專(zhuān)題突破練8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、單項(xiàng)選擇題

l.(2021?山東青島一模)已知角。終邊上有一點(diǎn)P(tan苧,2sin(H),則COSe的值為()

11

CD√23

A.-_■√23

22-

2.(2021?新高考/,4)下列區(qū)間中涵數(shù)/(x)=7Sin(XP單調(diào)遞增的區(qū)間是()

D

A?M)BGn)C.(π,?)D.(?,2π)

3.(2021.山西臨汾一模)已知?jiǎng)t下列各數(shù)中最大的是()

A.sin(sinθ)B.sin(cosθ)C.cos(sin0)D.cos(cosθ)

4.(2021?浙江金華期中)己知函數(shù)段)=sin(ox+e)(3≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)缺,0),一條對(duì)稱(chēng)軸方程為T(mén)，則

函數(shù),/(X)的周期可以是()

?—β-Q-Γ)—

Du

A.42J4'12

5.(2021?廣東廣州月考)將函數(shù)√U)=sin(2x+陰(弓<θ<方)的圖象向右平移夕(ρ>D個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

函數(shù)g(x)的圖象若外),g(x)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)《0,苧),則φ的值可以是()

?-?b?c?∑DA

6.(2021.山東日照期末)已知函數(shù)火X)=Sin(S+J(3>0)在區(qū)間［0,2π］上有且僅有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)ω

的取值范圍為()

琛,+)［

A8)B?,+8C.H,?)D,(?S?)

7.(2021?江西臨川期末)函數(shù)段)=(M)?cos(對(duì)的大致圖象可能為()

A.Λ0)<∕(∣)<Λ1)

B∕O)<ΛD<X∣)

c.χ∣)<ΛD<Λ0)

D∕D<∕(∣)<y(o)

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2021?山西太原月考)已知函數(shù)√(x)=2(2∣cosx∣+cosx)sinx,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A當(dāng)χG[θ,智時(shí)網(wǎng)∈[0,3]

B.函數(shù)y(x)的最小正周期為兀

C函數(shù)危)在區(qū)間卜,用上單調(diào)遞減

D.函數(shù)人勸的對(duì)稱(chēng)中心為(2kπ,0)(k∈Z)

10.(2021?遼寧錦州模擬)已知。可函數(shù)兀V)=SM2如W)在區(qū)間(兀,2π)上沒(méi)有最值廁下列結(jié)論正確的

是()

A?貝x)在區(qū)間5,2π)上單調(diào)遞增

βωe[??]

Cyu)在區(qū)間[0,2上沒(méi)有零點(diǎn)

Dy(X)在區(qū)間[0,π]上只有一個(gè)零點(diǎn)

三,填空題

Π.(2021?四川綿陽(yáng)期中)已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin215°,cos215°),則α=

12.(2021?海南海口中學(xué)期末)已知函數(shù)段)=疝(3W)@>0)在區(qū)間(0,引上單調(diào)遞增,在區(qū)間

管,2ττ)上單調(diào)遞減,則ω=.

13.(2021.河北石家莊期中)已知函數(shù)段)=Sin(COX+9)(3>0,0<φ<滿(mǎn)足<x+π)子;犬).居)=1,則/-

工)的值等于.

14.(2021?浙江金華月考)已知函數(shù)/(X)=Sin4x-2cos4x,若對(duì)任意的XWR都有J(A;)2/5)),則

4χo+9='

專(zhuān)題突破練8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.D解析因?yàn)閠an竽=tan(π+￡)=ta埼=V^,sin(-?^)=sin(-2n-n+5)=sin(-π+勻=-

Sin(TI-?=-sin^=卷,所以2sin(-米)=-1,所以P(√5,-l).

所以cosθ=西

J(√3)2+(-D2'

2.A解析由收￡[1+2爪]+2加]乒〃得尤居+2加糕+2對(duì)其2.當(dāng)々=0

時(shí),得函數(shù)段)=7Sin(Xq)的單調(diào)遞增區(qū)間為樣，乳

???(Oq)∈[-f,y],??.(Oq)是函數(shù)段)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.故選A.

3.D解析,sin(cos

√31

^)=sin∣=cosQ-2),CoS(Sin0)=C0S?y,C0S(C0S=COS-,

?*0<∣VT—半〈年V亨一：<兀,且函數(shù)y=cosx在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞減，

乙乙乙乙乙乙

苧>C0s(∕-g),.:最大的是CoS，,即最大的是CoS(CoSθ).

4.B解析由題意得I-A=鋁T(Z∈Z),則T=z?(A∈Z)?結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,只有選

項(xiàng)B符合.

5.B解析依題意g(x)=sin［2(x-s)+例=Sin(2x+8-2s),因?yàn)椋紉),g(x)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)

[sin。=y,

ISin(O-2。)=y

Z).

結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,只有選項(xiàng)B符合.

6.C解析令√(χ)=0,即ωx+^=kπ(k≡Z),???-?+—(?∈Z),X。＞0,可知在區(qū)間［0,2兀］

?5(A)CJO

上,從左到右段)的第1個(gè)零點(diǎn)為行三+3=纂而第6個(gè)零點(diǎn)為X6=嗡+等=總第

r人干上J→πI7π20π7π—20πA刀/日17,10

71零點(diǎn)為為=-五+總=詼？故而=兀＜而，解付不≤ω?τ?

