.2.2充分條件和必要條件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)2.理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)3.理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【自主預(yù)習(xí)】預(yù)學(xué)憶思1.什么是充分條件?什么是必要條件?【答案】“若p,則q”是真命題,即p?q,把p叫作q的充分條件,q叫作p的必要條件.2.“若p,則q”是假命題,p是q的充分條件嗎?q還是p的必要條件嗎?【答案】p?/q,p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.3.當(dāng)p是q的充要條件時(shí),此時(shí)q也是p的充要條件嗎?【答案】是,因?yàn)閜?q,所以p,q互為充要條件.4.以下五種表述形式:①p?q;②p是q的充分條件;③q的充分條件是p;④q是p的必要條件;⑤p的必要條件是q.它們是什么關(guān)系?【答案】等價(jià)關(guān)系.自學(xué)檢測(cè)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的必要而不充分條件.()(2)若p是q的充要條件,則p和q是相互等價(jià)的.()(3)當(dāng)q不是p的必要條件時(shí),“p?/q”成立.()【答案】(1)×(2)√(3)√2.“同位角相等”是“兩條直線平行”的().A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】C3.使x>3成立的一個(gè)充分條件是().A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2【答案】A【解析】只有x>4?x>3,其他選項(xiàng)均不可推出x>3.4.“ac=bc”是“a=b”的條件.

【答案】必要而不充分【解析】若ac=bc,當(dāng)c=0時(shí),不一定有a=b;反之,若a=b,則有ac=bc成立.故“ac=bc”是“a=b”的必要而不充分條件.【合作探究】探究1：充分條件、必要條件情境設(shè)置問(wèn)題1:如圖,已知p:開(kāi)關(guān)A閉合,q:燈泡B亮.p與q有什么關(guān)系?【答案】p成立,則q一定成立.問(wèn)題2:p:兩三角形相似,q:對(duì)應(yīng)角相等.p與q有什么關(guān)系?【答案】p成立,則q一定成立.問(wèn)題3:如果p是q的充分條件,那么p是唯一的嗎?【答案】不唯一,如x>3是x>0的充分條件,x>5,x>10等都是x>0的充分條件.新知生成充分條件與必要條件當(dāng)“若p,則q”成立,即p?q時(shí),把p叫作q的充分條件,q叫作p的必要條件.p?q可以理解為若p成立,則q一定也成立,即p對(duì)于q的成立是充分的;反過(guò)來(lái),若q不成立,則p一定不成立,即q對(duì)于p的成立是必要的.新知運(yùn)用例1指出下列各題中p是q的什么條件.(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.(2)p:兩個(gè)三角形相似,q:兩個(gè)三角形全等.方法指導(dǎo)根據(jù)充分、必要條件的定義判斷.【解析】(1)x-3=0?(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0?/x-3=0,故p是q的充分條件,p不是q的必要條件.(2)兩個(gè)三角形相似?/兩個(gè)三角形全等,但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似,故p是q的必要條件,p不是q的充分條件.【方法總結(jié)】充分條件、必要條件的判斷方法(1)定義法:首先分清條件和結(jié)論,然后判斷p?q和q?p是否成立,最后得出結(jié)論.(2)命題判斷法:①如果命題“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;②如果命題“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時(shí)q也不是p的必要條件.(3)集合法:對(duì)于涉及取值范圍的判斷題,可從集合的角度研究,若兩個(gè)集合具有包含關(guān)系,則小范圍?大范圍,大范圍推不出小范圍.(4)傳遞法:由p1?p2?p3?…?pn,得pn是p1的必要條件.鞏固訓(xùn)練若p:四邊形的對(duì)角線相等,q:四邊形是平行四邊形,則p是q的什么條件?【解析】因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線相等?/四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形?/四邊形的對(duì)角線相等,所以p是q的既不充分又不必要條件.探究2：充要條件情境設(shè)置問(wèn)題1:若“x∈A”是“x∈B”的充要條件,則A與B有什么關(guān)系?【答案】A=B.問(wèn)題2:“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里?【答案】p是q的充要條件說(shuō)明p是條件,q是結(jié)論;p的充要條件是q說(shuō)明q是條件,p是結(jié)論.