核心素養測評六十三

圓錐曲線中的定值與定點

（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.若動圓C的圓心在拋物線y2=4x上,且與直線Z:x=-1相切，則動圓C必過一個

定點,該定點坐標為（）

A.(1,0)B.(2,0)

C.(0,1)D.(0,2)

【解析】選A.由題得，圓心在y2=4x上，它到直線/的距離為圓的半徑，/為y2=4x

的準線，由拋物線的定義可知，圓心到準線的距離等于其到拋物線焦點的距離，

故動圓C必過的定點為拋物線焦點，即點（1,0）.

2.如風過拋物線yz=4x焦點F的直線依次交拋物線與圓（xT）2+y2=l于A,B,C,D,

則|AB|?|CD|=（）

A.4B.2C.1D.1

【解析】選C.拋物線焦點為F(l,0),|AB|=|AF|T=x,|CD|=|DF|T=x，于是

AD

IAB|?|CD|=x?x=—=1.

AD4

3.直線I與拋物線C:y2=2x交于A,B兩點,0為坐標原點,若直線OA,0B的斜率分

別為k,k,且滿足kk旦則直線I過定點()

1212g

A.(-3,0)B.(0,-3)

C.⑶0)D.(0,3)

【解析】選A.設A(x,y),B(x,y),

1122

因為kk二士,所以空?紀工.

123必切3

又資=2X/H=2X2,所以

設直線/:x=my+b,代入拋物線C:y2=2x得y2-2my_2b-0,所以yy--2b-6,得b=-3,

12

即直線/的方程為x=my-3,所以直線/過定點(-3,0).

4,已知雙曲線片-二=1(a>0,b>0)的離心率e=2,過雙曲線上一點M作直線MA,MB

力2b2

交雙曲線于A,B兩點,且斜率分別為k,k,若直線AB過原點，則k-k的值為

1212

()

A.2B.3C八"D.、后

【解析】選B.由題意知，e二士二；1+1=2=b2=3a2,

nyja2

則雙曲線方程可化為3x2-y2=3a2,

設A(m,n),M(x,y)(xH±m),

000

則B(-m,-n),k-k=5?3'o+n=*-筋=347d?扌現2+3“2=3

12x-mXQ-m22

nx0+mx0-m

二、填空題(每小題5分，共20分)

-2-

22

5.已知橢圓C的方程為匚世二=1,A,B為橢圓C的左、右頂點,P為橢圓C上不同

于A,B的動點,直線x=4與直線PA,PB分別交于M,N兩點,若D(7,0),則過D,M,N

三點的圓必過x軸上不同于點D的定點,其坐標為.

［解析］由題意知,A(-2,0),B(2,0),設P(x。,yh則,即有y產3(1-日》

設PA,PB的斜率為k,k,

12

,.2q

貝ijk?k=亠

12謐-44

設PA：y=k(x+2),則M(4,6k),PB：y=k(x-2),

112

則N(4,2k),k=-些l=-2k,k=--k,

2DM41DNm2

因為k-k=7,所以MN為過D,M,N三點的圓的直徑.設圓過定點F(m,0),

DMDN

貝U也X也=1，

4."m4.-n?

解得m=1或m=7(舍去)，故過點D,M,N三點的圓是以MN為直徑的圓，過定點

F(1,0).

答案：(1,0)

6.已知橢圓C：—+y2=l,過橢圓C的右焦點F作直線I交橢圓C于A,B兩點，交y

軸于M點,且點B在線段FM上,貝||膽一更"=_______,

\BF\\AF\

【解析】設AB：y=kx-2k,

-3-

A(x,y),B(x,y),

1122

則|M5|」MA|

\BF\\AF\

--y2--V1

X-J-2

由卜=h-2k,

-2(x1-bx2)-2x1r2

4-2Cx1+x2)+x1X2+5y2-5,

可得(1+5k2)X2-20k2x+20k2—5=0,

2M220欠2-5

=4。/-44)卜2+10=_〔0

所以.

\BF\\AF\￡_”，2。/,2。疋2-52仙2+4-40卜2+-；＞0"2_耳

4L2

故填-10.

答案：-10

7.已知曲線P上的點到(2,0)的距離比到直線x=-5的距離小3,直線/與曲線P

1

交于M(x,y),N(x,y)兩點，點P(x,y),Q(x,y)在曲線P上，若x,x,x,x均不

112233441234

相等，且k=-k,則k+k+k+k=.I―I

MPNQMNNPPQQMI____I

【解析】因為曲線P上的點到(2,0)的距離比到直線x=-5的距離小3,所以曲線

P上的點到(2,0)的距離與到直線x=-2的距離相等,

故曲線P：y2=8x,則

k二%一%二8

1m切一布那一訳乃小

同理可得kT—,k=-^—,k——,

P0QM

2乃+》'2Va+y，yA+yi

k=--,k=_■--,由于k二一k,

MPy,+》，2M)勿+3厶MPNQ

-4-

貝ij---=-_-—,可得y+y+y+y=0,

乃十)"W>+y&1234

由此可得=即k=-k,

以十九y,2+yzOM*

同理有，即k=-k,

vi+y?乃十以MNPQ

故k+k+k+k=0.