7.A解析函數(shù)“￥)=HboS(5%)的定義域?yàn)椋鹸∣x≠0｝次-X)=(HBCOS(-號(hào))=-(%-

'os管)=√(x),所以函數(shù)於)為奇函數(shù),排除B,C選項(xiàng);當(dāng)0＜Λ＜1時(shí)=，*0,0＜竽＜

*則COS管)>0,所以危)<0,排除D選項(xiàng).

8.B解析由題意得√(x)="sin2%-?1^cθs2x=Ja2+y?sin(2x+^)-∣(其中tanφ=?,θ<

Y)?

令g(x)=sin(2x+s),

由媳)=娉)，得g(9)=g管)，則g(若斗士1，即sin(竽+8)=土1,解得

φ=-

Z,

6

.:夕=/：g(x)=Sin(2%+￡).

故g(O)g,g(D=Sin(2+^)>sin≡=?

又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)Xq對(duì)稱(chēng)且函數(shù)g(x)在區(qū)間［o,5上單調(diào)遞增《一2＜14，

?*G)>g⑴,于是g(O)<g⑴<g(2),從而膽)<川)啕.

3sin2x,-^?+2kττ≤x<?-+2∕cπ,

9.ABD解析依題意./（x）=?π3π∕∈Z),畫(huà)出函數(shù)/U)的大致

-Sin2%,2+2fcπ≤x<—+2fcπ

圖象如圖所示.

由圖象知,當(dāng)Xe[θ,到時(shí)√（x）∈[-l,3],故A錯(cuò)誤;函數(shù)段）的最小正周期為2π,故B錯(cuò)

誤;函數(shù)?在區(qū)間卜,引上單調(diào)遞減,故C正確;函數(shù)於）的對(duì)稱(chēng)中心為（飆0）伙∈Z）,故D

錯(cuò)誤.

1O.BD解析由函數(shù)y（x）=sin（23；T）在區(qū)間（兀,2兀）上沒(méi)有最值,得2E-1≤2ωπ-^<4ωπ-

≤2E+/,或1kn^-≤2ωπ-^<4coπ-j≤2?π+等,2eZ;解得k-?≤ω≤?+段,或左+總—

3≤[+公A∈Z,由。≥2τι-兀=兀,得t22兀,即會(huì)≥2τt,則3≤?

ZZ4Z乙3L

又0所以93號(hào)所以可取A=O,得36七，料且段）在區(qū)間（兀,2兀）上單調(diào)遞減;

所以A錯(cuò)誤,B正確;當(dāng)x∈[0,π]時(shí),2（yχTe[-S,2（υπ-?],且2口無(wú)Te卜，期,所以危）在區(qū)

。L??J?L乙JL乙」

間[0,無(wú)]上只有一個(gè)零點(diǎn),所以C錯(cuò)誤,D正確.

11.235°解析由三角函數(shù)的定義可得CoSa="j=^:sm,21',=sin215°=cos

√sin2215o+COS2215O

2350,sina=-；=,cos215。=CoS215。=sin2350,所以α=235°.

√sin2215o+COS2215O

12.?解析由題意4等）=sin（苧3-1）=l=>竽O）,=2?π+罪GZ）=Cy=*+/（2eZ）,若

1

%>0,則ω≥2,T≤π與已知矛盾;若Z<O,eυ<O,與已知不符,當(dāng)k=0時(shí),得①=,滿(mǎn)足題意.

13.-?解析設(shè)火x）的最小正周期為T(mén),因?yàn)槲?無(wú)）=*X）,所以“7=MJ∈N*）,所以T=；=

?（"∈N*）,所以0=2〃（〃GN*）,又∕θ∣）=l,所以當(dāng)X=工時(shí),cυx+9="?/+s=1+2E（∕z∈N*,AG

Z),所以夕="2E-〃?為∕∈N*,%∈Z),因?yàn)?<9嗎所以0<92E-〃《<2("∈N*,Z∈Z)灌

ZO?ZO?

理得IV〃-12k35∈N*,女∈Z),因?yàn)橹?2A∈Z5∈N*次∈Z),所以止12%=2("∈N*,Z∈Z),所

以?9=^+2Zcπ-(2+12?)??=XAWZ),則〃?[+，=?^+2?π(n∈N*Λ∈Z),

，0000z

所以等=J+2E("∈N>∈Z),

O?

所以X?)=sin[2∕r(-?)+翡sin(平+?=Sin(T-2kπ+9=Sin(W=擊〃∈

N*,Z∈Z).

14.0解析由于"v)=sin4x-2cos4x=V^sin(4x-s)(其中tan夕=2),所以函數(shù)/(x)的最小正

周期T=手=而大X)。XO),因此於)在X=Xo處取得最小值,而Xo+)τ=xo+[,所以點(diǎn)

4Zzto

10+,0)是段)圖象的對(duì)稱(chēng)中心,故/(xo+p=0.

