x4﹣9x2+25=0，△＜O，∴沒有實數根．②當x≤1時，如圖2中，S=S△OGH＜S△OAM=2.5，∴不存在，③當x≥5時，如圖3中，S=S△OTS＜S△OBM=2.5，∴不存在，綜上所述，不存在．【點評】本題考查反比例函數綜合題,矩形的性質,待定系數法,相像三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是敏捷運用所學知識解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，學會用分類探討的思想思索問題．17.（2018湖南湘西州8.00分）反比例函數y=（k為常數，且k≠0）的圖象經過點A（1，3）,B（3，m）．（1）求反比例函數的解析式及B點的坐標；（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿意條件的點P的坐標．【分析】（1）先把A點坐標代入y=求出k得到反比例函數解析式；然后把B（3，m）代入反比例函數解析式求出m得到B點坐標；（2）作A點關于x軸的對稱點A′，連接BA′交x軸于P點，則A′（1，﹣3），利用兩點之間線段最短可推斷此時此時PA+PB的值最小，再利用待定系數法求出直線BA′的解析式，然后求出直線及x軸的交點坐標即可得到P點坐標．【解答】解：（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，∴反比例函數解析式為y=；把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，∴B點坐標為（3，1）；（2）作A點關于x軸的對稱點A′，連接BA′交x軸于P點，則A′（1，﹣3），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此時此時PA+PB的值最小，設直線BA′的解析式為y=mx+n，把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，∴直線BA′的解析式為y=2x﹣5，當y=0時，2x﹣5=0，解得x=，∴P點坐標為（，0）．【點評】本題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式：先設出含有待定系數的反比例函數解析式y=（k為常數，k≠0）；再把已知條件（自變量及函數的對應值）帶入解析式，得到待定系數的方程；接著解方程，求出待定系數；然后寫出解析式．也考查了最短路徑問題．18.（2018?達州?9分）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分別以OB，OA所在直線為