MNNPPQQM

答案：0

22

8.(2019?咸陽模擬)已知F,F為雙曲線匚-二=1(a>0,b>0且aWb)的兩個焦點,P

1

2n2h2

為雙曲線右支上異于頂點的任意一點,0為坐標原點.給出下面四個命題：

①APFF的內切圓的圓心必在直線x=a上；

12

②^PFF的內切圓的圓心必在直線x=b上；

12

③APFF的內切圓的圓心必在直線0P上；

12

@APFF的內切圓必經過點(a,0).

12

其中所有真命題的序號是.

【解析】設aPFF的內切圓分別與PF,PF切于點A,點B,與FF切于點M,則

121212

|PA|二|PB|,|FA|=|FM|,|FB|=|FM|,又點P在雙曲線的右支上,所以

1122

|PF|-|PF|=2a,設點M的坐標為(x,0),貝寸由|PFHPF|=2a,可得

1212

(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,顯然內切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸.由以上

分析易知，①④正確，②③錯誤.

答案:①④

三、解答題(每小題10分，共20分)

-5-

9.(2020?北京模擬)已知橢圓C《+y2=l(a>l)的離心率為蟲.

(1)求橢圓C的方程.

⑵設直線I過點M(l,0)且與橢圓C相交于A,B兩點.過點A作直線x=3的垂線,

垂足為D.證明直線BD過x軸上的定點.

代=L

【解析】(1)由題意可得上二色，解得a入3,b=1,所以橢圓C的方程為

a3

\a2=b2+c2

r2

——+y2=1.

(2)直線BD恒過x軸上的定點(2,0).證明如下：

①當直線/斜率不存在時，直線/的方程為x=1,

不妨設A(1,￥)，B(I「?)，D(3，F)

此時，直線BD的方程為:y土(x-2),所以直線BD過定點(2,0).

②當直線/的斜率存在時，設A(x,y),B(x,y),直線AB的方程為

1122

y=k(x-1),D(3,y).

1

由.)一“，.入1，得：(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.

+3y2=3

所以X+xe，A-—,XX.......(*)

1212^k24-1

直線BD的方程為：y-y二"Zl(x-3),只需證明直線BD過點(2,0)即可.

1到-3

令y=0,得x-3=-2日紅0,

-6-

所以xJyzTjryiQ+sy”？%一%，2

y2-yiyi-yi

=AX2-3-X1X2即m4/-3一火1t二2,

X7-XyX7-Xi

即證2a?+芻）”x=3.

將（*）代入可得2（打+招）-

所以直線BD過點（2,0）,

綜上所述，直線BD恒過x軸上的定點（2,0）.

10.（2019?石家莊模擬）已知橢圓C:日工=1（a>b>0）的離心率為我,橢圓

1（72h22

C:二+2±=l（a>b>0）經過點（史，史）.

2"2勛2V79J

（1）求橢圓C的標準方程.

1

⑵設點M是橢圓C上的任意一點,射線M0與橢圓C交于點N,過點M的直線I

12

與橢圓C有且只有一個公共點,直線/與橢圓C交于A,B兩個相異點,證明：ANAB

12

的面積為定值.

【解析】（1）因為C的離心率為我,

1R

所以左,解得a2=3b2.①

9n2

將點但與代入二+工=1,

V?7J3a23b2

整理得丄+丄=1.②

j./?2ah2

聯立①②，得a2=1,b2=L,

-7-

故橢圓C的標準方程為X2+E=1.

1￡

7

⑵①當直線I的斜率不存在時，點M為(1,0)或(-1,0),由對稱性不妨取

M(l,0)，

由⑴知橢圓C的方程為一+y2=1,

2R

所以有N(-遅，0).

將x=1代入橢圓C的方程得尸土在，

2R

所以S.B中MN|?MB|

號(6+1)手=揚當

②當直線I的斜率存在時，設其方程為y=kx+m,

將y=kx+m代入橢圓C的方程

1

得(1_|_3k2)x2+6kmx+3m2-1=0,

由題意得△=(6/cm)2-4(1+3k2)(3降一l)=o,

整理得3m2=1+3k2.

將y=kx+m代入橢圓C的方程，

2

得(1+3兌2)x2+6kmx+3m2-3=0.

設A（XI,%）,B（X2,%），