專(zhuān)題突破練9三角恒等變換與解三角形

一,單項(xiàng)選擇題

L（2021?深圳高級(jí)中學(xué)月考）在鈍角AABC中4B=2,sin8=與,且MBC的面積是導(dǎo)則AC=（）

A.√3B.2C.√7D.我或小

2.(202L遼寧大連二模)若tanf=飆塔篙=()

A.-∣B.-3

C.∣D.3

3.（2021?山東日照期中）已知"8C的三內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為“力,G其中R為AABC外接圓的半

徑,若3〃SinA+3?sinB+4asin8=6RSin則sinAsin8-cosAcosB=（）

?3

A，D.-∣

44

4.（2021?海南二模）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割

率,黃金分割率的值也可以用2sin18°表示.若實(shí)數(shù)n滿(mǎn)足4sin218o+“2=4,則與畔一=（）

8nzsιnz18

A?

從4嗯D手

5.（2021?江西南昌期末）“欲窮千里目,更上一層樓”出自唐朝詩(shī)人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于

今山西永濟(jì)市,該樓有三層,前對(duì)中條山,下臨黃河,傳說(shuō)常有鸛雀在此停留,故有此名.下面是復(fù)建的鸛

雀樓的示意圖,某位游客（身高忽略不計(jì)）從地面點(diǎn)。看樓頂點(diǎn)A的仰角為30°,沿直線(xiàn)前進(jìn)79m到

達(dá)點(diǎn)區(qū)此時(shí)看點(diǎn)C的仰角為45°,若8C=2AC,則樓高AB約為（）m.

A.65B.74C.83D.92

6.(202卜河北邯鄲期末)已知cos?+sin2^=∣,sinα+sinBCoSSw,貝Ilcos(a+2/?)=()

A?9-BIc??D??

7.

（2021?湖南長(zhǎng)沙模擬）小李在某大學(xué)測(cè)繪專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí),節(jié)日回家,來(lái)到村頭的一個(gè)池塘（如圖陰影部分）,為

了測(cè)量該池塘兩側(cè)CQ兩點(diǎn)間的距離,除了觀測(cè)點(diǎn)CQ外,他又選了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)PbBJl尸/2=&已經(jīng)

測(cè)得NplP2。=火/尸221。=￡,由于條件不足,需要再觀測(cè)新的角,則利用已知觀測(cè)數(shù)據(jù)和下面三組新觀

測(cè)的角的其中一組,就可以求出CO間距離的是（）

①NOPc和/。CPi;②NP1P2C和/PCP2；③NPlOC和/OCPI.

A@②

C.②③口.①②③

8.

（2021?吉林月考）如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,O,E,F分別在邊AB,BC和CA上（異于端點(diǎn)）,且。為

AB的中點(diǎn).若∕EQF=120°,則四邊形CFz迫的面積為（）

A.2√3B.竽

C.3√3D.無(wú)法確定

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2021?山東師大附中期末）若AABC的內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足尻2“+4?1?等=0,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.角C一定為銳角B,02+262-c2=0

C.3tanΛ+tanC=OD.tanB的最小值為苧

三、填空題

10.（2021?北京延慶模擬）已知AABC的面積為2√X4B=2,B=*貝IJ喘=.

11.（2021?山西運(yùn)城模擬）已知tan6,tan（是方程Λ2+ΛX-3=0的兩個(gè)根,則a=.

12.（2021?廣東揭陽(yáng)一模）已知“8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,6,c,且滿(mǎn)足α=2,/=2/+￠2,則

△ABC的面積的最大值為.

13.

（2021.山東濰坊一模）某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位,制作了一批獎(jiǎng)杯,獎(jiǎng)杯

的剖面圖形如圖所示,其中扇形OAB的半徑為?0,ZPBA=ZQAB=60QHQ=QP=P8,若按此方案設(shè)

計(jì),工藝制造廠發(fā)現(xiàn),當(dāng)OP最長(zhǎng)時(shí),該獎(jiǎng)杯比較美觀,此時(shí)/AOB=.

專(zhuān)題突破練9三角恒等變換與解三角形

IC解析設(shè)內(nèi)角A,BC所對(duì)的邊分別為α也c.

依題意,三角形ABC是鈍角三角形,c=2,sinB=MSAABC=%csinB=苧,解得a=?,a<c,

所以A為銳角.當(dāng)C為鈍角時(shí),cosB=√l-sin2F=?∕j=√α2+c2-2accosB=代,此時(shí)cos

a2c2

c=↑^h=黑l=°c=3不符合題意?

2ab2×1×√32

當(dāng)B為鈍角時(shí),cosB=Hl-Sin2B=-g,故b=y∣dz+c2-2ac?cosB=夕,此時(shí)cos

C=歿;=?g?=孚>°，所以C為銳角，符合題意，故AC=5

sin(α+竽)-1cosα-l

2.A解析因?yàn)?/p>

sin(3π-α)Sina

由于cosα=l-2sin2j,sina=2sin?cosj,

斫以CoSa-I_-2sin2I_a_1

所以飛天一與耐Ta%一行

3.C解析由正弦定理號(hào)=芻=-?=2Λ

SIrL4SlnBSinC

得sinA=攝,sinfi??sinC臉,

QΠ2?,∩h2□Γ2

代入3asinA+38sin8+4asinB=6/?sin2C,#—+—+—=6Rr—?=vF,

1?ΔιΓ?Lt1\4/^

化簡(jiǎn)得3<72+3?2+4^=3c2,SPa2+b1-c1=-^ab,

4CIb9

所以cosC=abc?___乙

^2tabh~2ab~~3

2

故sinAsinβ-cosAcosB=-cos(A+B)=cosC=--.