問(wèn)題3:p是q的充要條件,q是s的充要條件,p是s的充要條件嗎?【答案】是.∵p是q的充要條件,∴p?q.又q是s的充要條件,∴q?s.故p?s,即p是s的充要條件.新知生成1.充要條件的定義如果既有p?q,又有q?p,就記作p?q.即p既是q的充分條件,又是q的必要條件,此時(shí)我們稱p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件.當(dāng)然,此時(shí)q也是p的充分必要條件.2.用命題描述充要條件如果一個(gè)命題和它的逆命題都成立,那么此命題的條件和結(jié)論互為充分必要條件.3.充要條件的含義p是q的充分必要條件是指p成立,當(dāng)且僅當(dāng)q成立,即p與q互相等價(jià).新知運(yùn)用例2在下列各題中,試判斷p是q的什么條件.(1)p:a=b,q:ac=bc;(2)p:a+5是無(wú)理數(shù),q:a是無(wú)理數(shù);(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;(4)p:A∩B=A,q:UB?UA.【解析】(1)因?yàn)閍=b?ac=bc,而ac=bc?/a=b,所以p是q的充分而不必要條件.(2)因?yàn)閍+5是無(wú)理數(shù)?a是無(wú)理數(shù),并且a是無(wú)理數(shù)?a+5是無(wú)理數(shù),所以p是q的充要條件.(3)因?yàn)閍2+b2=0?a=b=0,并且a=b=0?a2+b2=0,所以p是q的充要條件.(4)因?yàn)锳∩B=A?A?B?UA?UB,并且UB?UA?B?A?A∩B=A,所以p是q的充要條件.【方法總結(jié)】判斷p是q的充分必要條件的兩種思路(1)命題角度:判斷p是q的充分必要條件,主要是判斷p?q及q?p這兩個(gè)命題是否成立.若p?q成立,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;若q?p成立,則p是q的必要條件,同時(shí)q是p的充分條件;若二者都成立,則p與q互為充要條件.(2)集合角度:關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件,當(dāng)不容易判斷p?q及q?p的真假時(shí),也可以從集合角度去判斷,結(jié)合集合中“小集合?大集合”的關(guān)系來(lái)理解,這對(duì)解決與邏輯有關(guān)的問(wèn)題是大有益處的.此外,對(duì)于較復(fù)雜的關(guān)系,常用?,?,?等符號(hào)進(jìn)行傳遞,畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖,可降低解題難度.鞏固訓(xùn)練a,b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是().A.ab=0 B.ab>0C.a2+b2=0 D.a2+b2>0【答案】D【解析】若a2+b2>0,則a,b不同時(shí)為零;若a,b中至少有一個(gè)不為零,則a2+b2>0.故選D.探究3：充要條件的證明情境設(shè)置已知關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件是m>2.問(wèn)題1:由m>2得到方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,這個(gè)過(guò)程指的是“充分性”還是“必要性”?【答案】充分性;m≥2是條件,方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根是結(jié)論.問(wèn)題2:由方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根直接求解得到m>2指的是“充分性”還是“必要性”?【答案】必要性.方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根是條件,m>2是結(jié)論.問(wèn)題3:互為充要條件中條件和結(jié)論是相對(duì)的,在充要條件問(wèn)題的證明中,條件是確定的嗎?【答案】互為充要條件中,條件和結(jié)論是相對(duì)的,在充要條件問(wèn)題的證明中,條件是確定的.新知生成充要條件的證明一般分為兩個(gè)步驟,即分別證明“充分性”和“必要性”.解題時(shí)要避免將充分性當(dāng)作必要性來(lái)證明,這就需要分清條件與結(jié)論,若“條件”?“結(jié)論”,則是證明充分性,若“結(jié)論”?“條件”,則是證明必要性.新知運(yùn)用例3證明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是ac<0.方法指導(dǎo)解答本題可先確定p和q,再分充分性(由ac<0證明方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根)和必要性(由方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根證明ac<0)進(jìn)行證明.【解析】充分性:∵ac<0,∴Δ=b2-4ac>0,ca<0∴方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別為x1,x2,∵x1·x2=ca<∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根.