4A?2?cl-sinl8o_l-sinl8o_l-sinl8o_l-sinl8o

2o2o2o

4.AW4π8n2sin218θ-8siM180(4-4siM180)-8sin18×4cos18-8sin36-

l-sinl8o_l-sinl8o_1

8x1-8.72。=4(l-cos72°)=4*

5.B解析設(shè)AC=X(X>0),貝IJ由已知可得AB=3x,BE=BC=2x,BD=--"=3v?所以

t3∏Z.Λz√Drw

_r7Q

QE=Bo-8E=3√Ix-2x=79,解得X=段建《24.7,所以樓高AB≈3×24.7=74.l≈74(m).

6.C解析由cosa+sin2夕",知2cosɑ-eos24=2①,因?yàn)閟inα+sin夕COS夕=§,所以2sin

a+sin2夕=|②,將①②兩個(gè)等式平方相加得4+l?4cos(24+[)=4+*解得cos(α+2y?)=^.

7.D解析根據(jù)題意,△aP2。的三個(gè)角和三條邊均可以求出,①中,而瑞？

-SinzDCP1

故C添黑等,故①可以求出S③與①條件等價(jià).②中,在M收中,若猊=

PlC故PC=曙舒，在APCO中，利用余弦定理求解6即可?

SinNPIP2。

8.C解析設(shè)∕BDE=8(0<e<60°),??BDE中,由正弦定理得DE=

SIn(INU-U)

sing+”則SABDE=EDE?DBsm”工訪(60°+，),

4Osin60°√3

在AADF中,NFD4=60°由正弦定理得OF=

sin(60o+0)-sin(60o+"

cInlr人八?衣八。小√3sιn(60-θ)

5?ADF=-Z)F?AZ)sιn(60-夕)二?“小∣》，

2sιn(60+0)

√?in(60°-6)_鳳孚CoSe十一訪8

√3sin0

所以SΔBDE+SΔADFo+o=V3,

sin(60+6)sin(60+0)竽CoSe+%in6

所以四邊形CFDE的面積為S^ABC-(S^ADF+S^BDE)=4√3-√3=3√3.

9.BC角平析：％-2。+4公也2竽=0,

.?.b-2a+4tzsin2ɑ-亨)=0,

?7?2。+4優(yōu)0$2亨=0,?：62。+4。?I+；。：'=。,

?*+2αcosC=0,ZcosCVo,?：角C一定為鈍角,A錯(cuò)誤；

b+2.cosC=OnA+2Q?A=0=>a1+2b2-c2=0,B正確；

2ab

0+2αcosC=0≠>sinB+2sinAcosC=0≠>3sinAcosC+cosAsinC=0=>3tanA÷tanC=0,C

正確；

tanB=-tan(A+O=嗎r*=產(chǎn)"=——噂經(jīng)檢驗(yàn)，，=，，取得到D錯(cuò)

tan?ltanC-l-3tanzΛ-l*∏4.13

StanA十面百

誤,綜上選BC

10.V3解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃力,c,則AB=2=c,S^ABc=^acsinB=^×a×2×

y=2√3,M^?α=4,

?

**b2=a2+c2-2accosB=16+4-2×4×2×-=12,

.>=2√5,???等一=學(xué)

sinec2

11.-4解析因?yàn)閠an仇tan(}e)是方程x2+0r?3=0的兩個(gè)根,所以tan8+tanC-e)=?α,tan

tan0+tang

2-(r)-1?

例ang=?3,/=6f-4×(-3)20,所以tan^=tan[Θ+Q-0)]一l-tanΘtan?-0)^^4^^。一一4

12.1解析由余弦定理及題意可得屋=從+°2_28比05A=2∕+c2=4,所以COSA=-S,則Sin

A=李,則AABC的面積S=‰∏A)單!=噂f≤空鏟

12

ZcZ4IZ2431

13.

≡解析由題意可知,四邊形ABPQ為等腰梯形.如圖,連接OP,過(guò)點(diǎn)。作。M_L。P垂足

為點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)C,則OCLA氏。M平分NAoB,M為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn).設(shè)NAOC=O,

則ΛB=20sin00C=IoCOSθ,

設(shè)AQ=QP=8P=x,過(guò)點(diǎn)Q作QE_LAB垂足為點(diǎn)民過(guò)點(diǎn)尸作P尸，AB垂足為點(diǎn)E因

為NPBA=NQAB=60°,所以AE=BF=^x,CM=PF=^-x,EF=QP=x,^以AB=2x,以

AB=20Sin8=2x,即X=IOsin所以O(shè)M=OC+CM=IOCOS^+??-=IOcos9+5V5sin所以

OP-=OM2+MP-=(1Ocos0+5V3sin0)2+(5sin^)2=1OOcos2^+75sin20+1OθV3sin8cos

^+25sin2^=100+50√3sin26?,

因?yàn)閟in20∈[-l,l],所以當(dāng)Sin2。=1即時(shí),OP?最大,也就是OP最長(zhǎng),此時(shí)N

AOB^.

專(zhuān)題突破練10三角函數(shù)與解三角形解答題

1.(2021?山東濱州期中)已知向量a=(cosx,sinx),b=(4√3sinx,4sin%),若ι∕(x)=a?(a+b).

(1)求人犬)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求兀V)在區(qū)間上的最值.

2.

(2021?北京豐臺(tái)區(qū)模擬)如圖,MBC中,/8=45°,N是AC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M在AB邊上,且MML

ACSC=√6,W=√3.

⑴求/A;

⑵求BM.

3.

BDC

（2021?山東濰坊二模）如圖,。為MBC中BC邊上一點(diǎn),NB=60°,A8=4∕C=4√1給出如下三種數(shù)值方

案：

①W=倔②W=6；③4O=2√7.

判斷上述三種方案所對(duì)應(yīng)的AABO的個(gè)數(shù),并求唯一時(shí),8。的長(zhǎng).

4.（2021?海南海口月考）在"3C中,已知好,c分別是角A,B,C的對(duì)邊力CoSC+ccos8=4,Bq請(qǐng)?jiān)僭谙?/p>

列三個(gè)條件:②“+b+c）（sinA+sinβ-sinC）=3αsinB;②fe=4??②③（∕5csinB=I）CoSC中,任意選擇一"↑?添

加到題目的條件中,求"BC的面積.

（2021?遼寧大連一模）如圖,有一底部不可到達(dá)的建筑物,A為建筑物的最高點(diǎn).某學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備了三種

工具:測(cè)角儀（可測(cè)量仰角與俯角）、米尺（可測(cè)量長(zhǎng)度）、量角器（可測(cè)量平面角度）.

（1）請(qǐng)你利用準(zhǔn)備好的工具（可不全使用）,設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法,并給出測(cè)量報(bào)告；

注:測(cè)量報(bào)告中包括你使用的工具,測(cè)量方法的文字說(shuō)明與圖形說(shuō)明,所使用的字母和符號(hào)均需要解釋

說(shuō)明,并給出你最后的計(jì)算公式.

⑵該學(xué)習(xí)小組利用你的測(cè)量方案進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量,并將計(jì)算結(jié)果匯報(bào)給老師,發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與該建筑

物實(shí)際的高度有誤差,請(qǐng)你針對(duì)誤差情況進(jìn)行說(shuō)明.

6.(2021?湖北武漢3月質(zhì)檢)在AABC中,它的內(nèi)角A,BC的對(duì)邊分別為α,b,c,且B=y,?=√6.

⑴若cosAcosC=，求ZkABC的面積；

(2)試問(wèn):+?=!能否成立?若能成立,求此時(shí)"8C的周長(zhǎng);若不能成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.(2021?湖南長(zhǎng)沙模擬)在MBC中,內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為9,c,且"鬻=Sin8-SinA

(1)求角A;

⑵若α=2,求氤+1?的最小直

8.

(2021?江蘇南京期中)如圖,某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃,其直徑AB為6,0是圓心,且OCJ_AB.在OC上

有一座觀賞亭。,其中NAQC號(hào)計(jì)劃在能上再建一座觀賞亭P,記NPoB=θ(θ<θ<^).

⑴當(dāng)6?專(zhuān)時(shí),求NOP。的大小；

(2)當(dāng)NOP0越大時(shí),游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳,當(dāng)游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí),求

sinθ的值.

專(zhuān)題突破練10三角函數(shù)與解三角形解答題

[解?TX%)=a?(a+b)=∣a∣2+a?b=1+4√3sinXCosx+4sin2x=1+2√r3sin2x+4?

1-cθs2x-2^?∕3sin2x-2cos2x+3=4sin(2%-￡)+3.

(1)由1+2EW2x[≤警+2Zτr∕EZ),解得g+EWx≤]+E(攵￡Z),

所以加)的單調(diào)遞減區(qū)間是r+kπ樣+kπ](A∈Z).

(2)由于xEW所以2r-∕e[^i,?l,

故當(dāng)2x3=抑Xq時(shí),函數(shù)外)取最大值7;

當(dāng)2x[=3即X=O時(shí),函數(shù)y（x）取最小值1.

OO

2.

解（1）如圖,連接MC,因?yàn)镹是AC邊的中點(diǎn),且MNtAC,

所以MC=MA.

在RSAMN中,MA=黑=蓋,所以MC=蕓?

在^MBC中,由正弦定理可得孤=器廳,而NBMC=2NA,

S1∏DSlnZ.DML

所以√6即二^=———,

sin24'SinA孚2sin4cos4

1

所以COSA=5,故NA=60°.

(2)由(1)知MC=MA=S篇「=2,NBMC=2ZΛ=120o.

在ABCM中,由余弦定理得BC2=BΛ∕2+MC2-2BM?MCCOSNBMC,所以

2

(√6)=BΛ∕2+22-2BM?2?COS120°,

解得BM=K-1(負(fù)值舍去).