必要性:∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac>0,x1·x2=ca<∴ac<0.故一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是ac<0.【方法總結(jié)】有關(guān)充要條件的證明問(wèn)題,要分清哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論,誰(shuí)是誰(shuí)的什么條件,由“條件”?“結(jié)論”是證明命題的充分性,由“結(jié)論”?“條件”是證明命題的必要性.證明要分兩個(gè)環(huán)節(jié):一是證明充分性;二是證明必要性.鞏固訓(xùn)練已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.【解析】充分性:∵(a+b-1)(a2+b2-ab)=(a+b-1)·a-b22+∴a-b22+34b2>必要性:∵a+b=1,∴(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.∴a+b=1的充要條件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.探究4：充分條件、必要條件的應(yīng)用情境設(shè)置問(wèn)題1:記集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分而不必要條件,則集合A,B的關(guān)系是什么?若p是q的必要而不充分條件呢?【答案】若p是q的充分而不必要條件,則A?B,若p是q的必要不充分條件,則B?A.問(wèn)題2:記集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M?N,則p是q的什么條件?N?M,M=N呢?【答案】若M?N,則p是q的充分條件;若N?M,則p是q的必要條件;若M=N,則p是q的充要條件.新知生成用集合法判斷充分必要條件對(duì)于集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},具體情況如下:若A?B,則p是q的充分條件;若A?B,則p是q的必要條件;若A=B,則p是q的充要條件;若A?B,則p是q的充分而不必要條件;若B?A,則p是q的必要而不充分條件.新知運(yùn)用例4已知p:實(shí)數(shù)x滿足3a<x<a,其中a<0;q:實(shí)數(shù)x滿足-2≤x≤3.若p是q的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】-23,0【解析】由題意得,p對(duì)應(yīng)的集合為A={x|3a<x<a},q對(duì)應(yīng)的集合為B={x|-2≤x≤3}.因?yàn)閜是q的充分條件,所以p?q,所以A?B,所以3a≥-2,a≤3,a<0,解得-23所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-23,0.【方法總結(jié)】充分條件、必要條件的應(yīng)用(1)已知條件是結(jié)論的充分條件,即由條件推出結(jié)論,由此建立邏輯關(guān)系解決問(wèn)題.(2)已知條件是結(jié)論的必要條件,即由結(jié)論推出條件,由此建立邏輯關(guān)系解決問(wèn)題.從集合的角度來(lái)看,滿足條件的對(duì)象所構(gòu)成的集合與滿足結(jié)論的對(duì)象所構(gòu)成的集合之間是子集關(guān)系.鞏固訓(xùn)練設(shè)集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m<x<1}.若“x∈A”是“x∈B”的必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】-12,+∞【解析】因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的必要條件,所以B?A.當(dāng)B=?時(shí),2m≥1,即m≥12,符合條件當(dāng)B≠?時(shí),有-1≤2m<1?-12≤m<1故實(shí)數(shù)m的取值范圍是-12,+∞.【隨堂檢測(cè)】1.(多選題)使ab>0成立的充分條件是().A.a>0,b>0 B.a+b>0C.a<0,b<0 D.a>1,b>1【答案】ACD【解析】因?yàn)閍>0,b>0?ab>0;a<0,b<0?ab>0;a>1,b>1?ab>0,所以選項(xiàng)ACD都是使ab>0成立的充分條件.2.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其《從軍行》傳誦至今,“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門關(guān),黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”,由此推斷,“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的().A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”,但“返回家鄉(xiāng)”一定有“攻破樓蘭”.3.若a∈R,則“a=2”是“(a-