3.解過(guò)點(diǎn)A作AELBC,垂足為點(diǎn)E(圖略),則AE=4?sin60o=2√3,

當(dāng)AO=后時(shí),AD<AE,所以方案①對(duì)應(yīng)AABO無(wú)解，

當(dāng)AO=V正時(shí),AE<AO<AB<AC,所以方案②對(duì)應(yīng)AABQ有兩解，

當(dāng)AO=2√7時(shí)AB<A0<AC,所以方案③對(duì)應(yīng)AABO只有一解.

由方案③知AO=2√7設(shè)BD=x(x>O),

所以在AABD中由余弦定理得(2√V)2=42+χ2-2x4xχxcos60°,即x2-4x-12=0,解得

x=6或X=-2(舍去).

又因?yàn)樵贏ABC中易得8C=8,3O=6<3C,符合題意，

所以8。的長(zhǎng)為6.

4.解若選擇條件①,則(a+。+C)(SinA+sinB-SinC)=3asinB,

由正弦定理可得(a+0+c)(a+b-c)=3a8所以(a+0)2-c2=3a"整理得a2+b2-c2=ab,^↑

cosC=T,故C=^.

又吟,所以A=WV=4

又因?yàn)??COSC+CCos3二4,所以b?a?+c,ɑ??'b=4,a=4.

ZabZac

由正弦定理可得急=焉

4sin

七2jas?nBzA,B、、

所以公訴=M=4(存1),

sιn12

故AABC的面積S=%bsinC=；×4×4(√3-1)×sin^=4(3-√3).

若選擇條件②,則∕7=4√2.

又因?yàn)樨癈oSC+ccos3=4,所以b?a+c,""=4,即a=4.

2abIac

又吟,所以由正弦定理可彳??=扁，

所以sinA=誓=鬻=最所以Aq或A專(zhuān)

由于。＞α,所以妙,因此A專(zhuān)不合題意舍去,故A=IMC=K-I-I=?

故AABC的面積S=^absinC=∣×4×4√2×sin∣^=4(√3+l).

若選擇條件③,因?yàn)閎cosC+ccosB=4,

所以-、-所以

82ab+c2ac=4,Q=4.

因?yàn)閂5csinB=ACOSC,所以巡SinCsinB=SinBcosC,所以tanC=g于是CW,從而

?O

ππ7π

A4=π,I=T?

所以由正弦定理可得急=導(dǎo)，

所以喈≡=簧=g）,

故A4BC的面積S=?MinC=^×4×4（√3-1）×sin≡=4（√3-1）.

ZZO

5.解（1）選用測(cè)角儀和米尺,如圖所示.

①選擇一條水平基線(xiàn)HG,使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上；

②在HC兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得A的仰角分別為α∕,HG=α,即CD=ɑ測(cè)得測(cè)角儀器的

高是〃;

③（方法一）在AACO中，由正弦定理,得黑=品,

所以心能=器,

在Rt?ΛCE中,有AE=ACSing黑黑^

所以建筑物的高度AB=AE+h器普九

ΛC

（方法二）在RtAADE中QE=言,

在RSACE中CE=端.

的A"

所以mCD—-DE-CE--一A麗E_—A-E-(商tan砌0-t?an一a)，

αtanatan∕?

所以AE二

tan0-tana'

所以建筑物的高度AB=AE+/?=鬻警+"

tanp-tana

(2)①測(cè)量工具問(wèn)題；

②兩次測(cè)量時(shí)位置的間距差；

③用身高代替測(cè)角儀的高度.

2τrIT1

6.解(1)由A+C=-,cos(A+Q=cosAcosC-sinAsinACoSC-sinAsinC.

?1

因?yàn)閏osAcosC=三,所以sinAsinC=τ.

36

因?yàn)?=7=粵=2V∑,所以tz=2V2sinA,c=2y∕2sinC.

sιn4sine√3

~2

所以SAABC=W?2√2sinA?2√∑sinC?sinB=4sinA?sinβsinC=4×?×=

Z6Z3

(2)假設(shè)能成立,所以α+c="c.

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos民所以6=a2+c2-^-ac.

所以(a+c)2-4c=6,所以(4c)2-αC?6=0,所以ac=3或4c=?2(舍去),此時(shí)a+c=ac=3.

不滿(mǎn)足α+c22?∕HF,所以:+?=1不成立.

7.解(1)由“'：［；nC=sinB-sinA,可得S-C)SinC=(sinB-sinA)(b+a),

由正弦定理得S?c)c=S?α)3+0),即b2^-c2-a1=bc,

由余弦定理,得COSA='If-Q2=i

Zbc2

因?yàn)?<A<π,可得A=I

(2)由⑴知Λ=???ABC的外接圓的半徑為RR>O),可得2R=-^~=

*5Sl∏∕i?

由余弦定理得a1=h2+c2-2hccosA=b2+c2-hc^bc,

即bc<∕=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，

-11cosBcosCCOSBSinC+sin8cosCSin(B+C)SinA

7------+-------=-------+--------

IanB---tan(?s?nB-----SinCSinBSinCSinFsinCSinBsinC

2黑焉黑C=誓=攀≥甥=竽，所以焉+焉的最小值為竽?

8.解⑴在△POQ中,因?yàn)镹AQe=竽,所以NAQO哼

又OA=OB=3,所以0Q=5

設(shè)NoPQ=α,則ZPQ0=^-a+θ.

由正弦定理,得.//皿、=鑒,即√^sinα=cos(α-8),

s1n(2-α+e)Slna

整理得tanα=7f*淇中6∈(0,歌

當(dāng)時(shí),tanα="因?yàn)棣痢?0,胃所以α=[.

???LJO

故當(dāng)eW時(shí),NOPQ=J

?O

(2)設(shè)購(gòu)=黑，6e(°，》

貝1]八夕)_-Sine(√3-sin8)+cos26_l-√3sin0

(√3-sin0)2(6-SinO)?

令F(G)=O,得sin8=當(dāng)記銳角Go滿(mǎn)足sin^o=y,

當(dāng)o<e<%時(shí)/(。)>0；當(dāng)仇<。<軻/(。)<0,

所以犬。)在e=%處取得極大值亦即最大值.

由(1)可知tanaΜ。)>。,則α∈(0,習(xí),又y=tana單調(diào)遞增,則當(dāng)tana取最大值時(shí),α

也取得最大值.

故游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí),sinθ=^.

專(zhuān)題過(guò)關(guān)檢測(cè)二三角函數(shù)與解三角形

一,選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.(2021.江西臨川期中)已知角6的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(√∑M),若6=5,則α=()

A.√6BqC.-√6D.4

2.(2021?北京房山區(qū)一模)將函數(shù)√U)=sin2x的圖象向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則

函數(shù)g(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為()

A,X=-2BjC'=：C∕=4D,X=7

6IZIZ6

3.(2021.北京西城區(qū)一模)在MBC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為4,6,c,且C=60o,α+2b=8,sin4=6sin

B,則c=()

A.√35B.√31C.6D.5

4.(2021?山西呂梁一模)已知函數(shù)y(x)=Asin(0x+3(4>0,ω>0,∣<p∣<部分圖象如圖所示,則

唱=()

C.-√3D.√3

5.（2021?北京海淀區(qū)模擬）已知SinG-α）=∣+cosα,則sin（2a+芥）=（）

(2021.福建福州期末)疫情期間,為保障市民安全,要對(duì)所有街道進(jìn)行消毒處理,某消毒裝備的設(shè)計(jì)如圖

所示,PQ為路面為消毒設(shè)備的高,BC為噴桿,A8UQ,NABC號(hào),C處是噴灑消毒水的噴頭,且噴

射角NoeEq,已知AB=2,BC=I,則消毒水噴灑在路面上的寬度OE的最小值為()

A.5√2-5B.5√2C.竽D.5√3

7.（2021?浙江寧波模擬）在MBC中,“tanAtan5>1”是=ABC為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.（2021?安徽淮北一模）函數(shù)於）=2Sin（X+J+cosIr的最大值為（）

A.l+√2B.季

C.2√2D.3

二、選擇題:本題共4小題.每小題5分洪20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9在AABC中,角A,&C所對(duì)的邊分別為α∕,c,且3+力.?（α+c）.?（b+c）=9/10.Tl,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.sinAZsinB/sinC=4/5.,6

BZABC是鈍角三角形

CZABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則AABC的外接圓半徑R為苧

10.（2021?江蘇蘇州月考）已知函數(shù)段）=（SinΛ+√3COSX）2,5I∣J（）

Ay（X）在區(qū)間[o可上單調(diào)遞增

By（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（q,o）對(duì)稱(chēng)

CzU）的最小正周期為π

DKO的值域?yàn)?0,4]

11.（2021?遼寧沈陽(yáng)二模）關(guān)于段）=sinx?cosIx的說(shuō)法正確的為（）

A.?X∈R√（-X）√（Λ）=0

B.M≠0,使得於+Q=∕U）

CyU）在定義域內(nèi)有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)

D.Vx∈R√（π-x）?√（x）=0

12.（2021?山東濰坊統(tǒng)考）在"BC中,內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為α,6,c,若r?,Jτ,C依次成等差數(shù)

列,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.α,8,c依次成等差數(shù)列

B.√Ξ,√K,VE依次成等差數(shù)列

CH,"》依次成等差數(shù)列

Dd力3/依次成等差數(shù)列

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.（2021?安徽合肥期中）已知CoS（α+第二-坐則Sin2a=---------

14.（2021.北京東城區(qū)一模）已知函數(shù)於）=ASin（2x+9XA>0,陽(yáng)其中X和於）部分對(duì)應(yīng)值如下表

所示：

-πππ

XTro-----

_2_工勺2_

^22√3^2226

則A=.

15.（2021?廣東茂名二模）在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）有E,F兩點(diǎn),其中AB=120cm,AF=100√3

cm,EF=80√3cm,FC=60√3cm,/AEF=NCFE=60。，則該矩形ABCD的面積為co?』答案

如有根號(hào)可保留）

16.（2021?湖南長(zhǎng)郡中學(xué)二模）如圖,某湖有一半徑為IOOm的半圓形岸邊,現(xiàn)決定在圓心。處設(shè)立一個(gè)

水文監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)）,在其正東方向相距200m的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備.為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

更加準(zhǔn)確,在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處,再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備,且滿(mǎn)足AB=AC,N

BAC=90°.四邊形QACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”.設(shè)/AOB=。,則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”

面積的最大值為m2.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）（2021?江西上饒一模）己知於）=2CoSx?sin'x+三-V3sin2Λ+sinXCOS%.

（1）求函數(shù)凡r）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若χ≡（-：5），求y=?∕U）的值域

18.（12分）（2021?河北石家莊一模）在MBC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4,6,c,已知2a-b=2ccosB.

⑴求角C-

⑵若α=2Q是AC的中點(diǎn),BC=√5,求邊c.

19.（12分）（2021?廣東韶關(guān)一模）在gbosC+（cosΛ-√3sinA）cosB=O;②bos2B-3cos（A+O=1;@bcos

C+ycsinB=α這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并解答.

問(wèn)題:在AABC中,角4,8,（7所對(duì)的邊分別為“力￡,若”+‘=1,,求角B和6的最小值.

20.

（12分）（2021?山東棗莊二模）已知函數(shù)/）=sin（s+9）＜。＞0,0＜夕＜?的部分圖象如圖所

示的書(shū)⑶=。

（1）求兀￥）的解析式；

⑵在銳角AABC中,若A＞B√（寫(xiě)*）=|,求CoS竽,并證明SinA＞尊

21.（12分）

（2021.福建寧德期末）在股票市場(chǎng)上,投資者常參考股價(jià)（每一股的價(jià)格）的某條平滑均線(xiàn)的變化情況來(lái)

決定買(mǎi)入或賣(mài)出股票.股民老張?jiān)谘芯抗善钡淖邉?shì)圖時(shí),發(fā)現(xiàn)一只股票的均線(xiàn)近期走得很有特點(diǎn):若建

立平面直角坐標(biāo)系。孫如圖所示,則股價(jià)y（單位:元）和時(shí)間x（單位:天）的關(guān)系在A8C段可近似地用函

數(shù)y=αsin（0x+9）+伙0<9<兀）來(lái)描述,從C點(diǎn)走到今天的。點(diǎn),是震蕩筑底階段,而今天出現(xiàn)了明顯的筑

底結(jié)束的標(biāo)志,且D點(diǎn)和C點(diǎn)正好關(guān)于直線(xiàn)/:x=34對(duì)稱(chēng).老張預(yù)計(jì)這只股票未來(lái)的走勢(shì)可用曲線(xiàn)DE

描述,這里OE段與ABC段關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng),EF段是股價(jià)延續(xù)OE段的趨勢(shì)（規(guī)律）走到這波上升行情

的最高點(diǎn)E現(xiàn)在老張決定取點(diǎn)40,22）,點(diǎn)8（12,19）,點(diǎn)￡?（44,16）來(lái)確定函數(shù)解析式中的常數(shù)a,b,ω,φ,

并且求得

（1）請(qǐng)你幫老張算出“力,小并回答股價(jià)什么時(shí)候見(jiàn)頂（即求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)）；

（2）老張如能在今天以點(diǎn)。處的價(jià)格買(mǎi)入該股票3OOo股,到見(jiàn)頂處點(diǎn)尸的價(jià)格全部賣(mài)出,不計(jì)其他費(fèi)

用,這次操作他能賺多少元？

22.(12分)(2021?深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)已知函數(shù)段)=√5sin((υx+9)+2sin2(美必)-l(<υ>O,O<0<π)為奇函

數(shù),且#x)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為5

(1)當(dāng)XGK用時(shí),求阿的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)於)的圖象向右平移於單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的?縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=g(x)

的圖象,當(dāng)χG卜工,弓時(shí),求函數(shù)g(x)的值域；

(3)對(duì)于第⑵問(wèn)中的函數(shù)g(x),記方程g(x)=g在區(qū)間K,陽(yáng)上的根從小到大依次為XI/2,???W〃,試確Ztr”

的值,并求Xi+2%2+2X3÷???+2XW.I+X,J的值.

專(zhuān)題過(guò)關(guān)檢測(cè)二三角函數(shù)與解三角形

1.C解析由題意,角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(√∑,α),可得IOPI=√F"(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),又由

e=T，根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得cos(q)=-?=去且α<0,解得β=-√6.

2.C解析將函數(shù)√(x)=sin2x的圖象向左平移v個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=g(x)=sin∣2(X+

朋=sin(2x+*令2片玲=E+],k∈Z,解得X=竽+今A∈Z,結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,函數(shù)g(x)

的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為X=白.

3.B解析因?yàn)镾inA=6sin氏所以α=6b,又α+2b=8,所以α=6,b=l,因?yàn)镃=60°,所以

c1=a2+b1-IabcosC,即c2=62+12.2x6xlX去解得c=√^I.

4.D解析由題中函數(shù)/(X)=ASin(S+S)(A>0∕O>0,|夕|<，的部分圖象知,4=2,3二手-

年=3兀,所以7=4兀=空所以ω=∣.

?(i)L

又1等)=2SinG×?+3)=2,可得.X爭(zhēng)+s=2Zπ+],1∈Z,解得φ=2kπ+^,k≡Z.

:?∣S∣<>:Sq,.√(x)=2SinGX+￡).

?∕(f)=2sin(∣×f+≡)=2si∏≡=√3.

5.D角星析由sin(3-ɑ)=?^+cos1可得Sin二?cosɑ-eos5?sina=i+cosɑ,??eosα-堂Sin

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